北师大版八年级数学下册教案-第五章 分式与分式方程

第五章分式与分式方程

一、课标摘录

1.了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能对简单的分式进行加、减、乘、

除运算。

2.能根据现实情境理解分式方程的意义，能针对具体问题列出分式方程，理解分式方程解的意义。

3.掌握分式的基本性质，能解可化为一元一次方程的分式方程。

二、教材分析

此章节是在学生掌握整式运算、一元一次方程与不等式基础上的深化拓展，为后续学习二次方程、函

数茨:牢根基。其涵盖分式概念、性质、四则运算及分式方程解法与应用。从分式概念起始，让学生明晰分

式与整式区别，掌握有意义及值为0的条件；乘除法运算通过类比分数法则学习，锻炼运算与推理能力;

加减法中，同分母、异分母运算各有法则，巩固概念并提升运算准确性。分式方程更是结合实际问题，培

养学生应用意识与解决问题的能力。这一章内容逻辑紧密，层层递进，分式概念为基，运算为手段，方程

为应用，全方位提升学生数学素养，助力其构建更完善知识体系。

三、教学目标

1.让学生准确理解分式的概念，能清晰区分分式与整式，熟练掌握分式有意义、无意义及值为0的条件，

并能运用这些条件解决相关问题。

2.使学生掌握分式的基本性质，能依据性质对分式进行约分和追分，理解约分和通分在分式运算中的作用，

为分式四则运算奠定基础。

3.引导学生熟练掌握分式的四则运算法则，包括乘除法、加减法（同分母和异分母），能准确进行分式的

混合运算，提高运算的熟练度和准确性。

4.帮助学生理解分式方程的概念，掌握解分式方程的一般步骤，包括去分母化为整式方程、求解整式方程、

检验根的合理性，能正确解出分式方程。

5.培养学生运用分式方程解决实际问题的能力，让学生经历从实际问题中抽象出分式方程模型的过程，体

会数学与生活的联系，增强应用数学的意识和能力。

四、教学重难点

重点：分式的四则运算及分式方程的解法。

难点：分式方程中增根的理解与检验

五、本章知识结构

分式

第1课时分式的概念

教学设计

课标摘录了解分式的概念

教学目标1.会用分式表示现实情境中的数量关系；

2.通过探索实际情境，总结出分式的概念，并会区别分式与整式；

3.会求分式的值，并会判断分式有无意义。

教学重难点重点:通过探索实际情境，总结出分式的概念，并会区别分式与整式。

难点:会求分式的值，并会判断分式有意义、无意义、分式值为零的条件。

教学策略本节课从实际情境入手，如通过工程问题、销售问题引出代数式，对比整式引出分

式。讲解时强调形如A/B(A、B为整式，B含字母且BWO)的定义，结合例子解析关

键词。借分数分母不为0类比，让学生理解分式有意义的条件。通过实例让学生区分分

式与整式，明确分母是否含字母是关键。课堂中多让学生参与判断、讨论，总结要点，

布置不同层次作业巩固。教学中关注学生对BWO的忽略，激发兴趣，提升理解与应用

能力。

教学过程

教学步骤教学活动

情境导入如图所示的胡夫金字塔大约重650万吨，共用了x万块石头，那么同学们知道平均每块石头

重多少吨吗？

650

根据除法规则，可以知道平均每块石头重—v_吨.

新知初探探究一分式的概念

1.面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林2400hm2,实际每月固沙造

林的面积比原计划多30hm2,结果提前完成原计划的任务.如果设原计划每月固沙造林xhm2,

那么

(1)原计划完成造林任务需要多少个月？

(2)实际完成造林任务用了多少个月？

2.在第24届冬季奥林匹克运动会期间，某电视台对其中一项赛事进行了连续转播.据统计，这

项赛事前a天日均收看人数为m万，后b天日均收看人数为n万，那么这(a+b)天该赛事的日均

收看人数为多少万？

3.某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a元，现每册降价x元销售，当这种图

书的库存全部售出时，其销售额为b元.降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是多少？

问题：上面问题中出现了代数式，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？

24002400bam+bn

xI-x+30/-a-xJ•0・

共同特征：类似分数，分母中都含有字母.

与整式不同是：整式的分母中不含有字母.

归纳总结

分式的概念：一般地，用A,B表示两个整式，A+B可以表示成的形式。如果B中含有

字母，那么称6为分式•其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。对任意一个分式，

分母都不能为零.

