2026年高考数学一轮复习 幂函数、指数函数、对数函数（有解析）

幕函数、指数函数、对数函数

一.选择题（共8小题）

1.(2025•唐山二模)已知。=log23+log32,Z?=log45+log54,则下列结论正确的是()

A.a>b>2B.a>2>bC.b>a>2D.2>a>b

2.(2U25春•青羊区校级期中)已知函数/(x)=kx-1与g(x)="的图象上存在关于直线)，=x

对称的点，则氏的值不行能是()

A.-1B.0C.1D.2

3.(2025•安徽模拟)已知x,)WR,且T+(x-2)-3*=1,9V-'+y3-v=9,则x+y=()

A.1B.2C.3D.4

4.(2025春•崂山区校级期中)设a*,b=sin\fc=2ln^f则()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

5.(2025春•镇海区校级期中)已知函数/(x)=2\若存在实数小〃，c使得/(〃)=f(b)

/(c)且/(〃)+f(b)+f(c)=/(a)fCb)/(c)成立，则a的取值范围为()

4

B.(0,log^2]

A.(0,log22

24

C.(-co,log2D.(-00,log2

1

6.（2025・山东模拟），。935+建（e=2.72…是自然对数的底数）的值所在区间是（）

A.(2,3B.小!)C.为D.耳，3)

7.(2025春•福州期中)已知a=*b=去，c=将，则()

A.b<a<cB.a<h<cC.b<c<aD.c<b<a

8.(2025•成都校级模拟)若b>l,a€R,且〃+2"匕=»。，则()

A.a2<bB.cr>bC.ea>b'1D.ea>b'2

二.多选题（共4小题）

9.（2025春•辽宁月考）已知正实数小人满足/〃（a+b）=bui+lnb,则（）

A.ab24B.a+4b^l2

11112

C.-----+------>2D.-----+------<-

a-1b-1a+1b+13

10.（2024秋•昆明期末）已知〃7,〃为正实数，满足d"+机=油?+〃=2,则下列结论正确的是（）

A.机+〃=2B.，•痴21C.2<e,n+nD.en-m<e2

11.（2024秋•西安期末）已知实数x,y满足3、=5，-2）',且4>y,则（）

A.x>lB.0<y<1

C.Iogv3>logv3D.Iog.v3<logv3

12.（2024秋•沙依巴克区校级期末）下列说法正确的是（）

A.命题p：VxG[0,1],的否定是3r日0,1],Ax>0

B.已知暴函数y=（相2・3阳・3）/的图象不过原点，贝]实数加=7

C.已知。>0,—>0,且a+2b=2,则（l+log力）log2a的最大值为1

D.函数尸产和尸阮”1的图象与直线y=2・x交点的横坐标分别为a、b,则"〃=2

三.填空题（共4小题）

13.（2024春•道县校级期中）已知OVaVl且aH），若函数/（x）=21og«xTog2«x在（0,+°°）

上单调递减，则实数。的取值范围为.

14.（2024秋•黄浦区校级期中）设/（；0=2-8严+4若实数小人满足〃+/?=（）,且函数尸/⑴

的图像可以无限接近直线y=1但又永久不相交，则不等式的解集

为•

15.（2024秋•浦东新区校级期末）已知实数%,'满足1+】+%=|,1y2+/ny=1,则

竺

F=-----------------------------.

16.(2024秋•北京校级月考;，己知事函数/J)=(2/n2在(0,18)上单调递减.

①机的值为;

②记/=团，(〃>0),S={y\y=/(x),xEl},若/n5=0,则a的取值范围

是.

四.解答题(共4小题)

17.(2024秋•泰州期末)已知函数/(工)=log2<4x+d*2x+4),其中

(1)当。=・5时，求/G)的定义域；

(2)若对任意实数x,f(2x)^f(x),求〃的值；

(3)证明：函数y=/(x)的图象是轴对称图形.

