人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》单元练习题

人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》单元练习题勾股定理，作为几何学中的基石之一，不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，更为我们解决实际问题提供了强大的工具。本章的学习，旨在让同学们理解并掌握这一重要定理及其逆定理，并能灵活运用于计算、证明及解决与生活密切相关的问题。以下单元练习题，将帮助你巩固所学知识，提升综合运用能力。请同学们在独立思考的基础上完成，体验数学的严谨与趣味。一、基础巩固与知识梳理本部分旨在检验同学们对勾股定理核心内容的理解和基本应用能力。请务必仔细审题，规范步骤。（一）精心选一选1.在一个直角三角形中，若两条直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则下列关系式一定成立的是（）A.a²+c²=b²B.a²+b²=c²C.b²+c²=a²D.(a+b)²=c²*思路指引：回忆勾股定理的基本表述，明确直角边与斜边的关系。*2.下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（）A.3，4，6B.5，12，13C.1，2，3D.4，5，6*思路指引：运用勾股定理的逆定理，分别计算各选项中两条较短边的平方和，并与最长边的平方进行比较。*3.一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，则另一条直角边长为（）A.4B.6C.8D.10*思路指引：直接应用勾股定理，已知斜边和一条直角边，求另一条直角边，注意运算的准确性。*（二）细心填一填1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c=______；若a=5，c=13，则b=______。*思路指引：这是勾股定理最直接的应用，注意区分斜边和直角边。当∠C=90°时，c为斜边。*2.若一个三角形的三边长分别为m，n，p，且满足m²+n²=p²，则这个三角形是______三角形，其中______边所对的角是直角。*思路指引：本题考查勾股定理逆定理的文字表述，理解定理的核心是“数量关系”决定“位置关系”（即直角）。*3.一个正方形的对角线长为d，则它的边长为______。（用含d的代数式表示）*思路指引：正方形的两条相邻边与对角线构成一个等腰直角三角形，可设边长为x，利用勾股定理建立方程求解。*（三）耐心解一解1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=6cm，BC=8cm，求AB的长和CD的长。*(请自行在草稿纸上画出简单示意图：直角三角形ABC，直角顶点为C，CD垂直于斜边AB于D)**思路指引：首先，在Rt△ABC中，利用AC和BC的长度，通过勾股定理求出斜边AB的长度。然后，考虑到直角三角形的面积有两种表示方法：(1/2)×AC×BC和(1/2)×AB×CD，由此可以建立等式求出CD的长度。这体现了“面积法”在解题中的应用。*2.一个梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为4米，梯子的底端离墙3米。如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端将向外滑动多少米？*思路指引：这是一个生活中的实际问题，可转化为直角三角形问题。梯子的长度是不变的。首先根据初始状态求出梯子的长度。然后，顶端下滑1米后，新的顶端距地面高度为3米，再次利用勾股定理求出此时梯子底端离墙的距离，最后计算滑动的距离。注意，下滑后梯子长度不变是关键。*二、能力提升与综合运用本部分题目稍有难度，需要同学们灵活运用所学知识，进行一定的分析和转化。1.已知一个直角三角形的周长为12，斜边长为5，求这个直角三角形的面积。*思路指引：设两条直角边分别为a和b。已知周长和斜边，可以得到a+b+5=12，即a+b=7。又因为是直角三角形，所以a²+b²=5²=25。要求面积，即求(1/2)ab。如何由a+b和a²+b²求出ab呢？可以回忆完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²，将已知数值代入即可求出ab。*2.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。*(请自行在草稿纸上画出简单示意图：四边形ABCD，∠B为直角，连接AC将其分成两个三角形)**思路指引：对于不规则四边形的面积，可以考虑通过添加辅助线将其分割成规则图形（如直角三角形）。连接AC后，△ABC是直角三角形，可求出AC的长度。在△ACD中，已知三边长度，可利用勾股定理的逆定理判断其是否为直角三角形。若为直角三角形，则四边形ABCD的面积为两个直角三角形面积之和。*3.如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米。在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π取3）*(请自行在草稿纸上画出圆柱的侧面展开图：将圆柱侧面沿一条母线剪开，得到一个长方形，点A和点B在展开图中的位置关系是长方形的一条边的一个端点和对边中点（或根据相对位置确定）)**思路指引：蚂蚁在圆柱侧面爬行，求最短路程，通常的方法是将圆柱侧面展开成平面图形（长方形），此时A、B两点间的最短距离即为连接这两点的线段的长度。需要明确展开后长方形的长和宽分别对应圆柱的什么量。长方形的宽即为圆柱的高12厘米；长方形的长即为圆柱底面圆的周长，根据半径r=3厘米，周长C=2πr，π取3，可求得。然后在这个直角三角形中，利用勾股定理求出斜边AB的长度，即为最短路程。*三、思考与拓展1.在数轴上作出表示√10的点。*思路指引：要在数轴上表示无理数√10，可以利用勾股定理，构造一个直角边分别为正整数的直角三角形，使斜边长度为√10。例如，3和1，因为3²+1²=10。具体做法是：在数轴原点O处作垂线，截取OA=1（单位长度），然后以A为圆心，以3个单位长度为半径画弧，与数轴正半轴交于点B，则点B即表示√10。请思考为什么这样做是正确的。*2.已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，试判断△ABC的形状。*思路指引：这是一道代数变形与几何判断相结合的题目。首先对等式进行变形：左边提取公因式c²得c²(a²-b²)，右边可以利用平方差公式分解为(a²+b²)(a²-b²)。移项后得到c²(a²-b²)-(a²+b²)(a²-b²)=0，再提取公因式(a²-b²)得到(a²-b²)(c²-a²-b²)=0。所以有a²-b²=0或c²-a²-b²=0。即a=b或c²=a²+b²。因此，△ABC可能是等腰三角形，也可能是直角三角形，或者既是等腰三角形又是直角三角形（等腰直角三角形）。注意，不要漏掉任何一种情况。*单元练习小结勾股定理是平面几何中的重要定理，其应用广泛且灵活。通过本单元的练习，希望同学们不仅能熟练掌握定理的内容和基本应用，更能体会到数形结合、转化与化归等数学思想方法的魅力。在解决问题时，要养成仔细审题、规范书写、多角度思考的好习惯。遇到困难时，多回顾课本例题和基本模型，相信你一定能攻克难关，在数学的世界里不断探索前行！温馨提示