2025-2026学年下学期江苏省南京高三数学5月二模试卷（含答案）

南京市2026届高三年级第二次模拟考试数学2026.05注意事项:1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5定米黑色墨水签字笔填写在答题卡上.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的.1.已知2−iz=A.2B.2C.5D.52.抛物线y2=x的焦点为F,准线为l,则F到A.14B.13.x−1A.-20B.-15C.15D.204.已知M,N均为R的子集，且M∩RNA.⌀B.MC.ND.R5.已知圆C:x−32+y2=9,直线l过点P1,1A.2x−yC.x−2y6.已知sinα+2cosA.-2B.−12C.127.曲线y=14x在x=nn∈N∗处的切线为ln,分别记lnA.3n−1nB.3n+8.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0,若CA.0,63B.63二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.金部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知a>0,b>0A.1<a<bB.110.已知函数fx=A.f2=C.fx在7,8上单调递减D.fx11.在三棱锥P−ABC中,AB=2,∠APBA.△ABC外接圆直径为B.CC.当PC=1时,三棱锥PD.三棱锥P−ABC的外接球半径的取值范围是三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.将函数y=2sinx+π3的图象向左平移φ0<13.已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形,动点M满足AM=A +x14.已知函数fx=x3+33x2+mxm∈四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知数列an的各项均为正数,Sn为an的前n项和,且(1)求an(2)设bn=an⋅12an，求数列b16.(本小题满分15分)已知函数fx(1)讨论fx(2)当a>0时,证明:17.(本小题满分15分)如图1,在平面四边形ABCD中,AB=(1)求∠CDA(2)点E,F满足:DE=13DC,DF=12DA.如图2，将△DEF沿EF折至△PEF，使得二面角P(第17题图)18.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:x2a2−(1)求C的方程；(2)直线l1依次交C的左支、x轴、右支于P，T，Q三点，经过点T且垂直于l1的直线l2与C有且仅有一个公共点M,点N与M关于原点O对称,直线NP,NQ分别交x证明:①M,T②四边形AMBN是平行四边形.19.(本小题满分17分)盒中有4个黑球2个红球,每个球除颜色外均相同.甲、乙进行摸球游戏,两人轮流从盒中摸球,每次由其中一人随机摸出2个球,若有黑球,则黑球放回盒中;若有红球,则红球不再放回盒中.直至盒中红球已被全部取出,游戏结束.第一次摸球从甲开始,记Pn为第n(1)求P1,(2)求Pn(3)若摸球2n次,游戏恰好结束,将此情况下乙摸到的红球个数记为随机变量X2n.证明:E南京市2026届高三年级第二次模拟考试数学参考答案2026.05一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.A2.B3.A4.C6.C7.D8.B二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.9.BC10.BCD11.ABD三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.12.π613.2四、解答题:本大题共5小题,共77分.15.(本小题满分13分)解:(1)因为an2,Sn所以当n≥2时,两式相减得,2S即2a即an因为an为正项数列,所以a则an当n=1时,2S1=所以an是首项为1公差为1则an(2)bn=则Tn所以12两式相减得:1=所以Tn16.(本小题满分15分)解:(1)fx①当a=0因为f′x=1ex>0,所以②当a>0由f′x>0,得x<1a,由所以fx在−∞,1a上为增函数,在③当a<0由f′x>0,得x>1a,由所以fx在−∞,1a上为减函数,在综上,当a=0时,fx在−∞,+∞上为增函数;当a>0时,fx在−∞,1a上为增函数，在1a,+∞上为减函数；当a<0时，(2)由(1)知，当a>0时，fx在−∞,1a上为增函数，在1要证:fx<12a2,只要证:法一:记ga则g′由g′a=0,得a=1,由g′a>0,得所以ga在0,1上为减函数,在则ga因为e>2,所以ga>2法二:只要证:e1−2a>记gt则g′由g′t=0,得t=ln2,由g′t>0,得所以gt在0,ln2上为减函数,在所以gt因为2−2ln2=21−ln2法三:只要证:lna⋅e1a记gag由g′a=0,得u=1,由g′a>0,得所以ga在0,1上为减函数,在则ga因为1>ln2,所以ga>ln217.(本小题满分15分)解:(1)连接BD,因为∠BCD=所以BD=在△ABD中,AB由余弦定理,得cos∠ADB则tan∠ADB因为tan∠BDC因为∠ADC因为∠ADC∈0,π(2)因为CD=6所以DE=在△DEF得EF则DE2+EF所以PE⊥EF,CE⊥EF,则∠又因为二面角P−EF所以∠PEC=90∘以{EF,EC,EP}为正交基底建立空间直角坐标系EB3所以AB=设平面PAB的法向量n=x,y,z,则令y=1,则n=2,1设直线PC与平面PAB所成角为θ,则sinθ所以PC与平面PAB所成角正弦值为61018.(本小题满分17分)解:(1)因为双曲线C的右顶点为1,0,所以又因为C的渐近线互相垂直，所以ba=1，则所以C的方程为x2(2)①由题意可知l2不与x轴垂直，且不与C的渐近线平行，设l2由x2−y2=因为l2与C有且只有一个公共点M,所以Δ=4k2m则M点横坐标xM满足:2xM=−由l2:y=kx+m,令y=0所以xM②由①知T点坐标为−mk把xM=−km代入y=kx+m，得所以M点坐标为−k由于点N与M关于原点O对称,所以N点坐标为km因为l1⊥l2由x设Px1,y由Nkm,1m,Px1令y=0,得A点横坐标同理可得B点横坐标xB所以x=====注意到k2−m2−所以xA所以OA=OB,又因为所以四边形AMBN是平行四边形.19.(本小题满分17分)解:(1)解:1PP(2)若盒中有4个黑球，2个红球，一次性摸出两个球，摸到0,1,2个红球的概率分别为C4若盒中有4个黑球,1个红球,一次性摸出两个球,摸到0,1个红球的概率分别为C4则摸球n次,记第i次和第n次分别各摸到一个红球的概率为pi则pi摸球n次,记第n次摸到两个红球的概率为pn,则p则P===(3)法一:设摸球2n次,在第i次和第2n次分别摸到一个红球的概率为p记