2

18.(2025春•辽宁月考)已知累函数/'(%)=(2m+3m+-2(血GR)为偶函数.

(1)求实数〃?的值，并写出f(x)的单调区间(不必证明)；

(2)若/(2x-I)>/(x),求x的取值范围.

19.(2024秋•调兵山市校级期末)已知函数/(x)=〃・2»-2门是定义在R上的奇函数.

(1)求。的值，并证明：/(工)在R上单调递增；

(2)求不等式/(37-5x)4/(x-4)>0的解集；

(3)若g(x)=4X+4'X-2mf(x)在区间［-1,+°°)上的最小值为-2,求m的值.

20.(2024秋•庐阳区校级期天)设/J)=log„(1+x)+logu(5-x)(〃>0,,且/(2)=

-2.

(1)求。的值及/(/)的定义域；

(2)求/(x)在区间日，4］上的最值.

幕函数、指数函数、对数函数

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

I.(2025•唐山二模)已知a=k)g23+log32,/?=log45+log54,则下列结论正确的是()

A.a>b>lB.a>'l>bC.b>a>lD.l>a>b

【考点】对数值大小的比较.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；规律思维；运算求解.

【答案】A

【分析】依据对勾函数的单调性及最值，以及log23、log45与1的大小关系，可得结论.

【解答】解：设/（x）=x+i,x>0,

则由对勾函数单调性，/（X）在（0,1）上递减，（1,+8）上递增，f（x）ltun=f（1）=2,

R67=log23+log32=log23+，o^3=f(log23)，Z)=log45+log54=log45+=f(log45),

由于log23>log2v5=log45>l,所以/(log23)>f(log45)>f(I),Wa>b>2.

故选：A.

【点评】本题主要考查对数值比较大小，属于中档题.

2.（2025春•青羊区校级期中）已知函数=履-1与g（x）=炭的图象上存在关于直线），=x

对称的点，则k的值不行能是（）

A.-1B.0C.1D.2

【考点】反函数.

【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】。

【分析】依据函数g（x）=，与函数力（x）=/几（关于直线y=x对称，求函数f（x）=tv-1与h

(x)=，/犹有交点即可，求直线f(x)=k.X-1与〃(X)=/，队•相切时A的值，叩可得山函数/(%)

=左”1与力(X)=/〃人•有交点时〃的取值范围.

【解答】解：由于函数g(.t)=，与函数力(X)=/.关于直线)，=X对称，

所以函数/(工)=息-1与g(X)=，的图象上存在关于直线)，=X对称的点，

即函数/(x)=履-1与。(x)=/心有交点，可知函数f(x)为过定点P(0,-1)的直线,

考虑直线与。(X)=//次相切时，设切点Q(刈，/7U-0),

由九'0)=3可得上=九'(々)=4，可知切线/：y--%o)»

xxox0

由切线/过P(0,-i),解得刈=1,所以攵=1.

由图可知，kWl时函数/a)=k.x-1与。(x)=/，优有交点.

故选：£).

【点评】本题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了运算求解力量，是中档题.

3.(2025•安徽模拟)己知x,vWR,且9旺(x-2)-3』1,9V''+y3-v=9,则x+y=()

A.1B.2C.3D.4

【考点】对数的运算性质.

【专题】转化思想；构造法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】B

【分析】由尹+(x-2)・3』1,得出3工・3二+%-2=00；由y*•»=9,得出・3)”+(2

VA

-y)-2=0②；函数/(x)=3-3'+A-2是定义域R上的单调增函数，且/(x)=/(2)，),

由此得出％+)，的值.

【解答】解：由>+(x-2)・3*=1,两边都除以3、得3、+(x-2)=3'\即3、-3一+工-2=0

①；

由9厂i+y・3)'=9,两边都除以3兀得3厂2+),=321即32一八3厂2・),=o,

整理得32^-3厂2+(2-)，)-2=0@；

由①②可知，函数/(公=3工・3-"+,「2是定义域R上的单调增函数，月J(x)=/(2-j),

所以x=2-y,即x+y=2.