例1下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

⑴!⑵会⑶含；⑷掌

解：属于整式的有(2)(4),属于分式的有(1)(3).

注意：分式必须满足的三个条件：

(1)形如色的式子；

(2)A、B都是整式；

(3)分母B中含有字母且BW0

任务一意图说明

让学生进一步经历探索实际问题中的数量关系的过程；通过问题情景，让学生初步感

受分式是解决问题的一种模型；体会分式的意义，发展符号感。

探究二分式有、无意义的条件

思考：（1）分式与分数有怎样的区别与联系？

（2）分式1有意义的条件是什么？值为零的条件呢?

解：⑴

整数，一

5类比思想而

、整数\整式

分数分式（分母含有字母）

分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性.

I特殊到一®思想

（2）我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.

当比0时，分式等有意义.

当.4=0且屏0时，分式看的值为零.

归纳总结：

分式有（无）意义的条件：（I）分式有意义的条件：分式的分母不等于0.

（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0.

分式1的值为零的条件：分子A=0,且分母BN0.

典例精析

例2⑴当a=l,2,T时，分别求分式黑的值；

（2）当x为何值时，分式勺的值为0?

•\I工

例3下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义?

⑴*②占⑶益⑷

随堂练习

1.填空：

⑴下列式子中：lab-2-1；3；哗；-；」一：是整式的有5’.

八十1ab5x+y

2

___x___a__b_c___1__•

是分式的有2x+l'ab.

(2)若代数式台里有意义，则实数.V的取值范围是正一1且#0.

(3)若分式—的值为0,贝h的值是2.

2.v

2.下列分式中的字母满足什么条件时分式值为0?

⑴号⑵山⑶工

x2+3x-yx(x-l)

fx=0x

解：(1)由题意得｛，,A，解得尸0,即尸。时，分式一43的值为0.

[x+3/0x十，

(2)要使分式为0,贝叶"=。，所以，且没＞，，即Xf

[x-y^0

(3)要使分式值为0,贝山-1二°,所以"0且炽1,所以x=・L

x(x—l)wO

任务二意图说明

通过例题讲解，让学生从两方面来理解，一是分式分式中的字母可以表示使分式有意

义的任何数；二是分式可与分数类比，分式的分母也不能为零。学生基本能够通过计算出

分式的值，但对于分式什么条件下有意义，一下子掌握还有一定的难度，需要通过与分数

进行类比，多举例才能理解的更深刻。

当堂达标具体内容见同步课件

课堂小结具体内容见同步课件

板书设计

第1课时分式的概念

1.分式定义3.分式何时值为零

2.分式有意义得条件4.例1

教学反思本节课在设i一上重在让学生参与，通过让学生自学、展示、交流、讨论，在小组内互帮互

助，一堂课下来，教师讲的很少,把时间交给了学生,学生是整个课堂的主人每个学生都有发

言的机会,教师只是适时点拨、引导，效果很好，体现了“以生为本”的生本课堂思想.

通过对分式有无意义的条件的探究，让学生亲历发现事物特征、规律的过程，激发学生

的学习兴趣和自信心，引发内在的学习动力对学生数学学习的评价，既要关注学生知识与技

能的理解和掌握，更要关注他们参与数学活动的程度、合作交流的意识与能力，情感、态度

的形成和发展。也就是既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们学习过.程中的变化和发

展，充分发挥评价的激励作用.

1分式及其基本性质

第2课时分式的基本性质与约分

教学设计

课标摘录1.掌握分式得基本性质；

2.了解最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分。

教学目标1.理解分式的基本性质，能运用分式的基本性质对分式进行变形；

2.通过类比分数的基本性质探索分式的基本性质，培养学生类比的推理能力；

3.通过运用基本性质获得分式变形的基本方法，体验学习的乐趣.

教学重难点重点:理解并掌握分式的基本性质。

难点：灵活运用分式的基本性质，进行分式的恒等变形及最简分式的化简。

教学策略教学分式基本性质与约分时，可从分数性质入手，通过类比引导学生发现分式基本

性质，结合实例让学生理解分式分子分母同乘（除）不为零整式时值不变。讲解约分时，

先复习分数约分，过渡到分式约分，强调找公因式的方法，从系数、相同因式及最低次

塞入手。让学生动手操作，对分式化简，在纠错中明确约去的是公因式，避免只约部分

项。通过小组讨论总结步骤，结合不同难度习题巩固，让学生在类比与实践中掌握知识，

体会转化思想。

教学过程

教学步骤教学活动

情境导入1.回顾知识

分式的定义，分式有意义，分式无意义，分式为0时的条件.

