西建大材料力学课件06梁弯曲时的位移

5梁弯曲时的位移

5.1梁的位移——挠度及转角5.2梁的挠曲线近似微分方程5.3积分法计算梁的变形5.4叠加法计算梁的变形5.5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施5.1梁的位移——挠度及转角xyxwFw=f(x)

梁在平面弯曲时，其轴线弯成一平面曲线，称为梁的挠曲线。

梁横截面形心的竖向位移称为截面的挠度，用w来表示。规定：挠度以向下为正，向上为负。

梁横截面绕中性轴转过的角度称为截面的转角，用

来表示。规定：由变形前的横截面转到变形后，转角以顺时针为正，逆时针为负。

梁不同截面的挠度和转角不同，它们是截面坐标的函数，称为梁的挠度方程和转角方程。w=f（x）挠曲线方程θ=θ（x）转角方程

挠度和转角的关系

挠曲线为一条平坦的曲线xyxwFw=f(x)5.2梁的挠曲线近似微分方程

曲率与弯矩的关系：

曲率与挠曲线的关系（数学表达式)

挠曲线与弯矩的关系推导纯弯曲梁的正应力时横力弯曲，忽略剪力对变形的影响或OxyMMM<0OxyMMM>0

在规定的坐标系中,x轴水平向右为正,y轴竖直向下为正。曲线向上凸时：w>0,M<0曲线向下凸时：w<0,M>0M与w的正负号正好相反，所以挠曲线近似微分方程的近似性：忽略了“Fs”以及对变形的影响

使用条件：弹性范围内工作的细长梁。——挠曲线近似微分方程5.3积分法计算梁的变形步骤：

根据荷载分段列出弯矩方程M（x）。

根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分（EIz为常量）

根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。连续条件：边界条件：F（1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。（3）、在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。

确定挠曲线方程和转角方程。

计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。F例5-1

求图示悬臂梁自由端的挠度及转角(EIz

=常数）。解：a)建立坐标系并写出弯矩方程b)写出微分方程并积分c)应用位移边界条件求积分常数d)确定挠曲线、转角方程e)自由端的挠度及转角x=0,w=0;q=0FLxxyqlABxC解：a)建立坐标系并写出弯矩方程b)写出微分方程并积分c)应用位移边界条件求积分常数d)确定挠曲线和转角方程e)最大挠度及最大转角ql/2ql/2x=0,w=0;x=l,w=0.

例5-2求分布载荷简支的最大挠度和最大转角(EIz=常数）解：a)建立坐标系并写出弯矩方程b)写出微分方程并积分例5-3求图示梁的跨中的挠度和转角（EIz=常数）AC段（0≤x1≤a）：CB段（a≤x2≤l）：FCd)确定挠曲线和转角方程c)应用位移边界条件和连续条件求积分常数x1

=0,w1

=0;x2

=l,w2

=0.

x1

=x2=a

，w1=w2；w'1=w'2e)跨中点挠度及两端端截面的转角两端支座处的转角——讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。AC段：

CB

段：当a＞b时——FCFC最大挠度一定在AC段当a＞b时——最大挠度发生在AC段

2、a=b

时此梁的最大挠度和最大转角。作业：习题5-3习题5-4

若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为Mi(x)，转角为qi

，挠度为wi

，则有：5.4.1叠加原理5.4叠加法计算梁的变形

梁上有分布载荷，集中力与集中力偶。弯矩的叠加原理----

梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。

设梁上有n个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为q

，挠度为w，则有：由于梁的边界条件不变，因此1.梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；

2.叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。前提条件：弹性、小变形。结论：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。——弯曲变形的叠加原理叠加法的特征：5.4.2简单荷载下简单梁的变形ABEIzlMeABEIzlFABEIzlqABEIzql/2l/2CABl/2EIzl/2FCABMeEIzl/2l/2CaaF=+例5-4叠加法求A截面的转角和C截面的挠度.解、a)载荷分解如图b)由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。aaqFCAaaqc)叠加L/2L/2qCA=+例5-5求图示梁C截面的挠度。解：1、载荷分解如图2、查梁的简单载荷变形表3、叠加L/2CAq/2L/2(a)L/2L/2CAq/2q/2(b)例5-6试用叠加法求图示悬臂梁自由端B

的挠度和转角。wBabABFCEIz解：1、变形分解如图2、查梁的简单载荷变形表3、叠加wBabAFCEIzBACaBFCbFM=FbFS=F例5-7试用叠加法求图示悬臂梁C

截面的挠度和转角。M解：1、载荷分解如图2、查梁的简单载荷变形表3、叠加=+qaAB

CM=qa/2（b）例5-8求图示外伸梁B

截面的挠度（EIz

已知）。解：1)结构分解如图2)查梁的简单载荷变形表3)叠加B

Cq（a）ABLaCq例5-9求图示阶梯形悬臂梁自由端的转角和挠度。AC2EIz

aFs=FFS=FBCaFEIzM=FaA2EIz

aaBFEIz

CMBCFEIz=+解：1)结构分解图2)查梁的简单载荷变形表3)叠加作业：习题5-11习题5-125.5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施5.5.1梁的刚度条件土建工程，主要要求梁的最大挠度与跨长之比要小于或等于容许值，即机械工程，传动轴是装在轴承上，轴的转角过大会损坏轴承，因此要求轴的转角必须小于或等于容许值，即校核刚度；

设计截面尺寸；

确定外载荷。1）承受集中载荷的外伸梁B处的转角为：解：B例5-10已知钢制圆轴左端受力为F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。轴承B处的许可转角

q

=0.5°。根据刚度要求确定轴的直径d。2）由刚度条件确定轴的直径：5.5.2提高梁的刚度的措施梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于下面三个因素：材料——梁的位移与材料的弹性模量