故选：B.

【点评】本题考查了函数的单调性应用问题，也考查/转化思想，是中档题.

777

4.(2025春•崂山区校级期中)设b=sin^c=2ln^则()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

【考点】对数值大小的比较.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；规律思维；运算求解.

【答案】。

7T2o

【分析】依据/(x)=x-sinx,xE［0,二］上的单调性，可得小〃大小，由e?V(5)2,可得。，c,大

24

小，从而得到小/C的大小.

【解答】解：设f(x)=x-siiu-,,vE［0,—f(x)=1-cosxNO在［0,y］上恒成立，

n22222

所以/(x)在［0,-］上递增,则/(一)>/(0),ER--sin-X),故一,sin-，a>b,

233333

由于e2V9V第=(当6,所以4V(|)2,所以展V/〃钞，即|<2加〃Vc,

故c>a>b.

故选：D.

【点评】本题上要考查对数值比较大小，属于中档题.

5.(2025春•镇海区校级期中)已知函数/(x)=21若存在实数小。，c使得/(〃)=f(b)

/(c)且/(〃)V(b)V(c)=/(«)/(h)/(c)成立，则。的取值范围为()

42

A.(0,log2^iB.(0,log2^\

24

C.(一s,^ogzj]D.(一°°‘I。％?]

【考点】由指数函数的单调性求解参数.

【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】由已知可得2"2。=2­。，2耳2"+2c=29爪,令¥=x,2b=y,2，=z,用含)，与z的代数

式表示-结合基本不等式求最值，可得x的范围，进一步求得〃的范围.

【解答】解：由/(x)=2\/(/?)4/(c)=f(b)f(c),/(a)+fSV(c)=f(«)f(b)

f(c)，

得2。2c=2>c,2“+2〃+2c=2"〃+c,

abc

令2=x,2=yf2=z,

y+z=”①由②得，yz

则x=

x+y+z=xyz\2)yz-V

由y+z=yz,Wyz=y+z>2>[yz,得yz24,

yz_14

..A—T6(LP

yz

4

可得aW(0,log2^].

故选：4.

【点评】本题考查利用指数函数的单调性求解参数，考查化归与转化思想，考查运算求解力量,

是中档题.

1

6.(2025•山东模拟)log35+e5(e=2.72…是自然对数的底数)的值所在区间是()

A.（2,彳）B-（彳,之）C.（2,学）D.4,3）

【考点】对数的运算性质.

【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】C

【分析】利用对数及指数的运算性质结合放缩法分别求得Iog35及*的范围，即可求得答案.

【解答】解：/。935=》。92725Vm92727=参

37=2187,55=3125,

777

则，。%5=F/O^21873125>^O521872187=卷，

73

故-<-

5<102

又当OVxVl时，x+lVFV=-,

JL人

1-15

+1<e5<—r=一,

51飞4

6713513111

~<log^5+。5<■—+—,a即n一<7og5+<一,

55y3245%4

.1355±11

而——<log^5+e5V——.

522M34

故选：C.

【点评】本题考查对数的运算性质，考杳规律思维力量与推理论证力量，难度大.

7.（2025春•福州期中）已知Q=孚，力=义，c=^，则（）

4e"14

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<b<a

【考点】对数值大小的比较.

【专题】函数思想；构造法；函数的性质及应用；规律思维；运算求解.

【答案】C

【分析】依据•在(0,+8)上递增，可推断小C大小；构造函数/(X)=玄，分析单调

性，可比较b,c大小，最终得出a,b,。大小.

