第一章 1.2　常用逻辑用语 （教学课件）2027高考数学一轮总复习

第一章集合、常用逻辑用语与不等式1.2常用逻辑用语2027高考数学一轮总复习内容索引必备知识回顾课时作业关键能力提升考试要求三年考情1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义,理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词与存在量词的意义,能正确使用存在(或全称)量词对全称(或存在)量词命题进行否定.202320242025新课标Ⅰ卷T7

新课标Ⅱ卷T2

必备知识回顾1.充分条件、必要条件与充要条件的概念知识梳理若p⇒q,则p是q的____条件,q是p的____条件p是q的__________条件p⇒q且q⇒pp是q的__________条件p⇒q且q⇒pp是q的____条件p⇔qp是q的________________条件p⇒q且q⇒p充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要2.全称量词与存在量词(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“__”表示.(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“__”表示.∀∃3.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立简记____________________

________________否定∃x∈M,¬p(x)__________,

¬p(x)∀x∈M,p(x)∀x∈M,p(x)∀x∈M1.注意区分“A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)”与“A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)”两者的不同.2.充要关系与集合基本关系之间的联系设非空集合A={x|p(x)},B={x|q(x)}.(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.(3)若A=B,则p是q的充要条件.知识拓展3.p是q的充分不必要条件等价于¬q是¬p的充分不必要条件.4.含有量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.5.对省略了全称量词的命题否定时,要对原命题先加上全称量词再对其否定.6.命题p和¬p的真假性相反,当判断一个命题的真假有困难时,可判断此命题的否定的真假.

基础检测√√√×2.(人教A版必修第一册P30例4(1)改编)命题“∀x∈R,使得(x-1)2≥0”的否定形式是

(

)A.∀x∈R,使得(x-1)2<0B.∀x∈R,使得(x-1)2≤0C.∃x∈R,使得(x-1)2<0D.∃x∈R,使得(x-1)2≤0C解析:因为原命题是“∀x∈R,使得(x-1)2≥0”,所以其否定形式应该把全称量词“∀”改为存在量词“∃”,把(x-1)2≥0改为(x-1)2<0,所以命题“∀x∈R,使得(x-1)2≥0”的否定形式是“∃x∈R,使得(x-1)2<0”.故选C.3.(人教A版必修第一册P22习题1.4T2改编)“ab=0”是“a2+b2=0”的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:显然a2+b2=0,则a=0,b=0,有ab=0,即a2+b2=0⇒ab=0,而ab=0,取a=0,b=1,a2+b2≠0,则ab=0不能推出a2+b2=0.故“ab=0”是“a2+b2=0”的必要不充分条件.故选B.B4.若“x=1”是“x>a”的充分条件,则实数a的取值范围为

.解析:∵“x=1”是“x>a”的充分条件,∴x=1⇒x>a,∴a<1,即实数a的取值范围为(-∞,1).(-∞,1)关键能力提升考点1

充分、必要条件的判断【例1】(1)(2025·天津卷)已知x∈R,则“x=0”是“sin2x=0”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】

由x=0⇒sin

2x=sin

0=0,则“x=0”是“sin

2x=0”的充分条件;当x=π时,sin

2x=sin

2π=0,可知sin

2x=0x=0,故“x=0”不是“sin

2x=0”的必要条件.综上可知,“x=0”是“sin

2x=0”的充分不必要条件.故选A.A(2)(多选)下列条件中可以作为“0≤a<1”的一个必要不充分条件的是(

)A.-1<a≤1 B.0<a<1C.0≤a≤3 D.a<1或a>3【解析】

设该条件所表示的集合为M,因为其是“0≤a<1”的一个必要不充分条件,所以{a|0≤a<1}⫋M.对于A,C,D,可知{a|0≤a<1}⫋M,故A,C,D正确;对于B,可知M⫋{a|0≤a<1},故B错误.故选ACD.ACD充分、必要条件的两种常用判断方法(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p是否成立进行判断.(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.规律总结【对点训练1】(1)(2025·山东聊城三模)“a<b”是“lna<lnb”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若ln

a<ln

b,根据对数函数的性质,可得b>a>0,必要性成立;若a<b<0,则ln

a<ln

b不成立,充分性不成立.故“a<b”是“ln

a<ln

b”的必要不充分条件.故选B.B

D考点2

根据充分、必要条件求参数【例2】非空集合A={x|x2+(a+2)x+2a<0},B={x|x2+2x-3<0},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是

(

)A.{a|-1≤a<2或2<a≤3}B.{a|-1≤a<2}C.{a|2<a≤3}D.{a|a>2}A【解析】B={x|x2+2x-3<0}={x|-3<x<1},A={x|x2+(a+2)x+2a<0}={x|(x+a)(x+2)<0}.因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A是B的真子集.当a<2时,A={x|-2<x<-a},则-2<-a≤1,即-1≤a<2;当a=2时,A=⌀,不符合题意;当a>2时,A={x|-a<x<-2},则-3≤-a<-2,即2<a≤3.综上,实数a的取值范围是{a|-1≤a<2或2<a≤3}.故选A.由充分、必要条件求参数范围的策略(1)巧用转化求参数:把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系,然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解,注意条件的等价变形.(2)端点值慎取舍:在求参数范围时,要注意对取值区间端点值的检验,从而确定取舍.规律总结

