【课件】数据的离散程度 2025-2026学年人教版八年级数学下册

24.2数据的离散程度24.2数据的离散程度课时1离差平方和与方差1.理解离差平方和、方差的概念，能够计算一组数据的离差平方和、方差.2.理解方差的意义，能通过方差比较两组数据的离散程度．

某射击队三位运动员某次选拔赛的射击成绩如图所示，你认为甲、乙、丙三人中谁的发挥更稳定？能不能通过计算说明这三人成绩的稳定程度？问题：某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表所示.甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢？甲和乙两种玉米种子的平均产量为：x甲=7.537x乙=7.515甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.由此估计这个地区种植这两种甜玉米的平均产量相差不大.因此，不能应用平均数判断选择哪种甜玉米种子.甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49计算两组数据的平均数，能否应用平均数判断选择哪种甜玉米种子呢？由样本平均数估计总体平均数.思考：如何考查一种甜玉米产量的稳定性呢？为了直观地反映出甜玉米产量的分布情况，把数据画成下图：甲种甜玉米的产量乙种甜玉米的产量比较看看谁的数据波动比较大？甲种甜玉米的产量乙种甜玉米的产量比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.

因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好.如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画.思考：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？

为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和.我们把叫作这n

个数据关于平均数的离差平方和.记作“d2”.

把离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作“s2”.

试着用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度．根据样本估计总体的统计思想，种乙种甜玉米产量较稳定．甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量.方差有什么意义？方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小．思考：用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？离差平方和可以刻画一组数据的离散程度．在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差不受这个限制．

如何使用计算器求方差？使用计算器的统计功能求方差，操作时需要参阅计算器的使用说明书.通常先按某一功能键，使计算器进入统计状态；然后依次输入数据x1，x2，…，xn；

例

甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如下表所示.哪名射击运动员的发挥更稳定？甲97910108910510乙910781099879分析：方差越大，数据离散程度越大，发挥就不稳定；方差越小，数据离散程度越小，发挥就更稳定.甲97910108910510乙910781099879两名运动员射击成绩的方差分别为解：两名运动员射击成绩的平均数分别为

离差平方和离差：xi

－x(i

＝1，2，…，n)

方差越大（小），数据的波动越大（小）方差的作用比较数据的稳定性利用样本方差估计总体方差方差1.已知一组数据：x1，x2，x3，…，xn的方差为0.5，则2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2xn＋1这组数据的方差为(

)A．0.5B．1C．1.5D．2D2.射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为s甲2和s乙2，则s甲2和s乙2的大小关系是(

)A．s甲2>s乙2

B．s甲2<s乙2C．s甲2＝s乙2

D．无法确定A3.某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径(单位：mm)，并制作统计图如下：根据以上信息，解答下列问题：(1)

则m＝______，a＝______，b＝______．(2)苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，____供应商供应的苹果大小更为整齐．(填“甲”或“乙”)统计量供应商平均数/mm中位数/mm众数/mm甲8080b乙ma768079.583甲(3)超市规定直径82mm(含82mm)以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？

24.2数据的离散程度课时2根据方差做决策1.学会运用方差分析数据并进行优化选择和决策.2.综合运用平均数、众数、中位数和方差解决实际问题．

我们知道，一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，那么，是不是方差越小就表示这组数据越好？方差：方差的意义：方差越大(小)，数据的离散程度越大(小).方差的计算公式是什么，并说明方差的意义.

问题1自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量－标准含量）.甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为

500mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量，结果（单位：mL）如表所示.甲501496498499503498505498501501乙496493504495500506504505498499思考：可以通过哪些统计量来关注灌装线的灌装质量？每瓶饮料的含量；灌装线的稳定性．甲501496498499503498505498501501乙496493504495500506504505498499（1）如果有一瓶饮料含量的误差的绝对值超过10mL，此条灌装线的灌装质量为不合格，那么两条灌装线的灌装质量是否合格？解：甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量500mL的误差如表所示.甲组误差/mL1－4－2－13－25－211乙组误差/mL－4－74－50645－2－1可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为5mL、7mL，两者都小于10mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的.（2）哪条灌装线的灌装质量更好？甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为x甲=501+496+…+50110=500x乙=496+493+…+49910=500两条灌装线饮料实际含量的平均数都等于标准含量.甲501496498499503498505498501501乙496493504495500506504505498499可以类比方差，计算甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异程度，分别为(501－500)2+(496－500)2+…+(501－500)210

=

6.6(496－500)2+(493－500)2+…+(499－500)210

=

18.8

可以发现，甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小.根据样本估计总体，综合来看，甲灌装线的灌装质量更好.（2）哪条灌装线的灌装质量更好？甲501496498499503498505498501501乙496493504495500506504505498499方差只能反映样本的稳定性，而不能反映样本的一般水平.因而在用样本估计总体时，通常要综合考虑样本平均数与样本方差，再作出判断.运用方差解决实际问题的一般步骤：1.先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况；2.在平均数相同或接近时，比较方差，方差越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度越大甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（

）A.甲 B.乙C.丙 D.丁队员平均成绩方差甲9.72.12乙9.60.56丙9.80.56丁9.81.34C问题2甲、乙两地同一天的气温记录如表所示.两地的气温有什么差异？时刻0:002:004:006:008:0010:0012:0014:0016:0018:0020:0022:0024:00甲/℃1191012162123242118161413乙/℃13111214151719212018171615为了直观地观察两地气温的特点，可以以时刻为横坐标，气温为纵坐标，把表中的数据用折线图进行表示.解：得到下图.

从折线图中可以看出，甲、乙两地气温在不同的时刻互有高低，但甲地的最高气温高于乙地，而最低气温低于乙地．

为进一步了解两地气温的差异，可以从数据的集中趋势和离散程度两个方面分别进行比较.①通过数据的集中趋势分析两地的气温差异：平均数、中位数、众数.两地气温的平均数分别为x甲11+9+…+1313==16x乙13+11+…+1513==16平均数相等.时刻0:002:004:006:008:0010:0012:0014:0016:0018:0020:0022:0024:00甲/℃1191012162123242118161413乙/℃13111214151719212018171615将两地气温按从小到大排列，可得甲地9101112131416161821212324乙地11121314151516171718192021中位数都是16.众数：甲地是16和21.乙地是15和17.众数重复次数太少，不具有代表性.时刻0:002:004:006:008:0010:0012:0014:0016:0018:0020:0022:0024:00甲/℃1191012162123242118161413乙/℃13111214151719212018171615平均数/℃中位数/℃众数/℃甲地161616和21乙地161615和17时刻0:002:004:006:008:0010:0012:0014:0016:0018:0020:0022:0024:00甲/℃1191012162123242118161413乙/℃13111214151719212018171615从数据的集中趋势看，两地的气温差异不明显.②通过数据的离散程度分析两地的气温差异：两地气温的方差分别为方差

时刻0:002:004:006:008:0010:0012:0014:0016:0018:0020:0022:0024:00甲/