【解答】解：由于尸/心在(0,+8)上递增,214-74=(27+72)(27-72)>0,

所以*>74,所以加2*>加7匕

即14/〃2>4/〃7,则有--->----,故a>c,

414

.、Inx|-(、2-2lnx1-lnx、八

记/2(zx)=后'则hll/(X)=-r-2-=^2-»>0，

乙”(2x)乙x

xe(0,e),f(x)>0,f(x)递增，(e,+°°),f(x)<0,/(x)递减，

--r»2\Ine21,/r、ln7.7

由于/(ze)=工^=苕,f⑺=/，e<Ke>

ln71

所以/(7)>fCe02),-->—>c>b,

14

所以a>c>b.

故选：C.

【点评】本题主要考查对数值大小比较，属于中档题.

1

8.(2025•成都校级模拟)若QI,加R,且〃+2m匕=今一。，则()

A.01VbB.cr>bC.ea>bxD.ea>b'2

【考点】对数运算求值；函数的单调性.

【专题】函数思想；构造法：函数的性质及应用：运算求解.

【答案】D

【分析】由已知可得ea+Q=、2出b=1+2b4,构造函数/(x)=F+x,由其单调性即可得结

论.

【解答】解：由e。+2/nb=《一Q,得e。+a=崟-2lnb=*+2bi],

bbbo

111

・行为广声

,111111

则M+m记V石+2①石〈1+仇3,

令/（X）=/+x,该函数为A上的增函数,

则/(仇<f(//A),即仇也<"〃<7719,可得b“V/Vbi.

故选：D.

【点评】本题考查对数的运算性质，考查函数单调性的应用，构造函数是关键，属难题.

二.多选题（共4小题）

9.（2025春•辽宁月考）己知正实数a,力满足/〃（a+b）=lna+lnb,则（）

A."24B.〃+48212

11112

C.——+7-22D.+---<-

a-1b-1Q+lfe+1-3

【考点】对数的运算性质；运用基本不等式求最值.

【专题】函数思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】ACD

【分析】依据对数运算性质得岫=〃+/?,a>0,Q0,对于A,直接应用基本不等式即可推断；对

1111

于B,由4〃=。+/?得％+,=1,有Q+4匕=（a+4匕）（万+工），借助基本不等式推断；对■于C,由

3

题意（。-1）（。-1）=1,直接应用基本不等式即可，对于D,将」一+义化为三+—r—,

Q+1匕+122ab+l

然后利用反比例函数的单调性求解即可.

【解答】解：正实数。，。满足/〃（a+b）=lna+lnb,

对于A,,・•正实数〃，b满足In（a+b）=Ina+lnb=Inab,

；.ab=a+b,a>0,b>0,

由基本不等式得解得

当且仅当｛k=>+匕即〃=。=2时，。。取到最小值4,故A正确;

,11

对于从由得后+公川，

,1,1、。14匕。-Q4b-_

・••由基本不等式得。+4匕=（〃+4匕）(7+a)+丁工+5—90,

a4

_=-

bafa=3

1l,即「a时,〃+4人取到最小值9,

当且仅当-b=

_+112

ba

・・・什4)29,故3错误;

对于C,"：ab=a+b,a>0,Z>>0,(«-1)(b-1)=ab-a-h+\=\,

11

...------>0,------->0,

a-1b-1

・・・由基本不等式得三十=沟/•告=2,

当且仅当

即片八2时，三

+工取到最小值2.

1」一>2,故C正确;

---+

a-1b-1

3

11a+b+2ab+2ad+2

又才干----4---=-----=------=---

a+1匕+1ab+a+b+l(a+l)(d+l)2ab+l

由A选项得向24,

•・•由反比例函数的单调性得:

3

函数>=*+品在［4,+8）上单调递减,

33

2

1512

+V—+-------=一,

22ab+l-22X4+13

112

a+1+b+1V故。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查对数运算性质、基本不等式、反比例函数的单调性等基础学问，考查运算求解

力量，是基础题.

10.(2024秋•昆明期末)已知现，〃为正实数，满足泮+〃尸加什〃=2,则下列结论正确的是()

A.m+n=2B.e1”•痴21C.2Vd"+〃D.en-m<e2

【考点】指数函数图象特征与底数的关系；对数函数图象特征与底数的关系.

