北京市第四中学顺义分校2025-2026学年第二学期高二数学期中试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市第四中学顺义分校2025-2026学年第二学期高二数学期中试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A6A.65 B.160 C.165 D.2102.数列an满足an+1=an−3n≥1且A.−3 B.4 C.1 D.−23.袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为(

)A.38 B.27 C.284.在二项式(2−x)6的展开式中，x4的系数为A.−60 B.60 C.−30 D.305.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有(

)A.16种 B.36种 C.42种 D.60种6.设(1+x)n=a0+A.240x4 B.160x3 C.7.若随机变量X∼B10,0.6，则D2X−1=A.4.8 B.2.4 C.9.6 D.8.68.国古代典籍《周易》又称《易经》，分为经部和传部，其中经部之原名就为《周易》，是用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻(yao)组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是(

)A.516 B.1132 C.15329.已知无穷等差数列an前n项和为Sn，若a1<0，则“Sn有最大值”是“公差A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(

)

A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.等差数列−2，1，4，……的前10项和为

．12.已知数列{an}满足an+1−an=2n−15(n∈N∗),a113.已知p>0，q>0，随机变量ξ的分布列如下：ξpqPqp若E(ξ)=59，则p2+14.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种

.(以数字作答)

15.记数列{an}满足：an+1+(−1)nan=n,a1=1,Sn为{an}的前n项和，则下列正确结论的序号是

三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)已知{an}是等差数列，a(1)求{a(2)设{an}的前n项和Sn17.(本小题12分)

一个盒子中装有2个红球，4个白球，除颜色外，它们的形状、大小、质量等完全相同

(1)采用不放回抽样，先后取两次，每次随机取一个球，求恰好取到1个红球，1个白球的概率；

(2)采用放回抽样，每次随机抽取一球，连续取3次，求至少有1次取到红球的概率．18.(本小题12分)已知数列an的前n项和为S(1)写出数列an的前3项：a1，a2(2)当Sn取最小值时，求n(3)求出an的通项公式．19.(本小题12分)

毛猴是老北京的传统手工艺品，制作材料都取自中药材，工序大致分为三步，第一步用蝉蜕做头和四肢；第二步用辛夷做身子：第三步用木通做道具．已知小萌同学在每个环节制作合格的概率分别为34，45，23，只有当每个环节制作都合格时．这件作品才算制作成功，

(1)求小萌同学制作一件作品成功的概率；

(2)若小萌同学制作了3件作品，假设每次制作成功与否相互独立．设其中成功的作品数为X.求20.(本小题14分)设Sn是等差数列{an}的前(1)求数列{a(2)求数列{an}的前n从①S621.(本小题15分)2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类．生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗．某环保小组调查了北京市某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量(单位：吨)的折线图如下图：(1)从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率；(2)从2020年7月至12月中随机选取4个月，记X为这几个月中回收废纸再造好纸超过3.0吨的月份个数．求X的分布列及数学期望；(3)假设2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为a吨．当a为何值时，自2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小．(只需写出结论，不需证明)

参考答案1.C

2.C

3.B

4.B

5.D

6.C

7.C

8.D

9.C

10.C

11.115

12.−238

13.4914.72

15.①③④

16.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

由题意得a5=a2+3d，

即14=5+3d，解得d=3．

又a1=a2−d=5−3=2．

17.解：(1)一个盒子中装有2个红球，4个白球，除颜色外，它们的形状、大小、质量等完全相同，

采用不放回抽样，先后取两次，每次随机取一个球，

恰好取到1个红球，1个白球的概率为：

p1=26×45+46×25=18.解：(1)a1=2×a3(2)S故当n=7或n=8时，Sn(3)当n≥2时，an故an

19.解：(1)根据题意知，由相互独立事件的概率乘法公式得小萌同学制作一作品成功的概率为：P=34×45×23=25．

(2)根据题意知，X的可能值为：0，1，2，3，显然X～B(3,25)，X0123P2754368所以X的数学期望：E(X)=3×2520.解：选①：

(1)设等差数列{an}的公差d，

由题设知：a1+2d=76a1+6×5d2=33，解之得：a1=13，d=−3，

∴an=13−3(n−1)=−3n+16；

(2)因为d=−3，所以等差数列{an}是单调递减数列．

令an≥0，n≤163，n∈N∗，所以前5项和S5为Sn的最大值．

最大为S5=5(13+1)2=35，

即前n项和Sn的最大值为S5=35，无最小值．

选②：

(1)设等差数列{an}的公差d，由题设知：d=an−an−1=−3，

∵a3=a1+2×(−3)=7，∴a1=13，

∴an=13−3(n−1)=−3n+16；

(2)因为d=−3，所以等差数列{an}是单调递减数列．

令an≥0，n≤163，n∈N∗，所以前5项和S5为Sn21.解：(1)记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A由题意，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨所以P(A)=(2)因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸所以7月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3个月．X的所有可能取值为1，2，3．P(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=所以X的分布列为：X012P131E(X)=1×(3)a=4.4，当添加的新数a等于原几个数的平均值时，方差最小．理由如下：由于2020年6月至2020年12月该垃圾