（2025年）河南省中考题数学真题及答案

Page2025年河南省中考题数学试题注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）1.在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作（）A.个 B.个 C.个 D.个【答案】B【解析】【分析】本题考查正数和负数的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量，已知进球数记为正，则失球数应记为负，据此求解即可．【详解】解：如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作个，故选：B．2.数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知圆锥的展开图是解题的关键．根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，即可得到答案．【详解】解：根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，则该立体图形是圆锥，故选：D．3.通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：，故选：C．4.如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键．由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可．【详解】解：由量角器可知，，，即所量内角的度数为，故选：C．5.一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：一元二次方程，，方程有两个不相等的实数根，故选：A．6.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解．【详解】解：如图，取格点、，由网格的性质可知，，，，、分别是、的中点，是的中位线，，故选：B．7.化简的结果是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题关键．先将分母变为相同，再进行减法，然后利用平方差公式约分化简即可．【详解】解：，故选：A．8.甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种，∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为．故选：B．9.如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解．【详解】解：由折叠的性质可知，，，在菱形中，，，，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键．10.汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（）A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为B.当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于D.若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可．【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意；B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意；C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意；D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意；故选：C二、填空题（每小题3分，共15分）11.请写出一个使在实数范围内有意义的的值：______________．【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，以及解不等式，熟练掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义得到求解，取恰当的值即可．【详解】解：由题意得，，解得，∴使在实数范围内有意义的的值可以为；故答案为：3（答案不唯一）．12.为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）．【答案】甲【解析】【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题关键．根据方差越大，越不稳定，即可求解．【详解】解：两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，，两种小麦长势更整齐的是甲，故答案为：甲．13.观察，根据这些式子变化规律，可得第个式子为______________．【答案】【解析】【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式子，得到第个式子为，即可得到答案．【详解】解：第1个式子：，第2个式子：，第3个式子：，第4个式子：，……观察发现，第个式子为，故答案为：14.我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________．【答案】【解析】【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可．【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点，，，四边形为矩形，，，，，，，，，，是等边三角形，，，阴影部分的面积，故答案为：．【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键．15.定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为___________．【答案】或【解析】【分析】题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分情况讨论：①当时，过点作于点，由等腰三角形的性质得到，证明，得到，即可求出的长；②当时，过点作交于点，由等角对等边得到，再证明，设，进而得出，，根据求出的值，即可求出的长；③当时，利用锐角三角函数，得出，，即此种情况不存在；④当时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解．【详解】解：，，，，，若为“反直角三角形”，①当时，过点作于点，，，，，，，，，，，，；②当时，过点作交于点，，，，，，，，，设，则，，，，，，；③当时，，，且，，，若，则，即，此种情况不存在；④当时，当点与点重合时，最小，此时，同③理可证，此种情况不存在；综上可知，的长为或，故答案为：或．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（1）计算：；（2）化简：．【答案】（1）0；（2）1【解析】【分析】（1）首先计算立方根，零指数幂和二次根式的乘法，然后计算加减；（2）首先计算完全平方公式，单项式乘以多项式，然后计算加减．【详解】解：（1）；（2）．【点睛】此题考查了立方根，零指数幂和二次根式的乘法，完全平方公式，单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则．17.为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下．得分统计图得分统计表统计量年级七年级八年级平均数7.867.86中位数a8众数7b优秀率c根据以上信息，回答下列问题．（1）表格中的________，________，_________．（2）你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由．【答案】（1）7.5；8；（2）见解析【解析】【分析】本题考查了条形统计图，中位数，众数，平均数等知识点，正确理解统计图是解题的关键．（1）根据中位数、众数定义以及优秀率的标准求解即可；（2）可以根据众数和中位数做决策．【小问1详解】解：抽取50名学生，则中位数为第25，26名同学成绩的平均数，由条形统计图可得中位数；八年级得分为8分的人数最多为23人，∴众数；八年级的得分优秀率为：，故答案为：7.5；8；；【小问2详解】解：八年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好，因为八年级的学生成绩的中位数和众数都高于七年级．18.小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．（1）求反比例函数的表达式．（2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．【答案】（1）反比例函数的表达式为：（2）【解析】【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案；（2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可.【小问1详解】解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．∴，∴反比例函数的表达式为：；【小问2详解】解：∵，∴，∵含角的三角板为等腰直角三角形，，∴，，如图，连接，旋转到的位置；∴，∵的对应点在的图象上，∴，∴，由旋转可得：，∴.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键.19.如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形．【答案】（1）作图见详解（2）证明过程见详解【解析】【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键．（1）运用尺规作直径垂直平分线即可；（2）根据平行四边形的性质结合题意得到，，即，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证．【小问1详解】解：如图所示，∵是直径，∴运用尺规作直径的垂直平分线角于点，∴点即为所求点的位置；【小问2详解】证明：如图所示，∵四边形是平行四边形，∴，∵点分别是的中点，∴，，即，∴四边形是平行四边形．20.为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元．（1）求甲、乙两种苹果每箱的售价．（2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元．【答案】（1）甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元；（2）该公司最少需花费元．【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意正确列式是解题关键．（1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元，根据“2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元”，列二元一次方程组求解即可；（2）设购买甲种苹果箱，根据“乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数”列不等式，求出的取值范围，设该公司需花费元，得到关于的一次函数，求出最值即可．【小问1详解】解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元，则，解得：，答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元；【小问2详解】解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱，则，解得：，设该公司需花费元，则，，随的增大而增大，当时，有最小值为，即该公司最少需花费元．21.焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．活动主题测量纪念碑的高度实物图和测量示意图测量说明如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上．测量数据备注点在同一水平线上．根据以上信息，解决下列问题．（1）由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由．（2）求纪念碑的高度．（3）小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）．【答案】（1）见解析；（2）纪念碑的高度为．（3）小红的结果误差较大，理由见解析【解析】【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．（1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论；（2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可；（3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可．【小问1详解】解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，，标杆的影子的长和标杆的长相等，即，；【小问2详解】解：如图，令与的交点为，则四边形和是矩形，，，，，设，则，，，，，，，解得：，答：纪念碑的高度为．【小问3详解】解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为，则小红的结果误差较大，理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果．22.在二次函数中，与的几组对应值如下表所示．…01……1…（1）求二次函数的表达式．（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．（3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值．【答案】（1）（2）；见解析（3）或【解析】【分析】本题主要查了二次函数图象和性质：（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解；（3）分两种情况解答，即可求解．【小问1详解】解：把点代入得：，解得：，∴二次函数的解析式为；【小问2详解】解：，∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，∴点关于直线对称点为，画出函数图象，如图，【小问3详解】解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为，∴平移后的抛物线的对称轴为直线，当平移后抛物线的对称轴在直线左侧时，此时最小值为，，即，当时，取得最大值，最大值为，∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，∴，解得：或（