2.问题导入

问1：q4二；1=53吗？你的判断依据是什么？从左到右依次是怎样变化来的？谁是最简的分

X26

数？

问2：你能想到分式的基本性质会是什么？

新知初探探究一分式的基本性质

活动1想一想

问题1：类比分数;二输你认为分式2与5相等吗？

问题2：回顾分数得基本性质，猜一猜，人式有什么性质？

猜想分式的基木性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的

值不变.

上述性质可以用式子表示为：,-=—(^*0).

aama

问题3：应用分式的基本性质时需要注意什么？

(1)分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；

(2)所乘(或除以)的必须是同一个整式；

(3)所乘(或除以)的整式应该不等于零.

任务一意图说明

分式基本性质教学旨在让学生通过与分数基本性质的类比，理解分式分子分母同乘

(或除以)不为零整式时分式值不变的核心内涵，建立新旧知识的联系，培养类比迁移能

力。通过实例辨析，帮助学生明确“不为零整式”这一限制条件的必要性，避免认知误

区。同时，引导学生体会从具体到抽象的思维过程，为后续分式约分、通分等运算奠定理

论基础，渗透转化与类比的数学思想，提升对分式运算合理性的理解，增强数学思维的严

谨性。

探究二约分

活动1例2下列等式的右边是怎样从左边得到的？

(1)-=-^(y#0)；(2)

2x2沙,bxb

解：(1)因为疗0,所以

2x2xy2xy

(2)因为x却,所以黄二产二三

bx匕+xb

追问：在例2(2)中，为什么xNO?

活动2例3化简下列各式：

⑴华⑵白」

477/i、a2》。abac__

解：⑴ab二ab=aC

⑵Hi二(i)(x+i)二x+i

X2-2X+1~(X-1)2~X-I

归纳总结：

约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.

约分的基本步骤：

(1)若分子分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幕；

(2)若分子、分母含有多项式，则先将多项式因式分解.，然后约去分子、分母所有的公因

式.

活动3操作-交流

(1)化简分式：黑

2Qx2y

(2)议一议:

在化简例5二xv、,时，小宇和小丽就出现了分歧.

小宇的结果为：霁厂23；小丽的结果为：2oX，=4；；v=4：你对他们两人的做法

有何看法？与同伴进行交流。

知识小结：

最简分式：当分式的分子和分母已没有公因式时，这样的分式称为最简分式.（注意：化

简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式.判断一个分式是不是最简分式，要严格按照

定义来判断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母是多项式时，要先把分子、分母

因式分解.）

活动4观察•思考

一XX

（1）——与二有什么关系？

-y）’

一XXX

（2）—与一与一-有什么关系？

）'-.V）'

知识小结：

分式的分子、分母和分式本身的符号：改变其中任意一个或三个符号，分式的值变成原分

式值的相反数；同时改变其中任意两个符号，分式的值不变.