【专•题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】ACD

【分析】依据题意分析可知，机=/〃〃，0〈/〃<1,1V〃V2,再逐项分析推断即可.

【解答】解：依题意，e,"+n=eht,l+bin=2,

又y="+x为R上的增函数，

则〃?=/〃〃，

又$+0=lV2,/+1>2,

则0<m<l；

由于函数y=//zr+x在(0,+8)上单调递增，且/“1+1=1V2,历2+2>2,

则W2；

对于A,〃?+〃=m+d"=2,正确；

对于于泮•加〃=(2-m)(2-n),

又1V2-/〃V2,0<2-n<\,

则0V(2-in)(2-〃)<2,错误；

对于C,efn+n=2ne(2,4),正确;

对于。，-m=en-bin=en-(2-〃)=en+n-2G(e-1,射),正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查指数函数、对数函数的性质等学问，考查运算求解力量，是中档题.

11.(2024秋•西安期末)已知实数x,y满足3、=5，-2)',且则()

A.x>\B.0<y<I

C.Iogi3>logy3D.Iog.v3<logy3

【考点】对数值大小的比较.

【专题】数形结合；综合法：函数的性质及应用：规律思维.

【答案】AD

【分析】本题利用指数函数、对数函数的单调性以及对数函数的图象特征进行求解.

52

【解答】解：由于3》=5，-2，，所以3尸』(-)(-)\

52

由于x>y,所以3口>1,即(-)>'-(-)y>\

33

52

又由于/(f)=(-)J(-),在(0,+8)单调递增，且/(0)=0,/(I)=1,/()，)>1,

33

所以1,则1,4选项正确，B选项错误；

作出对数函数力(。)=1。小。G为大于1的常数)和〃？(a)=logv«(y为大于1的常数且x>y)

的图象，如图所示，

可得logx3Vlogy3,故C选项错误，。选项正确.

故选：AD.

【点评】本题主要考查指数函数的单调性以及对数函数的图象，属于中档题.

12.(2024秋•沙依巴克区校级期末)下列说法正确的是()

A.命题〃：v.xeio,i],的否定是八日o,u，Ax>o

B.已知哥函数y=(〃?2-3"]-3)/的图象不过原点，则实数m=-I

C.已知a>0,h>0,且a+2b=2,贝ij(l+log2/?)Iog2。的最大值为1

D.函数y=ev+l和y=hix-1的图象与直线y=2-x交点H勺横坐标分别为a>b,则a+b=2

【考点】指数函数的图象：对数函数的图象：求全称量词命题的否定；求辕函数的解析式.

【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】ABD

【分析】利用全称量词命题的否定推断A；利用幕函数定义及性质推断&结合对数函数的性质分

类争辩推断C；利用互为反函数的图象特征推断D.

【解答】解：对于A，全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题〃的否定为业(0,I],

>0,所以人正确；

对于依题意可得[根二38一3=1,解得机=-],所以R正确；

m<0

对于C,由。>0,b>0,Ea+2b=2,令a=17,2b=\+t,由对称性不妨令OWfV1,

则(l+log2〃)•log2fl=log22b*log2a=log2(l+Z)log2(17)»

而log2(1-r)WO,0Wlog2(l+r)<1,因此(l+log2Z>)log2aW0,所以C错误；

对于D，函数)，=2田和1互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，

而直线y=2-x垂直于直线y=x,则点(02・°)与(〃，2-b)关于直线y=x对称，

因此2-a=/?,即a+〃=2,所以。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查全称量词命题的否定，辕函数的定义及性质，对数函数及性质，反函数的图象,

属于中等题.

三.填空题（共4小题）

1

13.（2024春•道县校级期中）已知0<〃Vl且。不可若函数/（x）=2logd-log%x在（0,+°0）

上单调递减，则实数。的取值范围为_（0,》U8,1）_.

【考点】由对数函数的单调性求解参数；对数的运算性质.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】（0,"1）U&1,1）.

