北京市西城区2026届高三二模测试数学试卷（含答案 ）

页（共14页）西城区高三模拟测试试卷数学2026.5本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，集合，则（A）（B）（C）（D）（2）已知复数满足，则（A）（B）（C）（D）（3）双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（A）（B）（C）（D）（4）在平面直角坐标系中，角以为始边，为终边上一点，则（A）（B）（C）（D）（5）已知函数在上单调递增，设，则函数是（A）奇函数，且在上单调递增（B）偶函数，且在上单调递增（C）奇函数，且在上单调递减（D）偶函数，且在上单调递减（6）在长方形中，，，是边上一点，则的最小值为（A）（B）（C）（D）（7）设函数，若不等式的解集为，则（A）（B）（C）（D）（8）已知离相等”是“平面将正方体分成体积相等的两部分”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（9）的年平均增长率与前年实际年平均增长率相同，那么年工厂的年产值为（A）（B）（C）（D）（10）已知无穷数列的各项均为正数，且对任意的正整数，总存在正整数，满足，则（A）可能为常数列（B）可能为等差数列（C）不可能为等比数列（D）可能为递减数列第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）在中，若，，，则最大内角的余弦值为______.（12）在的展开式中，常数项为______.（用数字作答）（13）已知向量，单位向量，向量满足，则的一个取值为______．（14）共有个元素，则的取值范围是______；若中共有个元素，则这个元素乘积的最小值为______.（15）在物理实验中，当相互垂直的两个简谐振动的频率比为简单整数比时，示波器上会显示出一条“利萨如曲线”.曲线是一条常见的“利萨如曲线”.给出以下四个结论：①若为曲线上一点，则，；②曲线上两点间距离的最大值为；=3\*GB3③曲线所围成的区域的面积小于；④过原点的直线与曲线最多有个公共点.其中，所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）如图，在三棱锥中，平面，，，直线与底面所成角的大小为．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值.（17）（本小题13分） 已知函数，其中.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使得函数存在且唯一确定．当时，求函数的最大值和最小值．条件①：；条件②：函数在上单调递减；条件③：函数为偶函数．注：如果选择的条件不符合要求,第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（18）（本小题13分）随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动.某市年到年的文博馆接待的成年人和未成年人的参观次数（单位：万人次）统计图如下：假设各年的参观情况互不影响.（Ⅰ）在年到年这年中任选一年，求这一年与其前一年相比，该市未成年人参观文博馆次数出现增长的概率；（Ⅱ）从年至年这年中任选年，再从年至年这年中任选年，记选出的年中该市年参观文博馆总人次超过万的年数为，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）文博馆文博馆总人（结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点的直线与交于两点，过点作垂直直线于点，记和的面积分别为和，求证：.（20）（本小题15分）已知函数，其中.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）对于，讨论与的大小；（Ⅲ）当时，证明：方程存在两个根，且.（21）（本小题15分）对于由集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质.（Ⅰ）在的子集中，写出一个不要求证明（Ⅱ）证明：在的子集中，不可（Ⅲ）在的子集中，最多能选出多少个（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）西城区高三模拟测试试卷数学答案及评分参考2026.5一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）D （ 2 ）B （ 3 ）C （ 4 ）A （ 5 ）C （ 6 ）B （ 7 ）C （ 8 ）D （ 9 ）B （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）（12）（13）（答案不唯一）（14）（15）=1\*GB3①=3\*GB3③=4\*GB3④注：（14）题第一空3分，第二空2分；（15）题全部选对得5分，有两个选对且无错选得4分，有一个选对且无错选得3分，其他得0分.三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为平面，所以，，为在平面内的射影，所以直线与底面所成角为,即.………………2分在中，由，，得．在中，又因为，，所以，即．………………4分又因为，，所以平面．………………6分（Ⅱ）在平面内，过作.由（Ⅰ）得两两垂直.如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．……………8分设平面的法向量为，则即令，则．于是．设平面的法向量为，则即令，则．于是．………………12分所以，即平面与平面夹角的余弦值为.………………14分（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）因为，………………4分所以的最小正周期.………………6分（Ⅱ）选择条件①：由，得，所以，即.结合，得，即.………………9分由，得.结合函数在上单调递增，在上单调递减，得当，即时，；当，即时，.………………13分选择条件③：由为偶函数，得或，即，结合，得.故.………………9分以下解答过程与选择条件①相同，略.（18）（本小题13分）解：（Ⅰ）设事件“这一年与其前一年相比，该市未成年人参观次数出现增长”为，由图可知，在年到年这年中，有年的未成年人参观次数比上一年的未成年人参观次数出现增长，故.………………4分（Ⅱ）由题意，的取值集合为，………………5分由图知：在年至年这年中，只有年和年这年的参观总人次超过万；在余下的年中，只有年和年这年的参观总人次超过万，所以；；；.故变量的分布列为：………………8分所以.………………10分（Ⅲ）.………………13分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意，得，且，，………………3分解得，.所以椭圆的方程为.………………5分（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，故设.………………6分设，，由得，故，即（由题意）.且………………9分由和轴，得，所以直线的方程为，即.点到直线的距离.点到直线的距离.………………12分因为,所以.………………14分又因为，，所以.………………15分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意，，则.………………2分所以，.所以曲线在点处的切线方程为.………………4分（Ⅱ）设，，………………5分则.当时，由，，得；当时，由，，得，所以当时，（当且仅当时取等号），即在上单调递增.………………7分由，得当时，，即；同理，得当时，.综上，当时，；当时，；当时，.………………9分（Ⅲ）求导，得.令，解得.当变化时，与的变化情况如下表：↗极大值↘所以函数在上单调递增，在上单调递减.………………11分下面证明结论：当时，.（）设，，则.故在单调递增.所以当时，，即.因为，，（利用结论（））.所以，使得.………………13分由（Ⅱ），知当时，.所以，即.又因为，函数在上单调递增，所以，即.………………15分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）答案不唯一.如.………………3分（Ⅱ）由题意，中共有个元素，故最多能选出个两两交集为空集的三元子集.………………5分将中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组，第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于；同理，所有第二个分量、第三个的分量、……的和均等于.………………7分假设由题意，每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数.故中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为.这与矛盾.以在的子集中，不可能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集.………………9分（Ⅲ）记，其中为偶数.不妨设时有意义.当时，的三元子集只有一个，且具有.……10分所以在中最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集.记中具有性质的三元子集为.当时，中有个元素，故最多有个两两交集为空集的三元子集.因为的子集，，，和为两两交集为空集，的三元子集（共个），所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的