第一章 1.3　等式性质与不等式性质 （教学课件）2027高考数学一轮总复习

第一章集合、常用逻辑用语与不等式1.3等式性质与不等式性质2027高考数学一轮总复习内容索引必备知识回顾课时作业关键能力提升考试要求三年考情1.理解用作差法、作商法比较两个实数大小的理论依据,会比较两个实数的大小.2.掌握等式的基本性质.3.理解不等式的概念,掌握不等式的性质及其简单应用.202320242025

必备知识回顾1.比较实数a,b大小的基本事实(1)作差法①a-b>0⇔a__b;②a-b=0⇔a__b;③a-b<0⇔a__b.知识梳理>=<

>=<2.等式的基本性质(1)对称性:a=b⇔______.(2)传递性:a=b,b=c⇒______.(3)可加(减)性:a=b⇔a±c=b±c.(4)可乘性:a=b⇒ac=bc.(5)可除性:a=b,c≠0⇔_____

.b=aa=c

3.不等式的性质性质性质内容注意对称性a>b⇔______;a<b⇔______可逆传递性a>b,b>c⇒______;a<b,b<c⇒______同向可加性a>b⇔a+c>b+c可逆可乘性a>b,c>0⇒__________;a>b,c<0⇒__________c的符号同向可加性a>b,c>d⇒______________同向b<ab>aa>ca<cac>bcac<bca+c<b+d性质性质内容注意同向同正可乘性a>b>0,c>d>0⇒__________同向,同正可乘方性a>b>0,n∈N,n≥2⇒an>bn同正可开方性同正ac>bd

知识拓展

基础检测√×××

ABD

>M>N关键能力提升

A

A比较大小的常用方法(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.注意:使用作商法的前提是明确两个式子同号(通常同为正).若符号不确定,应优先选用作差法.规律总结【对点训练1】

(1)已知M=4x2+9y2+1,N=4x-6y-2,则(

)A.M>NB.M<NC.M=ND.M,N的大小与x,y的取值有关解析:M-N(提示:均为多项式,考虑作差法)=4x2+9y2+1-(4x-6y-2)=(2x-1)2+(3y+1)2+1>0,故M-N>0,即M>N.故选A.A

B

BC

AD

判断不等式正误的常用方法(1)直接利用不等式的性质逐个验证,要特别注意应用性质的前提.(2)利用特殊值排除法.(3)作差法、作商法(注意前提).(4)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.注意:不等式的性质是学习函数单调性证明、基本不等式、导数应用的基石.规律总结

ABD(2)(多选)(2025·山东济南二模)已知实数a,b满足a>|b+1|,则下列不等式一定成立的是(

)A.2a>2b+1 B.a2>4bC.a2>b2+1 D.a2>b|b+1|解析:对于A,因为a>|b+1|≥b+1,所以a>b+1,所以2a>2b+1,故A正确;对于B,因为(b+1)2-4b=(b-1)2≥0,所以(b+1)2≥4b,因为a>|b+1|≥0,所以a2>(b+1)2≥4b,故B正确;对于C,若a=2,b=-2,则满足a>|b+1|,显然a2>b2+1不成立,故C错误;对于D,若b+1≤1,则b≤0,必有a2>0≥b|b+1|,若b+1>1,则b>0,故a>b+1>b>0,必有a2>b|b+1|,故D正确.故选ABD.ABD

C

利用不等式的性质求代数式取值范围的注意点一是必须严格运用不等式的性质.二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围,解决这个问题的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.规律总结

[-7,2]

创新解读课时作业31.(5分)若a=x2+5x+6,b=(x+1)(x+4),则

(

)A.a>b

B.a<bC.a=b

D.a,b的大小关系无法确定解析:由题意知b=(x+1)(x+4)=x2+5x+4,因为a-b=x2+5x+6-(x2+5x+4)=2>0,所以a>b.故选A.基础巩固A

D

3.(5分)若1<a<3,-4<b<2,则a-|b|的取值范围是

(

)A.(-3,3] B.(-3,5)C.(-3,3) D.(1,4)解析:由题意知0≤|b|<4,则-4<-|b|≤0.又1<a<3,所以-3<a-|b|<3.故选C.C

B

D6.(5分)(2025·浙江杭州二模)已知A∈R,ε为任意正数,若|A-6|≤ε恒成立,则(

)A.A=6 B.A=±6C.A>6 D.A<6解析:因为对任意的正数ε,|A-6|≤ε恒成立,所以|A-6|≤0,又|A-6|≥0,所以|A-6|=0,所以A=6.故选A.A

D8.(5分)(2026·北京丰台区一模)已知a<b,c<d,则下列不等式恒成立的是(

)A.a-c<b-d B.ac<bdC.2a+2c<2b+2d D.a2+c2<b2+d2解析:对于A,取a=1,b=2,c=3,d=4,则a-c=-2,b-d=-2,显然-2<-2不成立,故A错误;对于B,取a=-2,b=-1,c=-3,d=-2,则ac=6,bd=2,显然6<2不成立,故B错误;对于C,因为指数函数y=2x是增函数,a<b,c<d,所以2a<2b,2c<2d,因此2a+2c<2b+2d恒成立,故C正确;对于D,取a=-3,b=2,c=-4,d=1,则a2+c2=25,b2+d2=5,显然25<5不成立,故D错误.故选C.C

ABD

10.(8分,多选)已知-1≤a≤3,1≤b≤2,则以下不等关系正确的是(

)A.-1≤ab≤6B.0≤a+b≤5C.-2≤a-b≤1D.(a+1)(b-1)≤4解析:对于A,∵a∈[-1,3],b∈[1,2],∴ab∈[-2,6],故A错误;对于B,∵a∈[-1,3],b∈[1,2],∴a+b∈[0,5],故B正确;对于C,∵a∈[-1,3],-b∈[-2,-1],∴a-b∈[-3,2],故C错误;对于D,∵a+1∈[0,4],b-1∈[0,1],∴(a+1)(b-1)∈[0,4],故D正确.故选BD.BD

BD

>

3

1,-1(答案不唯一)

素养提升M>N16.(6分)(一题多解)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x>y>z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是(

)A.ax+by+cz B.az+by+cxC.ay+bz+cx D.ay+bx+czA创新训练（多想少算）解析:方法一ax+by+cz-(az+by+cx)=a(x-z)+c(z-x)=(a-c)(x-z).∵x>y>z,a<b<c,∴a-c<0,x-z>0,∴ax+by+cz<az+by+cx.同理,ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+c(x-z)=(b-c)(z-x)>0,∴ay+bz+cx>ay+bx+cz,故只需再比较ax+by+cz与ay+bx+cz的大小即可.ax+by+cz-(ay+bx+cz)=a(x-y)+b(