小学三年级数学：位值制视域下“商中末零”除法竖式模型建构教案

小学三年级数学：位值制视域下“商中末零”除法竖式模型建构教案

一、基于数感生长与运算本质的学理分析

（一）学科核心素养视域下的单元教学定位

本教案隶属于小学数学“数与代数”领域，对应青岛版（五四学制）三年级上册第六单元“采访果蔬会——两、三位数除以一位数（二）”。从知识谱系来看，本课处于除法竖式学习的“分水岭”阶段：在此之前，学生已掌握首位除尽、无余数迁移的基本除法竖式；在此之后，将学习除数是两位数的除法乃至小数除法。商中间或末尾有0的除法绝非单纯的“计算技巧”，而是对除法意义中“平均分”的位值制表达达成深度理解的关键契机。本课通过制造“某一位不够分”的认知冲突，倒逼学生回溯“计数单位逐级细分”的数学本质，是数感、运算能力与推理意识协同发展的典型课例。

（二）大概念统摄下的课时定位

本课时的数学大概念是“除法运算的本质是计数单位的等分与转化”。在这一大概念统领下，商中间或末尾的0并非“凭空出现”，而是某一位上的计数单位个数少于除数时，必须通过“以0占位”来维持位值系统完整性的必然结果。因此，本课时的核心任务并非“教会学生在哪里写0”，而是引导学生在真实情境与学具操作中“重新发明”竖式简写规则，实现从程序性记忆向原理性理解的跃迁。

二、学习目标与表现性期望

（一）深度学习目标

1.在解决“生产果汁”“果脯加工”等真实问题的过程中，通过小棒、计数器与竖式的三重表征互译，理解“除到某一位不够商1时，商0占位”的位值制原理，能从计数单位分解的角度解释商0的必要性。

2.经历“完整竖式—简化竖式”的优化过程，掌握被除数中间有0、末尾有0以及无0但除到个位不够除三种典型情形的竖式规范写法，形成“先估位数、再逐位除、0必占位、余数比对”的结构化计算习惯。

3.通过“错例诊疗”“算式推理”等高阶思维活动，发展批判性思维与逻辑推理能力，体悟数学符号的简洁美与位值系统的严谨性。

（二）表现性评价指标

1.能用自己的语言解释“428÷4”的十位上为什么写0，并能用小棒摆出“2个十不够分”后的合并过程。

2.能在没有余数的除法（如420÷3）与有余数的除法（如843÷6）中，准确判断商的末尾是否需要写0，并说明两种情形下0的含义有何不同。

3.能根据“商中间有0”或“商末尾有0”的特征反推被除数的可能取值，完成结构化变式练习。

三、教学重难点的现代诠释

（一）教学重点：商中间或末尾“商0占位”的竖式规范与算理贯通。

（二）教学难点：理解“0除以任何非零数都得0”与“不够商1用0占位”在本质上的一致性；区分“被除数末尾有0”与“商末尾有0”的非充要关系。

四、教学准备与环境设计

（一）学习工具开发

1.结构性学具：每生一副百位、十位、个位分区明确的彩色小棒收纳盒，其中十位小棒（每捆10根）与个位小棒（散根）颜色区分，便于观察“拆捆”过程。

2.数字卡片：可翻转覆盖的位值卡片，用于在竖式教学中动态呈现“被盖住的0”与“写出的0”。

3.微视频资源：录制“古代筹算中的位值制”30秒短视频，用于文化渗透。

（二）物理空间布置

采用“鱼缸式”研讨座位，四人小组共用一套大号演示学具，每组配备一块可手写的小白板用于竖式试写与互评。

五、教学实施过程

（一）预学导航：从“口算估算”进入“结构化复习”

上课伊始，不直接呈现教材情境，而是先组织一次“极速口算”与“策略回顾”。屏幕快速闪现三组算式：第一组400÷2、360÷9，复习整十整百数除以一位数；第二组0÷5、0÷8，强化“0除以任何非0数都得0”；第三组404÷4，此为三年级上册第一单元已学的“被除数中间有0但商中间无0”的典型题（404÷4=101），学生口答后教师追问：为什么这道题的十位商1而不是商0？引导学生说出“十位上是0，但0除以4得0，且前一位除尽后十位是0，需要商0占位”吗？此处故意制造认知冲突——实际上404÷4十位上是0÷4，应商0，但学生常误写成11。此时教师不急于纠正，而是将404÷4与即将学习的428÷4并置，设疑：同样是三位数除以4，商的位数一样吗？十位上的商一样吗？从而将新知学习锚定在“旧知的不完全迁移”之上。

这一环节时长控制在5分钟，目的在于激活三个前概念：0在除法中的特殊运算、位值制中“空位”的表达需求、用估算判断商位数的大致区间。

（二）情境嵌入与问题提出：赋予数字以生活意义

使用青岛版教材经典情境但进行叙事升级。屏幕出示“果品加工厂数字化车间”大屏看板：4号生产线4分钟灌装果汁428瓶；7号生产线2小时制作果脯204千克。教师以“生产调度员”身份发布任务：请同学们以“质量检测员”视角，计算两条生产线的单位时间产能，并判断哪条生产线效率更高。