活动5随堂练习

1.如果把三匚中的x与y都扩大为原来的10倍,那么这

个代数式的值（）

A.不变B.扩大为原来的50倍

C.扩大为原来的10倍D.缩小为原来的注

2.下列分式是最简分式的是（）

2m-24'一1',,..61w

w-l3个x+y32m

3.把分式自约分为（）

25.r

A.-B.-C』D.4

x55x25x

答案：l.A2.C3.C

任务二意图说明

分式约分及最简分式教学，旨在让学生在理解分式基本性质的基础上，掌握约分的方

法与步骤，明确最简分式的标准。通过类比分数约分，引导学生将分式约分转化为找公因

式、约去公因式的过程，培养转化思想与运算能力。结合实例辨析，让学生体会“约去所

有公因式”的严谨性，避免漏约或错约，深化对分式化简本质的理解。同时，为后续分式

加减运算铺垫基础，提升学生对代数式变形的掌控力，增强数学运算的规范性与逻辑性。

当堂达标具体内容见同步课件

课堂小结具体内容见同步课件

板书设计第2课时分式的基本性质与约分

1.分式基本性质2.例23.例3

约分：

最简分式：

教学反思本次分式基本性质与约分教学，虽通过分数类比帮助学生建立了知识联系，但对“整

式不为零”的强调仍显不足，部分学生化简时忽略限制条件。约分教学中，学生对公因式

的确定，尤其是多项式公因式的提取存在困难，说明前期因式分解知识复习不够充分。课

堂练习层次略显单一，未能充分兼顾不同水平学生。后续需加强易错点辨析，增加多项式

约分实例，设计分层练习，同时多让学生展示思路，及时发现思维漏洞，强化转化思想的

渗透，提升学生对分式变形严谨性的把握。

2分式的运算

第1课时分式的乘除法

教学设计

课标摘录能对简单的分式进行乘、除运算。

教学目标1.类比分数的乘除运算法则，探索分式的乘除运算法则。

2.理解分式的乘除运算法则，会进行简单的分式的乘除法运算，发展运算能力。

3.通过小组讨论、交流，培养学生合作探究的意识和能力。

教学重难点重点:分式乘除法的法则及应用。

难点：分子分母是多项式的分式的乘除法运算

教学策略首先在教师的启发下，引导学生积极思考，回忆有关知识和研究方法；然后创设问

题情境，利用“问题”的教学形式，点拨学生学习思路，指导学生自主学习、合作交

流，共同探索解决问题的途径和方法，由学生讲题，最后由老师完善问题的解答，总结

思路方法，并对获得的知识加以应用和巩固。

教学过程

教学步骤教学活动

情境导入分式的基本性质是什么？

分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.

上述性质可以用等式表示为：

aaXmaa-rm

k=人=一巾⑺工。）

bOXmbb-m

新知初探探究一分式的乘除

活动1观察下列运算，并回答问题：

2Y4-2x4

3*5—3x5

2.4_2y5_2x5

3,5-34-3x4

1.上面运算的依据是什么？

2.你能回忆并说出分数的乘法和除法法则吗？

3.先猜一猜，下面式子的结果是什么呢？你能类比分数的运算完成下列式子吗？

隹住bdbd

猜一猜：一x_=；—-r—=

acac

4.你能类比分数的乘除法法则概括出分式的乘除法法则吗？

归纳总结：

1.分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分了•，把分母相乘的积作为积

的分母.用字母表示为：其中a、b、c、d是整式，bd"

bdbd

2.分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母

表示为：其中。、b、c、d是整式，bcd，O.

bdbcbe

强调：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.

（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.

（3）整式与分式用乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相

乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.

（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.

3.分式的乘方：分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方。用字母表

示为：

传）=5（〃为正整数）.

/、〃〃（\nn

强调：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把fJ写成7=j

㈤bn⑴b

（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.

（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式

时应先分解因式，再约分.

活动2例1计算

（l）f・省；（2）3xy1士

4y3a2，x

解：⑴四.宅卫名0

4y3az4y3a22a

活动3例2计算

(1)3.1(2)4--

a-4a2+4aa2-4a+4a2-4

解:(1)丝2・二_二丝士・」—二」—

a-4Q2+4Qa-4Q(Q+4)a(a-4)

/^\a-1.a2-1_a—1.4_(a-l)(ii—2)(a+2)_a+2

a2-4a+4a2-4a2-4a+4a2-l(a-2)2(a-l)(a+l)(a-2)(a+l)