【分析】由换底公式将/G）化简，由函数的单调性建立不等式并求解即可.

【解烬】解・由干”公二照一生=2仇64a

LnxLnx,

1僻口」解.出J/⑺lnaln2aina.^n2a）lna\ln2a）

乂由于/Cr）在（0,+8）上单调递减,

ln4a

所以<0,又0<〃V2«<4a,

lna(ln2a')

.\M4«<()或f曲〈°,解得0Vad或工<a<1.

Un2a>042

11

故答案为：（0，1）.

【点评】本题主要考查了对数函数性质及复合函数单调性的应用，属于中档题.

14.（2024秋•黄浦区校级期中）设/㈤=2a•（护।+b,若实数。，〃满足。+。=0,且函数y=/S）

的图像可以无限接近直线）'=1但又永久不相交，则不等式“公>,的解集为｛小V-3或%>

31_.

【考点】由指数函数的单调性求解参数.

【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】（小V-3或x>3）.

【分析】当x-8时，尸2a•8严-0,冉结合/（x）的图象尢限趋近卜1,可得〃=1,则〃=-

I,不等式可解.

【解答】解：由于xf8时，8）四一0,

所以b=1,。=・1,

所以/（x）=-2・（务团+1,

所以不等式/⑺冶可化为&产4二$3,

又由于），=弓尸是减函数，所以h1>3,

解得x<-3或x>3,

故答案为：{x|xV-3或%>3}.

【点评】本题考查含确定值的函数与指数函数的性质，不等式的解法，属于中档题.

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15.（2024秋•浦东新区校级期末）已知实数x,），满足蜡+】+%=4，1y2+Iny-u-

4y2

【考点】有理数指数幕及根式.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用：运算求解.

【答案

e

【分析】利用指数与对数运算即可求解.

【解答】解:由于婚+1+*=]

5

-

2

1

2

又-y

2

即y2+/ny2=

即有*1+X+I=/+/〃)？，

所以=

e"e%i

所以重=即=7

故答案为：

e

【点评】本题考查指数与对数的运算，属于中档题.

16.(2024秋•北京校级月考)己知易函数/(X)=(2〃尸-〃?-2)V”在(0,+°°)上单调递减.

①，〃的值为-1;

②记/=必，2a](«>0),S={y\y=f(x),xG/},若/n$=0,则。的取值范围是(0,1)U

(1,+8).

【考点】求事函数的解析式.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用：运算求解.

【答案】①-1;

②(0,U(1,+8).

2

【分析】①依据寻函数的定义及性质求解即可；

②函数的单调性可得s=[="，』，再依据/GS=0,求解即可.

2aa

【解答】解：①由于暴函数/(X)=(2nr-m-2)/在(0,+~)上单调递减，

仇2-m—2=0*但

所以,解得机=-1,

m<0

所以/(x)=x"；

②由于/'(x)=：,〃>0,

所以函数y=/a)在m，2m上单调递减,

所以y-1，

日2a:a

11

即s=W”

又由于/GS=0,

a>0(a>0

所以1或i，

解得。>1或OVaV：,

所以。的取值范围为(0,}U(1,+8).

故答案为：①-1;

②(0,-)U(1,4-00).

2

【点评】本题考查了暴函数的性质，考查了集合间的基本运算，属于中档题.

四.解答题(共4小题)

17.(2024秋•泰州期末)已知函数/(X)=log2(4、+〃・2'+4),其中a£R.

(1)当。=-5时，求/(/)的定义域；

(2)若对任意实数4,f(2x)2/(x),求a的值；

(3)证明：函数y=/(x)-x的图象是轴对•称图形.

【考点】求对数型复合函数的定义域.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；规律思维.

【答案】(1)在(-8,0)U(2,+8).(2)。=-2：(3)证明见解析.

【分析】(1)把。=-5代入真数大于0即可求解；

(2)代入已知/(2x)冲、x)依据对数函数单调性即可转化为关于x的不等式;

(3)利用函数性质去推断函数对称性.

