2027届新高考数学热点精准复习空间角与距离的计算考点梳理

2027届新高考数学热点精准复习空间角与距离的计算考点梳理考点一利用空间向量求距离例1

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点.(1)求点B到直线AC1的距离;(2)求直线FC到平面AEC1的距离.解

(1)以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

(2)点到平面的距离

[对点训练1]如图,边长为4的两个正三角形分别为△ABC,△BCD,且所在平面互相垂直,E,F分别为BC,CD的中点,点G在棱AD上,AG=2GD,直线AB与平面EFG相交于点H.(1)证明:BD∥GH;(2)求直线BD与平面EFG的距离.(1)证明

因为E,F分别为BC,CD的中点,所以EF∥BD.又BD⊄平面EFG,EF⊂平面EFG,则BD∥平面EFG.因为BD⊂平面ABD,平面ABD∩平面EFG=GH,所以BD∥GH.(2)解

由(1)知,BD∥平面EFG,则点B到平面EFG的距离即为BD与平面EFG的距离.连接EA,ED,由△ABC,△BCD均为正三角形,E为BC的中点,得EA⊥BC,ED⊥BC.又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AE⊂平面ABC,于是AE⊥平面BCD.又ED⊂平面BCD,则EA⊥ED.

考点二利用空间向量求线面角例2

(2025·北京,17)如图,在四棱锥P-ABCD中,△ABC与△ADC均为等腰直角三角形,∠BAC=90°,∠ADC=90°,E为线段BC的中点.(1)若F,G分别为线段PD,PE的中点,求证:FG∥平面PAB;(2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求AB与平面PCD夹角的正弦值.

教考链接(人教A版选择性必修第一册复习巩固第10题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,K,L分别是AB,BB1,B1C1,C1D1,D1D,DA各棱的中点.(1)求证:A1C⊥平面EFGHKL;(2)求DB1与平面EFGHKL所成角的余弦值.

2.当选取的直线的方向向量与平面的法向量的夹角为锐角时,这个锐角与线面角互余.[对点训练2](2026·江苏南京高三调研)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为AB和B1C1的中点.

(1)证明

取A1C1的中点为S,连接SN,AS.

考点三利用空间向量求二面角例3

(12分)(2023·新高考Ⅰ,18)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)证明:B2C2∥A2D2;(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.

[规范解答]

(方法2

几何法)设棱DD1上的点N满足DN=AA2=1,取CC1的中点M,连接A2N,MN,B2M.由题意可知,A2(2,2,1),C2(0,0,3),D2(2,0,2),设点P(0,2,a),其中0≤a≤4.教考链接(人教A版选择性必修第一册综合运用第11题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在BB1,DD1上,且AE⊥A1B,AF⊥A1D.(1)求证:A1C⊥平面AEF;(2)当AB=4,AD=3,AA1=5时,求平面AEF与平面D1B1BD的夹角的余弦值.

规律方法

1.平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.

2.利用公式求二面角的平面角时,要注意<n1,n2>与二面角大小的关系是相等还是互补,需要结合图形进行判断.

(2)(方法1)如图,以DA,DC所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

(方法2)如图,取PC的中点M,过点A作AH⊥PD,垂足为H,