活动4随堂练习

1.计算：(1)四.也；(2)，-4)，2.x+2.v

2c24cdx2+2xy+y22x2+2xy

答案与解析：

解.(i)〃卜.~~3a'ba54cd_a~b•4cd_2d

2c*4cd2c2-3a2b-6c2a2b3c

(2)x2-4y2:%+2y

x2+2xy+y2lx2+2xy

；(x+2y)(x_2y),2x(x+y)2x(x-2y)2x2-4xy

(x+y)?x+2yx+yx+y

任务一意图说明

分式乘除法教学旨在让学生在掌握分数乘除法及分式基本性质的基础上，理解分式乘除

法法则的推导过程，体会从分数到分式的类比思想，培养推理能力。通过例题和练习，使学

生熟练运用法则进行运算，包括约分、处理符号及整式参与的情况，提升运算技能。同时，

让学生感受分式运算在解决实际问题中的应用，增强数学应用意识，为后续学习分式加减及

更复杂代数式运算奠定基础，逐步形成严谨的数学思维习惯。

探究二分式乘除法的应用

活动1尝试-交流

购买西瓜时，人们希望西瓜觐占整个西瓜的比例越大越好。假如我们把西瓜都看成球

形，并把西瓜辄的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是"，己知球的体枳公式为V=/r2

(其中R为球的半径)，那么：

(1)西瓜疑与整个西瓜的体积比是多少？

(2)买大西瓜合算还是买小西瓜合算？与同伴进行交流。

解：由题意可知

4

西瓜酬的体积是：(R-d)3；

4°

整个西瓜的体积是7rR；

^n(R-d)3(R-d,

(1)西瓜颖与整个西瓜的体积比是34=’-」：

》R3、R3

(2)根据球的体积公式，得：

V西瓜m=CR-d)3，

^7T(/?-d)3依-日产

则西瓜瓢与整个西瓜的体积比是一——=--」，

-7T/?3Y

3

故买大西瓜比买小西瓜合算.

任务二意图说明

分式乘除法应用教学，旨在引导学生将分式乘除法法则从纯数学运穿延伸到实际问题解

决中，体会知识的实用价值。通过分析实际场景中的数量关系，让学生学会用分式表示量与

量的关系，进而运用乘除法运算解决问题，培养从实际情境中抽象数学模型的能力。在此过

程中，深化时法贝」的理解与灵活运用，提升分析问题、解决问题的综合素养，感受数学与生

活的紧密联系，增强用数学知识解决实际问题的信心与能力。

当堂达标具体内容见同步课件

课堂小结具体内容见同步课件

板书设计

第1课时分式的乘除法

1.分式乘除法则2.分式乘除法的应用

(1)例1(2)例2

教学反思

学生对于法则的运用不难，但是计算能力差的学生在运用法则计算时遇到单项式乘单项

式，单项式乘多项式或多项式乘多项式即整式的乘法运算时，情况较差，另外在结果的化简

上存在问题，化简意识不够，应该在复习分数的乘除法时复习分数的约分，通过对分数的约

分类比分式的约分，加强化简意识和能力。还有因式分解的基础知识不扎实，这些直接影响

这节课的学习，这充分体现了数学知识是相关枉联的，所以课前有必要巩固整式的乘法运算

和因式分解这两方面的知识，进行有针对的练工。

2分式的运算

第2课时同分母分式的加减法

教学设计

课标摘录能对简单的分式进行加、减运算。

教学目标1.经历运用类比的方法探索同分母分式加减运算法则的过程。掌握同分母分式加减法的

法则，会进行简单分式的加减法运算。

2.能解决与分式加减有关的简单的实际问题，体会分式的模型作用。

3.进一步发展运算能力，培养代数化归意识，发展合情推理能力。

教学重难点重点：同分母分式加减法法则及其应用。

难点:分母互为相反数的分式加减。

教学策略在同分母分式加减法教学中，可从学生熟悉的同分母分数加减法入手，通过类比迁

移引入新知，降低理解难度.教学时先回顾分数加减法法则，引导学生观察分式结构，

发现同分母分式与同分母分数在形式上的相似性，进而猜想分式加减法法则，接着结合

具体例题，让学生尝试计算，在实践中体会“分母不变，分子相加减”的核心，同时强

调分子是多项式时需添括号再运算，避免符号错误。之后设计不同层次的练习，从简单

到复杂，涵盖分子是单项式、多项式及需要化简的情况，让学生在应用中巩司法则，逐

步形成运算技能。最后通过小组讨论总结易错点，加深对法则的理解与掌握。

教学过程

教学步骤教学活动

情境导入同学们，在小学阶段，我们学习过同分母分数的加减法，你们还记得其算法是什么吗？

请你们快速依照法则算出下列计算题。

⑴：+冷------；⑵------------；(3)n+n=-------------；⑷A”-------------；

师生互动：通过几道同分母分数加减题，让学生回顾同分母分数法则：同分母的分数相加

减，分母不变，分子相加减。

新知初探探究同分母分式加减法则

活动1类比同分母分数加减运算的式子，同分母分式的应该如何加减？同桌之间可以讨

论下。

⑴升;一；⑵！十——；

⑶"合------；⑷三+力二-------；

归纳:分母的分式加减法则：

同分母分式相加减,分一母不变,把分子相加减.

