电流和磁场教学内容

电流和磁场13.1电流和电流密度一、电流密度1、电流强度大小：单位时间通过导体某一横截面的电量。方向：正电荷运动的方向单位：安培（A）安培基准有方向的标量。电流的形成2但是，对于电流粗细不均匀、材料不均匀、大块导体等情况，不仅需用物理量电流强度来描述，还需建立电流密度的概念，进一步描述电流强度的分布。2、电流密度电流密度矢量：大小：单位时间通过该点垂直于电荷运动方向的单位面积的电荷量。方向：正电荷运动的方向。3几种典型的电流分布粗细均匀的金属导体粗细不均匀的金属导线半球形接地电极附近的电流4几种典型的电流分布电阻法勘探矿藏时的电流同轴电缆中的漏电流53、电流强度与电流密度的关系在导体中任取一截面元dS，设该处平均数密度为n，平均运动速度为。设每个载流子的电量为q，在dt时间内通过截面元的电荷量为在dt时间内通过某有限截面的电荷量为6对任意曲面，电流强度与电流密度的关系为即电流强度就是电流密度穿过某截面的通量。或表示为微分形式74、自由电子的漂移速度在金属中只有一种载流子，即自由电子，但各自由电子的速度不同。设电子的电量为e，单位体积内以速度vi运动的自由电子数为ni，则如果以v表示平均速度，n为单位体积内的总电子数，则因此，这一平均速度v称为自由电子的漂移速度8二、电流连续性方程电荷守恒定律：在孤立系统中，总电荷量保持不变。在有电荷流动的导体内任取一闭合曲面S，dt时间内通过S向外净流出的电荷量应等于同一段时间内S内电荷量的减少。即上式是电荷守恒定律的数学表述，又称电流连续性方程。9电流连续性方程的物理意义：如果闭合曲面S内有正电荷积累起来，则流入S面内的电荷量多于流出的电荷量；反之，如果S面内的正电荷减少，则流出的电荷量多于流入的电荷量。电流线发出于正电荷减少的地方，终止于正电荷增加的地方10例1、有一根铜导线，直径是0.3cm，在这个导线中，有一电流是，计算电子的漂移速率（已知铜线中单位体积内自由电子的数目是）。分析：由电流强度与电流密度的关系可以得到电流密度，再根据电流密度的定义式计算出电子漂移速率。解：由及可得1113.2电流的一种经典微观图像欧姆定律1900年特鲁德（P.Drude）首先提出用金属中自由电子的运动来解释金属导电性问题，以后洛伦兹进一步发展了特鲁德的概念，建立了金属的经典电子理论。金属导电的经典电子理论的基本框架金属中的正离子按一定的方式排列为晶格；从原子中分离出来的外层电子成为自由电子；自由电子的性质与理想气体中的分子相似，形成自由电子气；大量自由电子的定向漂移形成电流。12++++++++++++++++++++++++++++++金属中的离子与自由电子示意图13当金属中有电场时，每个自由电子都因受到电场力的作用而加速，即在无规则的热运动上叠加一个定向运动。自由电子在运动过程中频繁地与晶格碰撞，碰后电子向各个方向运动的几率相等。因此可认为每个电子在相邻两次碰撞间做初速为零匀加速直线运动。大量自由电子的统计平均，就是以平均定向漂移速度逆着电场线漂移。金属中的自由电子在电场中的运动14一、欧姆定律的微分形式设导体内的恒定场强为，则电子的加速度为电子两次碰撞的时间间隔为t，上次碰撞后的初速度为，则统计平均后，初速度的平均值为零，则平均时间间隔等于平均自由程除以平均速率15则平均漂移速度电流密度为其中，电导率为从金属的电子理论导出了欧姆定律的微分形式，而且得到了电导率的表达式。从电导率表达式知：电导率与自由电子的密度成正比，与电子的平均自由程成正比；还定性地说明了温度升高，电导率下降的原因。长l，截面积为S，则16电子的热运动速度与温度的平方根成正比，而从该理论得到的电导率与平均热运动速度成反比，所以电导率似乎应与温度的平方根成反比，但是实验结果是与温度成反比。金属的经典电子理论的缺陷金属的经典电子理论的主要缺陷是把适用于宏观物体的牛顿定律应用到微观的电子运动中，并且承认能量的连续性。只有在量子理论基础上建立起来的量子统计理论，才能得到与实验相符的结果。17二、恒定电流1、恒定电流：电流场中每一点电流密度的大小和方向均不随时间改变的电流。2、恒定条件(1)恒定条件：空间各点的电荷分布分布不随时间改变。即根据电流连续性方程得18在导体内形成恒定电流必须在导体内建立一个恒定电场，保持两点间电势差不变。把从B经导线到达A的电子重新送回B，就可以维持A、B间电势差不变。完成这一过程不能依靠静电力，必须有一种提供非静电力的装置，即电源。电源不断消耗其它形式的能量克服静电力做功。三、电动势19非静电力仅存在于电源内部，可以用非静电场强

