广东惠州市博罗县2025-2026学年第二学期高二阶段性教学质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东惠州市博罗县2025-2026学年第二学期高二阶段性教学质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=lnx+1，则f′(1)=(

)A.0 B.1 C.2 D.32.在(1−x)4的展开式中，含x2的项的系数是A.6 B.−6 C.−4 D.163.函数y=f(x)的图像如图所示，则(

)

A.f′(3)>0 B.f′(3)<0

C.f′(3)=0 D.f′(3)的正负不确定4.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯、花灯等种类．现有3名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯、花灯中选购1种，则不同的选购方式有(

)A.34种 B.43种 C.3×2×1种 D.5.若f(x)=ln xx，e<a<b，则A.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b) C.f(a)<f(b) D.f(a)f(b)>16.已知函数f(x)=x3+2ax2+a2A.−3 B.−1 C.1 D.37.现有6张分别标有数字1，2，3，4，5，6的不同卡片，从中有放回地取3次，每次取1张，将3次取到的卡片上的数字分别记为a1，a2，a3，若a1，a2，a3A.32 B.48 C.54 D.728.已知函数fx=2xx2+1,x≥0,−1xA.0,1 B.1 C.−∞,2 D.1,+∞二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.电动汽车产业是我国的优势新型产业之一．某款电动汽车在一次上路测试中，速度v(单位：千米每小时)关于运行时间t(单位：分钟)的关系可以用函数v(t)=t2−8t+40(0≤t≤8)A.该车速度在前8分钟内的平均变化率为0

B.该车速度的瞬时变化率逐渐减小

C.该车速度在第3分钟的瞬时变化率为2

D.可以用该车运行5分钟到5.01分钟之间的平均速度估算该车在t=5时的瞬时速度10.已知f(x)=(1+x)6=aA.a2=15 B.a0+a1+a2+⋯+11.如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第n行是(a+b)n的展开式的二项式系数，直观解释二项式系数规律，记第n行从左至右的第i个数为an,i，若4545被2024除所得的余数为m，则(

)A.m=45 B.m=44 C.am,3=990 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者报名参加公益活动，在某星期的星期一到星期五每天安排1人参加公益活动，且每人只参加一天，甲要求不安排在星期一，戊要求不安排在星期五，则不同的安排方式共有

种.13.1−x+x25的展开式中x14.丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数fx在a,b上的导函数为f′x，f′x在a,b上的导函数为f′′x，若在a,b上f′′x<0恒成立，则称函数fx在a,b上为“凸函数”，已知fx=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在二项式12x+(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中的常数项．16.(本小题15分)已知函数fx=12x(1)求fx(2)当x∈12,4时，求函数17.(本小题15分)

有4名男生，5名女生．

(1)从中选5名代表，要求男生2名，女生3名，且某女生必须在内，有多少种选法？

(2)从中选5名代表，要求男生不少于2名，有多少种选法？

(3)分成甲、乙、丙三组，每组3人，有多少种分法？18.(本小题17分)若函数y=f(x)和y=g(x)图象有公共点P，且各自在点P的切线l1和l2重合，则称重合的切线为两函数在点(1)分别求y=x2和y=1(2)若y=lnx和y=ax2在点P处存在公切线，求a19.(本小题17分)

设函数f(x)=sin3x−asinx．

(1)当a=3时，讨论f(x)的单调区间；

(2)已知−2≤f(x)≤a．

(i)求a的取值范围；

(ii)证明：xf(x)≤2a参考答案1.B

2.A

3.B

4.B

5.A

6.B

7.C

8.B

9.AD

10.ABD

11.AC

12.78

13.−30

14.e215.解：(1)因为所有项的二项式系数和等于512，所以2n=512，解得所以展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项，分别为：T5(2)展开式通项为Tr+1令3r−182展开式中的常数项为第7项，故常数项为T7

16.解：(1)f′(x)=x+3+ax，因为函数在1,f(1)处的切线方程为y=72，所以f(1)=所以f(x)的解析式为f(x)=1(2)由(1)知f′所以当x∈12,1时，当x∈(1,4]时，f′由单调性可知，x=1是函数的极小值点，且是区间内唯一的极值点，因此函数在x=1处取得极小值，无极大值，f(1)=7所以函数f(x)在x∈12

17.36

105

1680

18.【详解】(1)联立y=x2y=1x，解得x=1或x对y=x2求导，可得y′=2x，将x=1代入切线方程l1:y−1=2(x−1)对y=1x=x−1求导，y切线方程l2:y−1所以交点P处的切线方程为2x−y−1=0，x+y−2=0．(2)设公切点Px对y=lnx求导，根据求导公式lnx=1x，可得对y=ax2求导，可得y′=2ax，则在点因为两函数在点P处存在公切线，所以k1=又因为点P在两函数图象上，所以ln由①得a=12x02，将其代入②可得：ln将x0=e代入(1)得：将x0=e代入所以a=12e，点P

19.解：(1)当a=3时，f(x)=sin3x−3sinx，

则f′(x)=3sin2xcosx−3cosx=−3cos3x，

当x∈(2kπ−π2,2kπ+π2)(k∈Z)时，f′(x)<0，

当x∈(2kπ+π2,2kπ+3π2)(k∈Z)时，f′(x)>0，

所以f(x)的单调增区间为(2kπ+π2,2kπ+3π2)(k∈Z)，

单调减区间为(2kπ−π2,2kπ+π2)(k∈Z)；

(2)(i)f(π2)=1−a，由−2≤f(π2)≤a，解得a∈[12,3]，

f′(x)=3sin2xcosx−acosx=3cosx(sin2x−a3)，

记cosx1=0，sinx1=±1，f(x1)=sin2x−asin