„„b,cb±c

即一_L—=---------

aaa

典例精析

例3计算

⑴吗T；⑵工上

ababx-2x-2

hr,/1、a+ba-b_a+b+a-b_2a_2

解：(1)助十助ab二…

(2)工-J-二三*+2)(f=*+2

X-2X-2X-2X-2

随堂练习

1.计算：⑴也+红；(2)'2、乙.

x+yx+yx-2xy+y-2x)^+y

解：()原式

1=3X^=3X(£1Z)=3X

x+yx+y

⑵原式=

x2-2xy+y2(x-y)x-J

例4计算

(1)与+*⑵卫

x-yy-xa-11-a

解.：(1)—+~=1

x-yy-xx-yx-yx-y

/勺、a21-2。a2l-2aa2-2a+l(a-1)21

kz>———a-1

a-11-aa-1a-1a-1a-1

随堂练习

2.计算：*+工

a-bb-a

acbeacbe

解：----+----=----+-------

a-bb-aa-b・(a・6)

_acbe_ac-be

a-ba-ba-b

a-b

任务意图说明

教学同分母分式的加减法，旨在让学生通过与同分母分数加减法的类比.理解并掌握

“分母不变、分子相加减”的法则，体会数学知识间的联系与迁移思想。通过实践运算，培

养学生的符号运算能力，尤其强化对分子为多项式时括号使用及符号处理的关注，提升运算

准确性。同时，借助不同层次的练习，让学生在应用中深化对法则的理解，形成规范的运算

习惯，为后续学习异分母分式加减法及更复杂佗分式运算奠定基础，发展数学思维与解决问

题的能力。

当堂达标具体内容见同步课件

课堂小结具体内容见同步课件

板书设计

第2课时同分母分式的加减法

1.同分母分式加减法则2.分母相同的分式加减法3.分母互为相反数的分式加减法

例题3例题4

教学反思本次同分母分式加减法教学，通过类比分数运算引入新知，多数学生能较快理解法

则，但在分子为多项式时，部分学生仍忽略添括号，导致符号错误。练习设计虽有层次，

但对易错点强调不够，后续需增加针对性辨析练习。此外，学生对运算结果化简的意识较

弱，需在教学中强化“结果化为最简分式”的要求。整体来看，迁移思想的渗透较有

效，但细节处理需更细致，以提升学生运算的准确性和规范性。

2分式的运算

第3课时异分母分式的加减法

教学设计

课标摘录1.了解最简分式的概念；

2.能利用分式的基本性质进行约分和通分；

3.能对简单的分式进行加、减运算。

教学目标1.会找最简公分母，能进行分式的通分；

2.理解并掌握异分母分式加减法的法则；

3.经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程，训练学生的分式运算能力：

4.培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识：进一步通过实例发展学生

的符号感和用数学的意识。

教学重难点重点:理解通分的意义,掌握异分母的分式加减运算。

难点:化异分母分式为同分母分式的过程，符号法则、去括号法则的应用。

教学策略由同分母分式加减法到异分母分式加减法，认识过程顺理成章，而解决的主要思想就是

类比，那么学习了乘除和加减，学生也可能会好奇的问到混合运算，运算顺序让学生记

忆，但是乘法的分配律在这里能不能用学生可能存在疑惑，所以应根据具体情况及时指

导或明确告知.

教学过程

教学步骤__________________________________教学活动

情境导入问题1：同分母分式是怎样进行加减运算的？

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

问题2：异分母分数又是如何进行加减呢？

异分母分数相加减，先通分，化为同分母分数后，再加减.

同分母323+25

分

数分数相加减6666

加［转化［转化

减

法:结果需化为

异分母11

—+—=—+—=——：最简分数：

分数相加减23666•或整数：

探究一最简公分母

新知初探活动1:那么三+；=?你是怎么做的？

a4a

对于上面问题，小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母的分式的加减

问题就变成了同分母的分式的加减问题。小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不

同:

3x4alxa

小明:-+—=----+----

a4aa＞：4a4axa

13X4,112,113

小亮:=-----1=----1---=一

4a-cx44a---4a4a---4a

你对这两种做法有何评论？与同伴交流。

计算

。、31

(1)-+-⑵一+丁

34a4〃

121

，+亘=一+—

1212464a

4+312+1

12~4a

7

=---13

12-4d

归纳总结：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分

式的通分.

