2026年高考数学终极冲刺：培优专题03 空间向量与立体几何 7大重难题型（大题专练）（原卷版）

9/24培优专题03空间向量与立体几何7大重难题型💎💎题型01空间线面平行、垂直关系的证明命题方向一空间几何体的平行关系的证明命题方向二空间几何体的垂直关系的证明💎题型02空间几何体中空间角问题命题方向一空间几何体的线线角命题方向二空间几何体的线面角命题方向三空间几何体的面面角💎题型03空间几何体的距离、体积问题命题方向一空间几何体中点到线的距离命题方向二空间几何体中线到面的距离命题方向三空间几何体中的体积问题💎题型04立体几何中的探索与最值问题命题方向一立体几何中的最值问题命题方向二立体几何中的存在、探索问题💎题型05空间几何体的折叠与展开问题💎题型06立体几何的截面问题💎题型07与球相关的立体几何创新问题题型01空间线面平行、垂直关系的证明抓关键·破难点关系类型核心证明思路关键步骤常用辅助线/性质线面平行找平面内的平行线→证平行→用判定定理①在平面内找/作与已知直线平行的直线②证明两直线平行③由线面平行判定定理得结论三角形中位线、平行四边形、相似三角形（线段成比例）面面平行证一个平面内两条相交直线都平行于另一平面①在一个平面内找两条相交直线②分别证明它们平行于另一平面③由面面平行判定定理得结论线面平行判定、平行公理线线垂直证夹角为90°或利用线面垂直性质①证两线夹角为90°（勾股逆定理、等腰三线合一等）②或证一线垂直于过另一线的平面③由垂直定义或线面垂直性质得结论勾股逆定理、等腰三角形三线合一、菱形对角线、直径所对圆周角线面垂直证直线垂直于平面内两条相交直线①在平面内找两条相交直线②证明已知直线分别与它们垂直③由线面垂直判定定理得结论线线垂直、面面垂直性质面面垂直证一个平面内的直线垂直于另一平面①在一个平面内找一条直线②证明它垂直于另一平面③由面面垂直判定定理得结论线面垂直判定刷经典·通方法🎯命题方向一空间几何体的平行关系的证明1.（2026·山东临沂一模）如图，多面体中，四边形为正方形，四边形为矩形，，为的中点.（1）求证：平面；（2）当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值.2．（2026·湖北孝感·二模）如图：正八面体可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体．（1）证明：平面平面；（2）若，点为棱上的动点，则直线与平面所成的角的正弦值的范围．🎯命题方向二空间几何体的垂直关系的证明3.（2026·福建名校联盟3月·模拟）如图，在三棱锥中，与均为等边三角形，平面平面，D是的中点，E是上的动点．（1）证明：；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．4.（2026·江苏省南京市栖霞区名校联盟·一模）如图，在四棱锥中，，为的中点，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.5.（2026·山东德州·一模）如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且.（1）证明：平面平面；（2）当时，求平面与平面所成角的正弦值.题型02空间几何体中空间角问题抓关键·破难点一、异面直线所成的夹角：1.平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．2.向量法：设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：①②二、线面角：定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．范围：1.常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；2.向量法：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则．三、求立体几何中的面面角的求法：1.定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．2.垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．3.向量法设是二面角的两个半平面的法向量，若二面角为锐二面角（取正），则；若二面角为钝二面角（取负），则；（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）4.三垂线法在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：①找点做面的垂线；即过点，作于；②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；③计算：为二面角的平面角，在中解三角形．图1图2图35.射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；6.补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用射影面积法解题．刷经典·通方法🎯命题方向一空间几何体的线线角1．（2026·山东济宁模拟·预测）如图，直四棱柱的下底面为菱形，，是上底面内两个不同的动点．（1）若为正方体，为上底面的中心，求异面直线与所成角的余弦值；（2）若恰好是二面角的平面角．证明：在动点运动过程中，三棱锥的体积保持不变．2．（2026·海南模拟预测）如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，、分别为、的中点．（1）证明：平面；（2）求异面直线与夹角的余弦值．🎯命题方向二空间几何体的线面角3.（2026·河北唐山·一模）如图，在三棱锥中，，，D是的中点.（1）证明：平面平面；（2）若，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.4.（2026浙江强基联盟·联考）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．