表示。

由电源电动势定义得当电源外部无非静电力时，则在电源内部，电荷不仅受到恒定电场的作用力，还受到一种“非静电力”的所用，而被迫从负极移动到正极。2013.3磁力与电荷的运动一、基本磁现象1、中国在磁学方面的贡献：最早发现磁现象：磁石吸引铁屑春秋战国《吕氏春秋》记载：磁石召铁东汉王充《论衡》描述：司南勺

最早的指南器具十一世纪沈括发明指南针，发现地磁偏角，比欧洲的哥伦布早四百年十二世纪已有关于指南针用于航海的记载司南勺212、早期的磁现象(1)天然磁铁吸引铁、钴、镍等物质。(2)条形磁铁两端磁性最强，称为磁极。一只能够在水平面内自由转动的条形磁铁，平衡时总是顺着南北指向。指北的一端称为北极或N极，指南的一端称为南极或S极。同性磁极相互排斥，异性磁极相互吸引。(3)把磁铁作任意分割，每一小块都有南北两极，任一磁铁总是两极同时存在。(4)某些本来不显磁性的物质，在接近或接触磁铁后就有了磁性，这种现象称为磁化。磁极磁极中性区223、磁针南北东西NS磁南极磁北极4、磁铁与磁铁之间有相互作用同极相斥，异极相吸5、磁铁与电流之间有相互作用磁铁对电流有作用力231820年丹麦奥斯特电流对磁针有作用力I电流的磁效应奥斯特６、通电螺线管的行为与条形磁铁类似ＮＳ247、电流与电流之间也有相互作用运动的电荷？磁现象与电现象本质联系？静电场静止的电荷25十九世纪法国安培的分子环流假说：组成磁铁的最小单元是环形电流，大量的分子电流整齐地排列起来，在宏观上显示出磁性。Ｎ

磁现象的电本质—运动的电荷产生磁场运动电荷磁场产生作用26因此，磁铁与磁铁之间、电流与磁铁之间以及电流与电流之间的相互作用，是通过磁场来实现的。也就是说，任何磁铁、电流或运动电荷周围空间里都存在着磁场，而它们之间的相互作用实际上是磁场间的相互作用，是磁力的具体体现。值得指出的是，运动电荷与静止电荷不同之处在于：静止电荷的周围空间只存在静电场，而任何运动电荷或电流的周围空间，除了和静止电荷一样存在电场之外，还存在磁场。电场对处于其中的任何电荷（不论运动与否）都有电场力作用；而磁场则只对运动电荷有磁场力作用。27磁铁、载流导线和运动电荷周围都伴随着磁场，磁场看不见摸不着，但是可以用我们感知到的方式描述它。磁场既具有方向，又显示强弱。那么如何来描述磁场呢?我们可以从磁场对外的各种表现中，采取其中任何一种表现来描述磁场的性态。我们利用“磁场对试探的运动点电荷有磁场力作用”这一对外表现，引入磁感应强度这一物理量，来描述磁场中各点的方向和强弱。2813.4磁场与磁感应强度磁场的宏观性质：对其中的运动电荷有力的作用。磁场是一种物质，有质量、能量，是客观存在，磁力通过磁场传递。一、磁场运动电荷周围存在磁场。运动电荷运动电荷磁相互作用磁场29磁场力，运动电荷才受磁力

磁感强度或称磁通密度

洛仑兹力公式洛仑兹力：当带电粒子沿磁场方向运动时:当带电粒子的运动方向与磁场方向垂直时:30确定某点的B的大小和方向二、磁感应强度是表征磁场力的性质的物理量（1）利用求出（2）重复（1）步，找出某个特定方向，电荷沿此方向运动不受磁力，此即B的方向。（3）电荷沿其他方向运动时，与B和v都垂直。（4）磁力大小与成正比。31方向：小磁针平衡时N极的指向。大小：