活动2把下面分数通分:

与！

1K28

7

角军:7x214

1212x2一24

1x33

―1___

88x324

类比分数，怎样把分式通分呢？

活动3最简公分与

类似于分数的通分要找最小公倍数，分式的通分要先确定分式的最简公分母.

找出下面分式最简公分母:

m3t=a-h

labab'c

归纳总结

确定几个分式的最简公分母的方法：

(1)分母含多项式且能分解的先因式分解；

(2)系数：各分式分母系数的最小公倍数；

(3)字母：各分母的所有字母的最高次辕；

(4)多项式：各分母所有多项式因式的最高次暴；

(5)取积.

练一练，找出下面各组分式的公分母

,[\3f--bx->

(2)1与ga；2前。

2d7rab-c

(3)----?----与3”.x(尸5)

x(x—5)x+5

(4)——出——丁与，*、.(卢02(六力

+2xy4-y~x~—y

任务一意图说明

通过对小题练习找最简公分母，既是检查学生掌握找最简公分母的情况，又用来发现学

生在化成同分母中的困难，老师正确引导，及时纠正。最后很自然转到异分母分式的加减问

题时得出法则。用式子表达法则定理是数学语言的特色，应当让学生学会。

探究二异分母分式加减法

活动4异分母分式加减法法则

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式加减法法则进行

计算.

上述法则可用式子表示为：

bdbe.adbc±ad

——土t———---±---=---------

acacacac

典例精析

彳列5.1十算(2)

a5a9-xjx十j

解：原式=¥+?解：(2)原式一小

5a5aix-3)(.v+3)(x-3)(4+3)

二15+”15(x+3)-U-3)

45a-(x+3”)

—5。_x+3-x+3

1(%+3)(x-3)

~56

"X2-9'

(3)-^--一1

a-4a-2

laa+2

解：原式3_2)(a+2)(。-2)(。+2)

_2n-(a+2)

(a-2)3+2)

2a-a-l

(。一2)(a+2)

_a-2

(a-2)(a+2)

1

例6.小刚家和小丽家到学校的路程都是3km,其中小丽走的是平路，特车速度是2vkm/h,小

刚需要走1km的上坡路，2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为vkm/h,在下坡路上的骑

车速度是3vkm/h.

(1)小刚从家到学校需要多长时间？

(2)小刚和小丽淮在路上花泥的时间少？少用多少时间？

々〃小12325

角翠：(1)—1---=----1---=—

v3v3v3v3v

53

(2)因为3＞三，所以小丽花费时间少

3v2v

小丽在路上花费的时间:匕小刚少』。

3v2v6v6v6v

任务二意图说明

通过例5(1)的讲解(2)、(3)题学生的演练，让学生掌握知识体会法则的运用要因题而

变，而万变不离其宗一一异分母分式加减法法则。通过例6,提高学生运用分式表达数量之

间的关系，并运用分式的加减运算解决实际问题的能力，和增强学生用数学解决问题的意识。

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板书设计

第3课时异分母分式的加减法

1.异分母分式加减法则2.最简公分母

3.例54.例6

教学反思本次异分母加减法教学，重点在于引导学生理解“先通分，再计算”的算理。课堂

上，我从同分母分数加减法入手，让学生通过对比发现异分母分数直接相加的矛盾，进而

自主探究通分的必要性。但教学中也存在不足：部分学生对通分的方法掌握不熟练，导致

计算时耗时较长；对算理的表述不够清晰，少数学生仅停留在机械模仿层面。后续需加强

分数基本性质与通分的衔接练习，设计更多生活化情境，让学生在应用中深化对算理的理

解，同时关注个体差异，通过分层练习提升计算准确性。

2分式的运算

第4课时分式的混合运算

教学设计

课标摘录能对简单的分式进行加、减、乘、除运算。

教学目标1.理解分式混合运算的顺序，熟练进行分式的混合运算，并能运用所学知识解决实际问

题。

2.通过类比分数混合运算，引导学生经历探究分式混合运算顺序的过程，提升学生的观

察、分析和推理能力。

3.让学生体会数学的严谨性，激发学习数学的兴趣，培养学生的合作与交流精神。

教学重难点重点:分式混合运算的顺序和熟练进行分式的混合运算。

难点：分式混合运算中符号的处理以及运算的准确性。

教学策略本节课采用类比法、讲授法、练习法相结合的教学方法。通过类比分数混合运算，

引导学生自主探究分式混合运算的顺序；运用讲授法清晰讲解知识