人教版九年级数学下册相似三角形专项讲义：实践操作

实践操作1尺规作图与相似

类型一平行相似

1.如图在△ABC中,/ACB的平分线交AB于点D.已知点E是AC上一点，且满足CE=DE.&AD=2a,BD=3a

(a>0).

⑴尺规作图：在图中确定点E的位置；(要求：保留作图痕迹，不写作法)

(2疮⑴的条件下，若BC=10,求DE的长.

类型二射影相似

2.如图.在△ABC中.NACB=900.

(1庵AB上求作点口,使4CDBsZ\ACB;(要求:尺规作图，不写作法、保留作图痕迹)

⑵在⑴的条件下、若BC=5,AC=12.求BD的长.

类型三子母相似

3.如图.在△ABC中,AC>AB.

(1衽线段BC上求作点P,使得点P到AB的距离与点P到AC的距离相等；(要求：尺规作图，不写作法，

保留作图痕迹)

(2底(1)的条件下，若PA=PC,求证:PCBC=ACAB.

类型四旋转相似

4.如图.在△ABC+,ZA=90°,BD是.匚X8C的平分线,且交AC于点D.

(1芯斜边BC上求作点E,使。£口班);(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)©1)的条件下若AB=6.BE=8,求DE的长.

实践操作2无刻度直尺作图与相似(一)分割线段、画相似

类型一直接利用A型或X型分割线段

1.下面各图是由边长为1的小正方形构成的，其中A,B均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺按要求分别

完成下列画图任务，每个任务的画线不得超过三条.

⑴如图L在AB上画点P、使=

Di3

(2)如图2.在AB上画点D.使器=：.

/1D/

图1图2

类型二构造A型或X型分割线段

2.下面各图是由边长为1的小正方形构成的，其中A,B均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺按要求分别

完成下列画图任务，每个任务的画线不得超过三条.

(1)如图1,在AB上画点E,使嚼=；;

AE7

A

(2)如图2,在AB上画点F,使

or/

图I图2

类型三分割线段画相似

3.下面各图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.点A,B,C,D均为格点，仅

用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图任务，每个任务的画线不得超过三条.

(1)如图1,在AC上画点£,使^ABE-ACDE;

(2)如图2,在AB上画点曰吏4ACF^AABC;

(3)如图3,在AB上画点6,使4ACG^AABC.

图1

实践操作3无刻度直尺作图与相似(二)作平行线

类型一画平行线

1.如图是由边长为1的小正方形构成的网格，点A,B,C均为小正方形的顶点，D为AC与网格线的交点，

仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图彳王务每个任务的画线不得超过三条.

⑴如图1,过点D画AB的平行线DE;

(2)如图2,过点D画BC的平行线DF.

2.(武汉五调)如图是由边长为1的小正方形构成的网格每个小正方形的顶点叫做格点2ABC的顶点在格点上，

仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图彳壬务，每个任务的画线不得超过三条.

(I照边BC绕点C顺时针旋转90。得到线段CD;

⑵画边AC的中点E;

(3连接DE并延长交BC于点F.直接写出容的值；

A>r

(4)在AB上画点G,连接FG.使FG/7CD.

类型二画非格点连线段的平行线

3.（2023洪山一模）下面各图是由边长为I的小正方形构成的,其中A为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺

在给定网格中完成下列画图任务，每个任务的画线不得超过三条.

⑴如图I,B为小正方形的顶点，C为网格线上一点，D为AB与网格线的交点，在AC上画点E,连接DE,使

DEBC;

（2）如图2,B,C均为网格线上一点，D为AB与网格线的交点，在AC上画点E,连接DE,使DE〃BC.

综合探究1圆与相似综合（一）双割图

（2025福建中考改编）如图.四边形ABCD内接于。O,AD,BC的延长线相交于点E,AC.BD相交于点F.G是AB

上一点GD交AC于点H.且.AB=AC、BG=DG.

⑴求证：UABC=UDBE+UE\

（2）求证：力，2=〃七〃°；

（3诺/邛〃。=2。£。＞抵求匚力G/面周长.

综合探究2圆与相似综合（二）单切图

（2025云南中考）如图©0是五边形ABCDE的外接圆.BD是。0的直径.连接AC.BE,CE,且AEC=ACF.

⑴若CE=CB.且匚C8E=60，求［8CE的度数；

（2球证:直线CF是。。的切线：

（3探究，发现与证明：已知AC平分□84上,是否存在常数a,b,使等式JC2=«5CaC£+bABAE成立?若存

在，请直接写出一个a的值和fb的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式AC2-aBCQCE+bABJAE成

立；若不存在，请说明理由.

综合探究3从特殊到一般

【问题提出】

如图l,E是菱形ABCD的边BC上一点，匚•户是等腰三角形，AE=EF,［lAEF=\2ABC=a(a>90),AF交CD

于点G.探究口6。1与a的数量关系.

【问题探究】

(1)先将问题特殊化，如图2,当a=90时，直接写出GC邢］大小；

(2旃探究一般情形，如图1,求匚GCF与a的数量关系；

【问题拓展】

(3聘图1特殊化，如图3,当«=120时，若岸=；,求冬的值

CG2CE7

综合探究4全等与相似

(2025武汉中考加图.四边形ABCD是正方形，点E在边CD上，点F在边BC的延长线上，且DE二CF.射线A

E交对角线BD于点G,交线段DF于点H.

⑴求证:DH=GH;(温馨提示：若思考有困难，可尝试证明［1ADE3VDCF)

(2)求证：AGnEH=EG「GH;

⑶若穿=比直接写出/的值(用含n的式子表示).

备用图

综合探究5模型应用

【问题背景】⑴如图1,已知口48。□力。E,求证：LABD2QACE;

【尝试应用】（2）如图2,在口49％口[M。/中,OBAC=LDAE=90，:ABC=CADE=30,AC与DE相交于点

F.且点D在BC边上,柒=71求差的值；

oUCr

【柘展创新】⑶如图3,D是匚A8C内一点，匚84£>=口。8£>=30，匚30090,48=4,4C=2v5直接写出AD的

长.

解设AB=l,AC=xJ!JCB=l-x.

一CB_AC

元一茄，

*

••・・・・・・

请补全以上解题过程；

【问题再探】如图2,在RtAABC中，QC=90,8C=1/C=2,,请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，

不写作法，保留作图痕迹）；

【知识迁移】如图3,点C为线段AB的黄金分割点（（AOB。,分别以AC.BC为边在线段AB同侧作正方形

ACDE和矩形CBFD,连接BD,BE.求证：QEABCJBCD;

【延伸拓展】如图4,在正五边形ABCDE中,对角线AD与BE交于点M.求证:点M是AD的黄金分割点.

实践操作1尺规作图与相似

1.解:⑴如图点E即为所作;

(2)VCE=DE,CD平分CACB,

:.NEDC=NECD=/BCD,

，DE〃BC,

AAADE^AABC,

—=>RLI---------=■

ABBC2。+3。10

ADEM.

2.解：⑴如图所示，点D即为所求作的点；