学生独立列式：428÷4，204÷2。教师追问：为什么不列成加法或乘法？引导学生抽象出“将总量按时间均分”的数量关系，巩固除法模型。继而让学生不计算，仅凭直觉估一估：428÷4的商大约是多少？一百多？二百多？204÷2的商呢？学生根据“400÷4=100，28÷4=7”估出107；根据“200÷2=100”估出100多。估算环节并非走过场，而是为竖式计算结果提供合理性参照，防止出现“商中间漏0”导致结果从107变成17时，学生能借助估算立即察觉异常。

（三）算理具身化：从“分小棒”到“创造竖式”

这是全课的核心认知建构阶段，分为两个递进式探究活动。

探究活动一：聚焦428÷4——攻克“十位不够商1”这一堡垒。

学生以小组为单位用小棒模拟分装过程。教师要求：先分4大捆（每捆100根），再分2小捆（每捆10根），最后分散8根。具体操作时，学生发现4大捆平均分给4组，每组得1大捆，百位分完无剩余；2小捆平均分给4组，每组不够1小捆。此时认知冲突爆发：不够分怎么办？有学生提出“拆开”，将2小捆拆成20根单根，与原有的8根合并成28根，再平均分4组，每组7根。

此时教师切入关键追问：在竖式里，我们怎么记录这个“拆捆再分”的过程？学生尝试独立列竖式。巡视中会发现典型样本：有的学生直接写428÷4=17，漏掉了十位商0；有的学生犹豫地在十位写“0”但不理解其意义；有的学生写出完整竖式“百位1，十位0，个位7”。教师选取三层级作品投屏展示。

第一层：错误作品（107写成17）。请作者陈述思路，立刻有学生反驳：“你只分了两次，百位和个位，十位没有分！”此时教师引导全班讨论：十位的2到底有没有参与计算？参与了对商有什么影响？学生借助小棒明白：十位的2确实参与了，但它是以“合并成28个一”的形式参与的，因此十位本身没有单独分得任何整捆，所以十位上的商必须是0。

第二层：完整展开式。学生将每一步减法的余数都写出，如“4减4余0，2落下来，2除以4不够商1，商0，0乘4得0，2减0余2，8落下来……”教师肯定其严谨，同时引导观察：这个竖式里，哪一步是可以省略的？为什么可以省略？学生发现，十位上“2减0”这一步写与不写，结果都一样，因为余数仍是2。

第三层：由此引出简便写法。教师不直接告知，而是让学生自己尝试创造“更简洁但意思不变”的记录方式。最终全班共同提炼：当某一位除以除数不够商1时，直接在这一位商0，然后把这一位上的数与下一位合并继续除。教师板书规范竖式，并重点圈出商中间的“0”，命名为“占位将军”——它虽然没有贡献数值，但它守卫了位置，让后面的7回到了个位。

探究活动二：迁移解决204÷2——挑战“被除数中间有0且商0”。

204÷2的小棒操作与前题不同：百位2÷2得1，无余；十位0÷2怎么办？学生有两种声音：0除以2等于0，所以商0；0不够分，所以商0。教师追问：这两种说法背后，分小棒的过程一样吗？学生在计数器上拨珠验证：十位上一颗珠也没有，确实没法分，只能商0占位，然后将个位的4落下来继续除。此时学生自然得出“0除以任何不为0的数都得0”与“不够商1写0占位”在此处合二为一。教师进一步引导学生对比428÷4与204÷2的竖式：前者的0是因为“有2但不够分”，后者的0是因为“0不用分”，但它们在占位功能上完全一致。

（四）结构化建模：从“个例”走向“类特征”

当学生完成两道例题并归纳出“除到哪一位不够商1，就在那一位商0”后，教学并未止步。教师出示一组对比题组，引导学生对“商0”的情形进行维度分类。

题组A（被除数末尾有0）：420÷3。

学生尝试独立完成，出现两种竖式：一种是个位落0后，0÷3得0，在个位商0；另一种是十位除尽后直接看成42个十除以3得14个十，末尾0在商中保留为个位0。教师引导学生观察：这里的0与刚才例题的0有何异同？学生发现：相同的是都要占位；不同的是，420÷3个位的0是“被除数本来就有的0，除后仍是0”，而428÷4十位的0是“被除数原有2，但不够分，用0表示这十位没分到整十数”。教师提炼：0在商中出现的原因有两种——被除数该位本身就是0，或者是小于除数且无法分得计数单位。

题组B（被除数末尾无0但除后商末位有0）：843÷6。

此题极具认知价值。学生计算至个位：3÷6不够商1，必须商0，余3。此时教师追问：被除数个位明明是3，不是0，为什么商的个位却是0？学生在争论中达成共识：不是只有“被除数有0才能商0”，而是“只要这一位上的数小于除数，不够分，就必须用0占位”。至此，学生对“商0”的理解从现象识别上升到本质把握——无关乎被除数这一位是不是0，只关乎“够不够商1”。

