《数列的概念》课件

第四章.14.1数列的概念学习目标1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念、表示方法（列表、图象、通项公式）以及数列的分类.2.了解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列的性质.3.理解数列的通项公式的意义，了解数列的递推公式，了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同.4.理解数列的前n项和，并能用数列的前n项和求出数列的通项公式.核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模新知学习在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如：

1.王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高.将这些身高数据（单位：cm）依次排成一列数：

75，87，96，103，110，116，120，128，138，

145，153，158，160，162，163，165，168.

①所以，①是具有确定顺序的一列数.

所以，②也是具有确定顺序的一列数.

思考：你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？

所以③是具有确定顺序的一列数.归纳：上述例子的共同特征是什么？新知讲解

上述①是按年龄从小到大的顺序排列的，②是按每月的日期从小到大的顺序排列的，③是按幂指数从小到大的顺序排列的，它们都是从第1项开始的.

序号123……

↓↓↓

↓

项……

三、数列的函数表示法及性质与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示.例如，数列①可以表示为表4.1-1.1234567891011121314151617758796103110116120128138145153158160162163165168它的图象如图4.1-1所示.与函数类似，我们可以定义数列的单调性.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，各项都相等的数列叫做常数列.

典例剖析

典例剖析

解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，

偶数项为负，所以它的一个通项公式为

解：（2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为2020

例4图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式.

（1）

（2）

（3）

（4）

（1）

（2）

（3）

（4）新知讲解

五、数列的递推公式

对递推公式的两点说明：（1）递推公式也是数列的一种表示方法.有时候并不一定要知道数列的通项公式，只要知道数列的某一项和递推公式，同样也可以知道数列的任一项；（2）与数列的通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.

典例剖析

新知讲解

随堂小测

3825

递增

7

7D课堂小结1.数列的定义

按照确定的顺序排列的一列数称为数列.项、首项

5.数列的递推公式数列的相邻两项或多项之间的关系表达式.

12345678910111213141516A级必备知识基础练1718192021B123456789101112131415161718192021D123456789101112131415161718192021A.70 B.28

C.20

D.8C1234567891011121314151617181920214.[探究点三]数列2,-5,8,-11,…,(-1)n-1(3n-1),…的第2n项为(

)A.6n-1 B.-6n+1 C.6n+2 D.-6n-2B解析

由数列可知奇数项为正数,偶数项为负数,即可表示为(-1)n-1,又首项为2,故数列的通项公式为an=(-1)n-1(3n-1),所以第2n项为a2n=(-1)2n-1(6n-1)=-(6n-1)=-6n+1.1234567891011121314151617181920215.[探究点二·陕西西安检测]数列-2,4,-6,8,…的通项公式可能为(

)A.an=(-1)n+12n B.an=(-1)n2nC.an=(-1)n+12n

D.an=(-1)n2nB解析

数列-2,4,-6,8,…的奇数项为负,偶数项为正,且均为2的倍数,故an=(-1)n2n.故选B.123456789101112131415161718192021AB1234567891011121314151617181920217.[探究点一](多选题)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是(

)CD解析

选项C,D既是无穷数列又是递增数列.1234567891011121314151617181920218.[探究点四(角度2)]已知数列{an}的通项公式为an=2021-3n,则使an>0成立的正整数n的最大值为

.

673又因为n∈N*,所以正整数n的最大值为673.1234567891011121314151617181920219.[探究点三]已知数列{an}的通项公式,写出这个数列的前5项,并作出它的图象:(1)an=2;123456789101112131415161718192021解

列表法给出这两个数列的前5项:n12345an22222bn1-43-165它们的图象分别为

12345678910111213141516171819202110.[探究点二]写出以下各数列的一个通项公式.(2)an=11-n;(3)an=n2+1;12345678910111213141516171819202111.[探究点三]已知数列{an},an=n2-pn+q,且a1=0,a2=-4.(1)求a5.(2)150是不是该数列中的项?若是,是第几项?(2)令an=n2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍去),所以150是该数列中的项,并且是第16项.B级关键能力提升练123456789101112131415161718192021C12345678910111213141516171819202113.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}的各项中最大项是(

)A.第4项 B.第5项 C.第6项

D.第7项C12345678910111213141516171819202114.(多选题)已知数列{an}的前4项依次为2,0,2,0,则数列{an}的通项公式可以是(

)ABC123456789101112131415161718192021∴a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,故A正确;∵an=1+(-1)n+1,∴a1=1+(-1)2=2,a2=1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2,a4=1+(-1)5=0,故B正确;故选ABC.123456789101112131415161718192021A12345678910111213141516171819202116.已知数列{an}的通项公式为an=,若数列{an}为递减数列,则实数k的取值范围为

.

(0,+∞)12345678910111213141516171819202117.函数f(x)=x2-2x+n(n∈N*)的最小值记为an,设bn=f(an),则数列{an},{bn}的通项公式分别是an=

,bn=

.

n-1n2-3n+3

解析

当x=1时,f(x)min=f(1)=1-2+n=n-1,即an=n-1;将x=n-1代入f(x)得,bn=f(n-1)=(n-1)2-2(n-1)+n=n2-3n+3.123456789101112131415161718192021(1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项?(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?解

(1)令an=0,得n2-21n=0,∴n=21或n=0(舍去),∴0是数列{an}中的第21项.令an=1,得

=1,而该方程无正整数解,∴1不是数列{an}中的项.(2)假设存在连续且相等的两项是an,an+1,则有an=an+1,解得n=10,∴存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.C级学科素养创新练12345678910111213141516171819202119.1766年,德国有一位名叫提丢斯的数学老师,把数列0,3,6,12,24,48,96,…,经过一定的规律变化,得到新数列:0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2