单位：特斯拉（T）高斯（G）由实验结果可见，磁场中任何一点都存在一个固有的特定方向和确定的比值Fm/(qv)，与试验电荷的性质无关，反映了磁场在该点的方向和强弱特征，为此，定义一个矢量函数：32三、磁感线产生磁场的运动电荷或电流称为磁场源。实验指出，在有若干个磁场源的情况下，它们产生的磁场服从叠加原理。如果以Bi表示第i个磁场源在某处产生的磁场，则在该处的总磁场B为磁场的叠加原理33由铁粉显示的几种典型电流产生的磁场34几种不同形状电流磁场的磁感线为了形象地描述磁场中磁感应强度的分布，类比电场中引入电场线的方法引入磁感线（或B线），其画法规定与电场线画法一样。351、磁感线的性质电流磁感线与电流套连闭合曲线(磁单极子不存在)互不相交方向与电流成右手螺旋关系规定：通过磁场中某点处垂直于矢量的单位面积的磁感应线数等于该点矢量的量值。磁感线越密，磁场越强；磁感线越稀，磁场就越弱，磁感线的分布能形象地反映磁场的方向和大小特征。362、磁通量磁通量：穿过磁场中任一给定曲面的磁感线总数。dSn单位：韦伯(Wb)对整个曲面，磁通量：对所取微元，磁通量：3713.5毕奥-萨伐尔定律一、毕奥-萨伐尔定律载流导线中的电流为I，导线半径比到观察点P的距离小得多，即为线电流。在线电流上取长为的定向线元，规定的方向与电流的方向相同，为电流元。毕奥-萨伐尔定律给出了一段电流元Idl与它所激发的磁感应强度dB之间的大小关系38恒定电流元Idl在某一场点P产生的磁场可以用下图来表示39电流元在给定点所产生的磁感应强度的大小与Idl成正比，与到电流元的距离平方成反比，与电流元和矢径夹角的正弦成正比。——毕奥-萨伐尔定律40磁感应强度的矢量式：其中

0=410-7N•A-2，称为真空中的磁导率。毕-萨定律的微分形式毕-萨定律的积分形式41

毕奥—萨伐尔定律是1820年毕奥和萨伐尔通过对电流的磁作用的实验研究结果分析得出的。有了电流元的磁场公式，根据叠加原理，对这一个公式进行积分，就可以得到任意电流的磁场分布。

计算磁场的基本方法与静电场中计算带电体的电场方法相仿，为了求恒定电流的磁场，我们也可将载流导线分成无限多个小的载流线元，电流元可作为计算电流磁场的基本单元。42二、磁通连续定理根据磁感应线为封闭曲线的性质，可知在磁场中，通过任意封闭曲面的磁通量等于零，即称为磁通连续定理，或磁场的高斯定律。磁场是无源场。43三、毕奥-萨伐尔定律的应用设有长为L的载流直导线，通有电流I。计算与导线垂直距离为d的p点的磁感应强度。取Z轴沿载流导线，如图所示。1、载流长直导线的磁场按毕奥—萨伐尔定律有：所有dB的方向相同，所以P点的的大小为：44由几何关系有：45考虑三种情况：(1)导线无限长，即(2)导线半无限长，场点与一端的连线垂直于导线(3)P点位于导线延长线上，B=046电流元Idl在场点P的磁感强度大小为设有圆形线圈L，半径为R，通以电流I。2、载流圆线圈轴线上的磁场各电流元的磁场方向不相同，可分解为和，由于圆电流具有对称性，其电流元的逐对抵消，所以P点的大小为：4748（1）在圆心处讨论：（2）在远离线圈处载流线圈的磁矩引入大小：IS方向：圆平面法线方向N匝线圈：与电偶极子比较！习题10.449设螺线管的半径为R，电流为I，每单位长度有线圈n匝，在距离p点l处取一小段dl3、载流直螺线管内部的磁场50由于每匝可作平面线圈处理，ndl匝线圈可作Indl的一个圆电流，在P点产生的磁感应强度：单个圆电流5152讨论：实际上，L>>R时，螺线管内部的磁场近似均匀，大小为（1）螺线管无限长（2）半无限长螺线管的端点圆心处53例1、一个半径为R的塑料薄圆盘，电量+q均匀分布其上，圆盘以角速度

