《向量的数量积》课件

第6章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积

如图，当力F和位移S存在一个夹角θ时，力对物体所做的功是多少？FSθ从求功的运算中，能否抽象出某种数学运算？FSθ情境:AOB称这种运算为向量的数量积FSθ数学建模:类比知识迁移AOB对于两个非零向量

，，在平面上任取一点O作,,则叫做向量与的夹角两个非零向量的夹角的范围是什么?向量的夹角ab为何要非零向量BOAOABOAB试一试在正三角形ABC中，(1)求的夹角(2)求的夹角向量的夹角注意点：1向量要共起点

2角的范围

3几个特殊角ABC探究：零向量与其他向量有没有数量积？应如何定义？能否给出物理模型进行解释？向量数量积的定义

已知两个非零向量和，它们的夹角为θ，我们把数量||||cosθ叫做与

的数量积(内积)，记作，即＝||||cosθ

规定：零向量与任何向量的数量积为0，即为何要非零向量

两个向量的数量积与数乘向量有什么区别？比较探究两个向量的数量积是一个实数，它的符号由的符号所决定；而数乘向量是一个向量。2书写上的区别例1已知向量

与的夹角为

,||=2，|

|=3，分别在下列条件下求(1)

=135º；(2)；(3)．牛刀小试变式1.||=2，|

|=3,求与的夹角变式2.||=2，|

|=4,求的范围将数量积中的量特殊化得到尝试发现324？？？将公式变形得到什么？？？……角度(向量与三角)……长度……与垂直有关（共线时取等号）=……（向量与不等式）1重要结论为何要非零向量小组合作:变式练习(1)9(2)-16(3)-612345678910111213141516171819A级必备知识基础练1.[探究点一(角度1)]若p与q是相反向量,且|p|=3,则p·q等于(

)A.9 B.0 C.-3 D.-9D解析

由已知得p·q=3×3×cos

180°=-9.123456789101112131415161718192.[探究点三]若平面向量a与b的夹角为120°,|a|=2,(a-2b)·(a+3b)=3,则|b|=(

)B12345678910111213141516171819A.3 B.-3 C.6 D.-6A12345678910111213141516171819解析

如图,12345678910111213141516171819D123456789101112131415161718195.(多选题)[探究点二]已知a,b,c是三个非零向量,则下列选项正确的有(

)A.|a·b|=|a||b|⇔a∥bB.a,b反向⇔a·b=-|a||b|C.a⊥b⇔|a+b|=|a-b|D.|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|ABC解析

A.∵a·b=|a||b|cos

θ(θ为a与b的夹角),∴由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cos

θ|=1,∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆.故A正确.B.若a,b反向,则a,b的夹角为π,∴a·b=|a|·|b|cos

π=-|a||b|且以上各步均可逆.故B正确.C.当a⊥b时,在平面内任取一点O,作

=b,则以OA,OB为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,在平面内任取一点O,作

=b,则以OA,OB为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b.故C正确.D.当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故D错误.12345678910111213141516171819123456789101112131415161718196.[探究点三(角度2)·2023黑龙江哈尔滨期中]已知e1,e2是单位向量,且e1·e2=0,设向量a=λe1+μe2,当λ=μ=1时,<a,e1>=

;当λ+μ=4时,|a-e1|的最小值为

.

12345678910111213141516171819123456789101112131415161718197.[探究点一(角度1)]如图所示,在Rt△ABC中,A=90°,AB=1,则

的值是

.

-112345678910111213141516171819123456789101112131415161718198.[探究点三]已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.求证:(a-b)⊥c.证明

(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos

120°-|b||c|cos

120°故(a-b)⊥c.123456789101112131415161718199.[探究点一(角度2)·2023山东威海检测]已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求|a+b|;(2)求向量a在向量a+b方向上的投影向量的模.12345678910111213141516171819解

(1)(2a-3b)·(2a+b)=4a2-3b2-4a·b=4×16-3×9-4a·b=61,解得a·b=-6.∴|a+b|2=a2+b2+2a·b=16+9-12=13,12345678910111213141516171819A.等腰三角形

B.直角三角形C.等边三角形

D.等腰直角三角形B级关键能力提升练A1234567891011121314151617181911.已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1,则|a-b|的最大值为(

)A.1 B.2 C.3 D.5C1234567891011121314151617181912.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列四个选项,其中正确的有(

)A.a·c-b·c=(a-b)·cB.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直C.|a|-|b|<|a-b|D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2ACD

解析

根据向量数量积的分配律知,A正确;因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,B错误;因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边,所以|a|-|b|<|a-b|成立,C正确;根据向量数量积的分配律以及性质知,D正确.123456789101112131415161718191234567891011121314151617181913.(多选题)已知正三角形ABC的边长为2,设,则下列结论正确的是(

)A.|a+b|=1 B.a⊥bC.(4a+b)⊥b D.a·b=-1CD

解析

由题意知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120°,故B错误;(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=3,∴|a+b|=,故A错误;(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos

120°+4=0,∴(4a+b)⊥b,故C正确;a·b=1×2×cos

120°=-1,故D正确.1234567891011121314151617181914.已知a,b是单位向量,c=a+2b且a⊥c,则a·b=

,|c|=

.

1234567891011121314151617181915.已知向量e1,e2分别是与向量a,b方向相同的单位向量,若a·b=-9,a在b上的投影向量为-3e2,b在a上的投影向量为-e1,则a与b的夹角θ=

.

120°1234567891011121314151617181912345678910111213141516171819解

∵a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),∴(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.①同理可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2.②①-②,得|b|2=|d|2,①变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加②式得|a|2=|c|2,即|b|=|d|,|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形.又a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0.∴a·b=0,∴

.故四边形ABCD为正方形.1234567891011121314151617181917.已知|a|=2,|b|=1,(a-3b)·(a+b)=3.(1)求|a+b|的值;(2)求a与a-2b的夹角.1234567891011121314151617