（1）求证：平面；（2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值．5.（2026·甘肃陇南康县第一中学等三校·一模）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面．（1）求证：；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．6.（2026·齐齐哈尔·一模）如图，线段为圆锥底面的直径，点为线段的中点，点是以为直径的圆上除外的一个动点，，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.🎯命题方向三空间几何体的面面角7.（2026·浙江强基联盟·联考）如图，在三棱锥中，平面，，，E为的中点．（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值．8.（2026·黑龙江哈尔滨第三中学·一模）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，G，F分别是线段，的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，，，且平面与平面夹角余弦值为，求的长.9.（2026·黑龙江实验中学高三联合·模拟）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．（1）证明：；（2）若是边长为2的等边三角形，三棱锥的体积为，点在棱上，，求二面角的大小．10.（2026·江苏扬州市第一次·调研）如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，AB为底面直径，四边形POBC是梯形，且，，，D为圆O上一点．（1）若点M在线段AD上，且，求证：∥平面CDB；（2）当直线PD与平面PAB所成的角为30°时，求二面角的正弦值．11.（2026·陕西榆林·一模）如图，直四棱柱内接于圆柱，且底面为矩形，B是圆柱底面圆O的圆周上一动点，AC是圆O的直径，且，E是AB的中点，Q是的中点．（1）证明：平面；（2）设，求平面与平面ABC的夹角的正弦值.（用表示）题型03空间几何体的距离、体积问题抓关键·破难点一、求立体几何中点到线的距离:已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：二、求立体几何中线到面的距离：如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.三、立体几何中常见的求体积的方法：（1）公式法；（2）割补法；（3）等体积法.刷经典·通方法🎯命题方向一空间几何体中点到线的距离1．（2026·江西吉安高三期末·检测）如图，已知正三棱柱中，，点为的中点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.2．（2026·宁夏银川市三校第一次·联考）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.🎯命题方向二空间几何体中线到面的距离3．（2026·福建泉州质量检测）如图，四棱台中，底面是边长为4的菱形，，．（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）若该四棱台的体积等于，且，求直线到平面的距离．🎯命题方向三空间几何体中的体积问题4．（2026·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，平面平面，，，是等边三角形，O，M分别为线段AB，PB的中点，且，．（1）求证：平面；（2）求多面体的体积．5．（2026·福建福州模拟·预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，平面，点为中点，点，分别在棱，上，且，.（1）证明：；（2）记三棱锥与四棱锥的体积分别为，，求；（3）若，求直线与平面所成角的正弦值.6.（2026·湖北武汉3月·调研）如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面.（1）求的长；（2）求三棱锥的体积；（3）求直线与平面所成角的正弦值.题型04立体几何中的探索与最值问题抓关键·破难点一、立体几何中的最值问题第①步：转化空间为平面（1）求最短路径时，将几何体侧面展开成平面图形，利用两点之间线段最短求解；（2）求点到线或点到面的距离时，利用垂线段最短结合线面垂直性质求解.第②步：建立函数求最值（1）建立空间直角坐标系，设动点坐标，把线段长、面积、体积等几何量表示为函数；（2）利用二次函数或基本不等式等方法求函数最值.第③步：验证几何合理性确认最值对应的点、线、面位置在几何体内部，符合题意.二、立体几何中的存在、探索问题第①步：假设存在，设参数假设满足条件的点、线或面存在，设出未知参数，如线段比例或坐标参数.第②步：推理论证，列方程利用平行或垂直的判定定理，或向量法，将条件转化为方程或方程组.第③步：解方程，下结论若方程有解且参数在合理范围，则存在；若无解或参数超出范围，则不存在.刷经典·通方法🎯命题方向一立体几何中的最值问题1．（2026·湖南邵阳·三模）如图，圆台的下底面的内接正方形的边长为4，是上底面圆周上的一点，且满足，．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的外接球的表面积；（3）是的中点，是上底面圆周上的一点，求异面直线与所成角的余弦值的最大值．2.（2026·江苏南京市中华中学模拟·预测）如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面（1）证明：；（2）若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值．🎯命题方向二立体几何中的存在、探索问题3．（2026·广东茂名·一模）如图，在四棱锥中，平面分别为的中点.（1）证明：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，请说明理由.4．