绕通过盘心并与盘面垂直的轴匀速转动。求圆盘中心处的磁感应强度。解：带电圆盘转动形成圆电流，取距盘心r处宽度为dr的圆环作圆电流，电流强度为++++++++++++++o

54例2、一条无限长的导线通有电流I，将导线折成一抛物线形状（如图所示），焦点到顶点的距离为a，求焦点O处的磁感应强度。

分析：将无限长载流导线分解成若干电流元Idl，首先计算电流元在O点产生的磁场大小和方向，然后对整个导线进行积分，即可得到总的磁感应强度。解：如图取电流元Idl，根据B-S定律，有55由于各电流元在O点产生的磁场dB都垂直于纸面向外，因此由几何关系所以5613.7安培环路定理1、环路包围电流一、长直电流的磁场57在垂直于导线的平面内作一包围电流的环路，在线上任取一点，到电流的距离为r，磁感应强度的大小：由几何关系得：58如果闭合曲线不在垂直于导线的平面内：结果一样！59如果沿同一路径但改变绕行方向积分：结果为负值！

表明：磁感应强度矢量的环流与闭合曲线的形状无关，它只和闭合曲线内所包围的电流有关。60结果为零！

表明：闭合曲线不包围电流时，磁感应强度矢量的环流为零。2、环路不包围电流61在磁场中，沿任一闭合曲线矢量的线积分（也称矢量的环流），等于真空中的磁导率

0乘以穿过以这闭合曲线为边界所张任意曲面的各恒定电流的代数和。

电流I的正负规定：积分路径的绕行方向与电流成右手螺旋关系时，电流I为正值；反之I为负值。I为负值I为正值绕行方向二、安培环路定理安培环路定理62空间所有电流共同产生的磁场在场中任取的一闭合线，任意规定一个绕行方向L上的任一线元空间中的电流环路所包围的所有电流的代数和物理意义：63几点注意：任意形状恒定电流，安培环路定理都成立。

环流虽然仅与所围电流有关，但磁场却是所有电流在空间产生磁场的叠加。

安培环路定理仅仅适用于恒定电流产生的恒定磁场，恒定电流本身总是闭合的，因此安培环路定理仅仅适用于

闭合的载流导线。

静电场的高斯定理说明静电场为有源场，环路定理又说明静电场无旋；恒定磁场的环路定理反映恒定磁场

有旋，高斯定理又反映稳恒磁场无源。6413.8利用安培环路定理求磁场的分布(1)分析磁场的对称性；(3)求出环路积分；(4)用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的正负，最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强度的大小。应用安培环路定理的解题步骤：(2)过场点选择适当的路径，使得沿此环路的积分易于计算：的量值恒定，与的夹角处处相等；65设圆柱电流呈轴对称分布，导线可看作是无限长的，磁场对圆柱形轴线具有对称性。当长圆柱形载流导线外的磁场与长直载流导线激发的磁场相同！一、长直圆柱形载流导线内外的磁场66当，且电流均匀分布在圆柱形导线表面层时当，且电流均匀分布在圆柱形导线截面上时在圆柱形载流导线内部，磁感应强度和离开轴线的距离r成正比！67例1、有一根很长的同轴电缆由两根同轴导体构成，这两根导体的尺寸如图所示，在其中，分别有大小相等方向相反的电流I通过，(1)求里面那根导体内离轴r(r<a)处的磁感应强度B,(2)求两导体之间(a<r<b)处的B，(3)求外面导体内(b<r<a)的B，(4)求电缆外面(r>c)的B。解：以导体轴为中心作半径为r的圆形回路(1)当r<a时，导体回路包围的电流为68根据安培环路定理所以方向沿切向(2)当a<r<b时，由安培环路定理知所以方向沿切向69(3)当b<r<c时，由于两个导体中的电流等量反向，所以回路中的电流为由安培环路定理得所以方向沿切向70(4)当r>c时，由安培环路定理所以71设螺线管长度为l,共有N匝。二、载流长直螺线管内的磁场72设环上线圈的总匝数为N，电流为I。三、载流螺绕环内的磁场73四、无限大平板电流的磁场分布解：视为无限多平行长直电流的场。分析求场点P的对称性做

po垂线，取对称的长直电流元，其合磁场方向平行于电流平面。因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的各点B的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。无数对称元在

P点的总磁场方向平行于电流平面。设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外的电流通过，面电流密度（即指通过与电流