【解答】解：(1)当。=-5时，/•(%)=1。02(4、52*|4)要使对数有意义，

只需满足4'-52+4>0.

令2』7(>0)则不等式变为pTfMX),解得VI或04.

即2yl或2、>4,解得：A<0或A>2,

因此，/(x)的定义域为(-8,o)(J(2,+8).

x

(2)要使对任意实数x,.f⑵)2/5)成立，需满足，。92(42乂+a.22x+4)>log2(4+a•2*+4),

即：42X+«•22A+424x+a,2v+4,令2、=机(/〃>0),

则不等式变为-毋-化简得("P+加-a-〃?)20,

由于〃?>0,要使不等式恒成立,需〃户+a〃?-a-〃?20.

(m3-m)+a(/w-1)=(m-I)(m2+m+a)20恒成立.

只需rr^+m+a分解出(w-1)因式,

nr+m+a=(zn2-m)+2(/w-1)=(in-1)(m+2),

(此时a=-2),且不等式转化为：(〃[-1)2(〃计2)20,

•・•(〃?-1)220,m+2>o,.♦.不等式恒成立.即〃=-2,不等式恒成立.

(3)证明：函数y=/(x)・x的图象是轴对称图形.

XX

设g(x)=/(x)-x=log2(44-a-2+4)-x

x

=log2(,2+^+a),对于函数y=2*+提+a,

令〃7=2"(〃7>0)，则y=7n+2+a,

依据对勾函数性质，y=m+白的图象关于直线，"=2对称，

4

即2'=2时，x=I.对于g(x)=/。。2(2"+/+a),

・；g(x)=，0。2(21-*+产+a)=log2(----------------------)，

A~2+2x,.,9l+r

（），。必（木+）（）

gl+x=21+*+a=log2-~::管，,

9（1一%）=，。。2（2・*++a）,

乙

身（1・x）・g（i+x）=/0&（：：：手；"）=log21=0・

故函数g（x）图像关于直线X=1对称，即函数/a）-X图象是轴对称图形.

【点评】本题考查对数函数图像及性质.属于难题.

22

18.（2025春•辽宁月考）已知幕函数fCO=（2m+3m+l）xm-m-2（m6R）为偶函数.

（1）求实数，〃的值，并写出f（x）的单调区间（不必证明）；

（2）若/（2丫・1）>/（x）,求x的取值范围.

【考点】由基函数的单调性求解参数；求寻函数的解析式.

【专题】整体思想；综合法：函数的性质及应用：运算求解.

【答案】（1）/〃=0,单调增区间为（-8,o）,单调减区间为（0,+8）.

111

⑵（婷2）。（2，D♦

【分析】（1）依据函数为鼎函数，可求出机的值，结合函数的单调性即可确定机的取值，进而

求得函数单调区间.

（2）结合函数的奇偶性以及单调性，将>/（x）转化为关于x的不等式，即可求得答

案.

【解答】解：（1）由于/（"）是寻函数，

故2"『+3/〃+1=1,解得/«=（）或7M=-I；

当〃?=0时，f（x）=/2,xWO,满足/（・x）=f（x）,函数为偶函数，

当机二-2时，/（x）=xix>0,函数非奇非偶函数，不符题意；

故机=0,f（x）=x2,其单调增区间为（-8,（））,单调减区间为（0,+8）.

(2)由(1)如ya)=f2为偶函数，单调增区间为(-8,0),单调减区间为(0,+8).

由于/(2x-l)>/(x),故()V2t-l|VR,

即37-4x+lV0且%工营，工工0,解得一<rV-或一<x<l,

2322

即x的取值范围为(，1)U(1,1),

【点评】本题主要考查了箱函数定义及性质的应用，属于中档题.

19.(2024秋•调兵山市校级期末)已知函数/(-=a・2•J2-x是定义在R上的奇函数.