（五）符号优化与审美体验：竖式的二次创造

在学生对算理透彻理解的基础上，进行竖式书写的审美化改造。教师呈现三组竖式：完整展开式、半简化式（省略乘减但保留落0）、全简式（直接商0落位）。学生以“排版设计师”身份评选最清晰的书写格式，并陈述理由。全班共同拟定“商中末零”除法竖式书写三阶标准：

第一阶：定位。先看被除数的最高位，判断商是几位数，在竖式对应位置预留空间。

第二阶：逐位。从高位算起，每一位都问自己“这一位上的数平均分，每份够不够1个计数单位”，够则商几，不够则商0占位。

第三阶：落并。商0后，必须把这一位与下一位合并，作为新的被除数继续除；若已是个位，商0后余数即为最终余数。

此阶段教师引入30秒微视频，展示中国古代筹算中用空位表示0的智慧，使学生感受到自己“发明”的简写竖式与古人的筹算空位在本质上同根同源，增强文化自信与数学审美体验。

（六）分层练习与错例免疫

练习环节采用“诊断专家”任务驱动，不进行机械刷题，而是精选典型错例进行病理分析与修正。

第一层：基本巩固。计算309÷3、840÷6、715÷7。要求学生先口述商的位数，再动笔计算。教师重点巡视715÷7：个位5÷7不够商1，学生是否忘记商0，是否把余数5写在个位上方。即时反馈时采用同伴互评，用红笔圈出“救命0”。

第二层：错例会诊。出示三份匿名错题：

错例1：428÷4=17（漏十位0）。

错例2：650÷5=130（正确）被学生改成13（认为末尾0多余）。

错例3：321÷3=107，被改成17（误以为中间0可省略）。

学生以“小考官”身份写批语，用学具演示或画图的方式解释错误根源。这一环节不仅强化正确认知，更让先前犯错的学生在“纠正他人”的过程中完成自我认知修复。

第三层：变式推理。

第一题：在□里填合适的数，使48□÷4的商的末尾有0。学生需要逆向思考：商的末尾有0，意味着被除数的个位必须小于4，或者十位除完后无余且个位为0。通过枚举0、1、2、3，学生发现当个位填0、1、2、3时，商的个位均为0，但余数不同。此题打通了“商0”与“余数”的关联，直指除法运算的一致性。

第二题：321÷□，商是两位数且末尾有0。学生需倒推除数范围，并兼顾“十位除尽且个位不够除”。此题供学有余力者挑战，将运算思维推向逻辑推理层面。

（七）回溯建构与大概念提炼

下课前十分钟，组织“除法竖式发布会”。各小组将本课所学凝练成一句“箴言”或一个“数学模型”。教师汇总并提炼出本课的大概念锚图：

除法竖式本质上是在做三件事：第一，把总数拆成不同大小的计数单位包；第二，按除数等分每个计数单位包；第三，小包不够分就拆成更小的包再分。商中间的0，记录的是“某种大小的包一个都没分到，但不能把位置空着”；商末尾的0，记录的是“所有包都分完了，最小的包本来就没有，或者小到没法分”。

教师引导学生回看本单元第一课时学的“两位数除以一位数”，以及下单元即将学的“两位数乘两位数”，指出无论是乘还是除，都是在跟“计数单位”打交道，0不是空无一物，而是位值系统中不可或缺的坐标原点。

（八）延学任务：带着数学眼光离场

课后不布置机械重复的计算练习，而是布置两项长程任务：

任务一：家庭调查员。找一找生活中用除法解决问题时，商出现0的例子。例如，家庭三个月用电450度，平均每月用多少度？450÷3=150，商的末尾有0。让学生拍摄照片或绘制小报，解释这个0的实际意义。

任务二：错题收藏家。整理自己本周除法计算中的所有错题，分类统计“哪一位最容易漏0”，并制作一张“防漏0温馨提示卡”，下节课班级展览。

六、学习评价与反馈系统

本课采用全过程嵌入式评价，不设孤立的纸笔测验单元。评价维度分为三个层级：

第一层级，程序性评价。通过课中四道计算题的首次正确率，即时诊断竖式书写规范是否养成。对于首次出错的学生，不直接打叉，而是标注“建议回看小棒图”，允许二次修正。

第二层级，概念性评价。通过“说理”评估。随机抽取学生，要求其对照自己计算的竖式，手指每一位的商，说出“这个0是怎么来的，如果不写会怎样”。能清晰联系位值制解释者评定为“理解贯通”，仅能说出“老师说要写0”者判定为“记忆模仿”，需进入课后微辅导。

第三层级，迁移性评价。通过逆向填数题与错因分析任务的完成质量，评估学生是否实现了从“算”到“想”的跨越。优秀者