（2026·云南红河州模拟·预测）如图，在五面体中，，，，为等边三角形，平面平面．（1）证明：直线平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）设点为线段上一动点，请从以下两个条件中任选一个作答．①；②；是否存在满足所选条件的点，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．5.（2026·宁夏青铜峡一模）如图，在四棱柱中，侧棱底面，.（1）证明：平面；（2）设点为的中点，点在CE上.（i）判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出此定值：若否，说明理由；（ii）当的面积最小时，求平面ADM与平面ABCD夹角的余弦值.题型05空间几何体的折叠与展开问题抓关键·破难点立体几何中的折叠与展开问题立体几何中的折叠与展开问题是高考的一个重要命题点，题目比较灵活，主要考查逻辑推理与直观想象等核心素养，解决这类问题要重视转化思想，关键在于掌握以下两个解题策略。确定翻折前后的“变与不变”量画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的“变与不变”量.一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化。对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决确定翻折前后关键点的位置所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点。因为这些点的位置移动，会带动与其相关的点、线、面的关系变化。只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的计算与证明刷经典·通方法1．（2025·全国高考二卷）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．（1）证明：平面；（2）求面与面所成的二面角的正弦值．2.（2026·江苏南京市六合区名校联盟第一次·调研）在矩形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，得到如图所示的四棱锥．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．3.（2026·甘肃省·一模）如图（1），正方形的边长为分别是边的中点，将，分别沿折起，使得三点重合于点得到图（2）.（1）证明：；（2）三棱锥的外接球的球心为，求平面与平面所成角的余弦值.4.（2026·东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学第一次联合·模拟）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使，存在动点使，如图所示．（1）求证：平面平面；（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值；（3）设直线与平面所成角为，当取得最大值时，求三棱锥的体积．5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟）如图，在高为6的直三棱柱中，底面的周长为分别为棱，上的动点.（1）若，证明：平面.（2）求的最小值.（3）若，求平面与底面夹角的余弦值的最大值.题型06立体几何的截面问题抓关键·破难点【核心思路】截面问题的本质是平面与几何体的交线问题，核心是通过上述方法确定所有交点，再连线成图，最终将截面问题转化为平面几何的边长、面积等计算问题。1.直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程.2.延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.3.平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线.刷经典·通方法1.（2026·陕西西安·一模）如图，正方体的棱长为2，点是棱上的动点.（1）求三棱锥的体积；（2）当为中点时，求过点且与垂直的平面截正方体的截面面积.2．（2025·湖南娄底·二模）如图，长方体中，，，，E，F分别为棱AB，的中点．（1）过点C，E，F的平面截该长方体所得的截面多边形记为S，求S的周长；（2）设T为线段上一点，当平面平面时，求平面TCF与平面CEF夹角的余弦值．3．（2026·河北沧州模拟·预测）如图，四棱锥中，平面平面，．设中点为，过点的平面同时垂直于平面与平面．（1）求（2）求平面与平面夹角的正弦值；（3）求平面截四棱锥所得多边形的周长．题型07与球相关的立体几何创新问题抓关键·破难点一、核心考点与方法：（1）外接球与内切球的计算解答题中常以棱柱、棱锥为载体，要求计算外接球，内切球的表面积、体积.外接球：优先通过补形法（补成长方体或正方体）或确定球心位置（外心连线中点、垂面法），结合勾股定理（R为球半径，d为球心到截面距离，r为截面圆半径）求解.内切球：核心是等体积法，通过已知几何体体积和表面积求内切球半径r.（2）球面距离与截面问题球面距离：转化为球心角，利用弧长公式（θ为弧度制），结合余弦定理求弦长或球心角.截面问题：球心与截面圆心连线垂直于截面，通过勾股定理建立截面圆半径、球半径、球心到截面距离的关系，求解截面面积、最值等。（3）空间角与位置关系综合结合线面角、二面角考查，需先确定球心与截面位置，再利用线面垂直、面面垂直性质，将角度问题转化为平面内的直角三角形求解。创新设问：如球面上动点的轨迹、角度最值、距离最值，本质是球的几何性质与函数最值的结合，可通过参数化或几何直观分析。二、解答题答题逻辑：定位球心：明确外接球、内切球的球心位置，说明依据（如补形、外心性质、等距性）。建立关系：利用勾股定理、等体积法或球面几何公式，列出关于球半径R的方程。计算求解：解方程得半径，进而计算表面积、体积或其他几何量。综合分析：若涉及角度、最值，需结合立体几何位置关系或函数单调性，给出结论与范围。刷经典·通方法1．（2025·全国高考一卷）如图,在四棱锥中，底面，．（1）证