A考点3

全称量词与存在量词命题角度1

含量词命题的否定及真假判断【例3】

(2026·陕西西安模拟)若p:∀x>0,lnx+x2+2>0,则

(

)A.p是真命题,且¬p:∃x>0,lnx+x2+2≤0B.p是真命题,且¬p:∃x≤0,lnx+x2+2≤0C.p是假命题,且¬p:∃x>0,lnx+x2+2≤0D.p是假命题,且¬p:∃x≤0,lnx+x2+2≤0C

(1,+∞)含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题,需证明所有情况都成立;要判定存在量词命题是真命题,只要找到一种情况成立即可.当一个命题的真假不易判断时,可以先判断其否定的真假.(2)由命题真假求参数的范围,可直接求参数的范围,也可利用等价命题求参数的范围.规律总结【对点训练3】(1)(2025·湖北宜昌二模)已知命题p:∀x∈R,|1-x|≤1,命题q:∃x>0,x2>2x,则

(

)A.p和q都是真命题B.¬p和q都是真命题C.p和¬q都是真命题D.¬p和¬q都是真命题解析:对于命题p,不妨取x=3,则|1-3|>1,则命题p是假命题,命题¬p是真命题;对于命题q,不妨取x=3,由9>8,得命题q是真命题,命题¬q是假命题.因此,¬p和q都是真命题.故选B.B(2)命题“∀x∈(1,2),x2-a>0”为真命题的一个必要不充分条件是(

)A.a≤1 B.a<1C.a<0 D.a<2解析:因为x2-a>0,所以x2>a,又x∈(1,2),所以x2∈(1,4),所以a≤1(易错:忘记取等号),只有D满足{a|a≤1}是{a|a<2}的真子集,所以命题“∀x∈(1,2),x2-a>0”为真命题的一个必要不充分条件是“a<2”.故选D.(3)若命题p:∃x∈Q,|x|+x>0,则该命题的否定是

.解析:由存在量词命题的否定可知,¬p:∀x∈Q,|x|+x≤0.D∀x∈Q,|x|+x≤0B高考真题教材典题1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x.则

(

)A.p和q都是真命题B.¬p和q都是真命题C.p和¬q都是真命题D.¬p和¬q都是真命题解析:对于命题p,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题,¬p是真命题;对于命题q,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题,¬q是假命题.综上,¬p和q都是真命题.故选B.考教衔接C解析:因为a3=b3和3a=3b都当且仅当a=b时等号成立,所以二者互为充要条件.故选C.高考真题教材典题2.(2024·天津卷)已知a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的

(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(人教A版必修第一册P22习题1.4T2)在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答):(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;(2)p:一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根,q:b2-4ac≥0(a≠0);(3)p:a∈P∩Q,q:a∈P;(4)p:a∈P∪Q,q:a∈P;(5)p:x>y,q:x2>y2.课时作业21.(5分)命题“∃x∈R,x2<1”的否定是(

)A.∀x∈R,x2≥1 B.∀x∈R,x2<1C.∃x∈R,x2≥1 D.∃x∈R,x2>1解析:命题“∃x∈R,x2<1”的否定是“∀x∈R,x2≥1”.故选A.基础巩固A

B

C

A5.(5分)《墨经》上说:“小故,有之不必然,无之必不然.体也,若有端.大故,有之必然,若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想,则文中的“小故”指的是逻辑中的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由“小故,有之不必然,无之必不然”知“小故”是逻辑中的必要不充分条件.故选B.B6.(5分)已知a,b∈R,则“a2>b2”是“a3>b3”的

(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由a2>b2得|a|>|b|,由a3>b3得a>b.当a=-2,b=1时,满足|a|>|b|,但不满足a>b;当a=-2,b=-3时,满足a>b,但不满足|a|>|b|.故“a2>b2”是“a3>b3”的既不充分也不必要条件.故选D.D7.(5分)(2026·甘肃白银模拟)使不等式x2+3≤4x成立的一个充分不必要条件为(

)A.1≤x≤3 B.0≤x≤3C.x>3 D.1<x<3解析:解不等式x2+3≤4x,可得1≤x≤3,则使不等式x2+3≤4x成立的一个充分不必要条件必须为{x|1≤x≤3}的真子集,排除A,B,C.因为由1<x<3可推得1≤x≤3,由1≤x≤3不能推得1<x<3,所以使不等式x2+3≤4x成立的一个充分不必要条件为1<x<3.故选D.D

B9.(6分,多选)下列命题的否定中,是真命题的有

(

)A.某些平行四边形是菱形B.∃x∈R,x2-3x+3<0C.∀x∈R,|x|+x2≥0D.∀a∈R,x2-ax+1=0有实数解解析:对于A,某些平行四边形是菱形,是真命题,则其否定是假命题,故A错误;对于B,因为Δ=9-12=-3<0,所以原命题是假命题,则其否定是真命题,故B正确;对于C,∀x∈R,|x|+x2≥0,是真命题,则其否定是假命题,故C错误;对于D,只有Δ=a2-4≥0,即a≤-2或a≥2时,x2-ax+1=0才有实数解,是假命题,则其否定是真命题,故D正确.故选BD.BD10.(6分,多选)已知p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,则(

)A.p是q的充分条件B.p是s的必