2025-2026学年广东省深圳南方科技大学附属中学高三下册数学3月30日第一次 含答案

/2025-2026学年春季学期高三年级第一次教学诊断数学试卷一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设x∈R,则“sinx=0”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.已知复数z=2+i20261−A.12B.12iC.3.若函数fx=1−4ax+1,xA.14,1B.0,4.设an是等比数列,且a1+a2A.12B.24C.30D.325.在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在正方体内(包含边界)运动.若直线A1P与DCA.π4B.π2C.36.若不等式ax−1x−b≥0对任意的xA.22B.4C.5D.7.如图1的“方斗”古时候常作为一种容器,有如图2的方斗杯,其形状是一个上大下小的正四棱台,AB=10,A1图1图2A.148B.18509C.67348.已知函数gx=a−x21e≤x≤e,e为自然对数的底数)的图象上存在2个点A1、A2分别与hxA.1,1e2+2二、多选题:本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的是()A.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩(单位:环)下:6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8B.若随机变量X∼B100,p,且C.若随机变量X∼Nμ,σ2,且D.对一组样本数据x1,y1,x10.已知函数fx=A.y=xe−C.当x>0时,fxf1x≥e4D.曲线11.数学中有许多寓意美好的曲线,曲线C:x2+y23=16x2y2被称为“四叶玫瑰线”A.曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2B.曲线C经过5个整点(即横纵坐标均为整数的点)C.存在一个以原点为中心、边长为22的正方形，使曲线CD.y0的最大值为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量X∼N2,4，且PX13.已知数列an的前n项和Sn=n2+n,当14.如图:在△ABC中，M，N，P三点分别在边AB，BC，CA上，则△AMP，△BMN，△CNP的外接圆交于一点Q，称点Q为密克点.运用上述结论解决如下问题:在梯形ABCD中，∠B=∠C=60∘，AB=4，AD=2，M为CD边的中点，动点P在BC边上，△ABP与△CMP的外接圆交于点Q15.(本小题13分)已知函数fx=(1)求fx(2)若α∈π4,π2，且sin16.(本小题15分)如图，△ABC内接于圆O,AB为圆O的直径，CD⊥平面ABC,E为线段AD中点.(1)求证:平面BCE(2)若AB=5,BC=1,CD=217.(本小题15分)已知函数fx(1)若a=2,求fx在(2)若函数gx=fx−fπ2+x18.(本小题17分)某学校为丰富学生活动,积极开展乒乓球选修课,甲乙两同学进行乒乓球训练,已知甲第一局赢的概率为12,前一局赢后下一局继续赢的概率为35,前一局输后下一局赢的概率为23,如此重复进行.记甲同学第i局赢的概率为(1)求乙同学第2局赢的概率;(2)求Pl(3)若存在i，使epi−lnPi+19.(本小题17分)如图所示,由椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0和抛物线C2:y2=2pxp>(1)求“等差椭圆”的离心率;(2)在“七星瓢虫曲线”Γ中，若C1是“等差椭圆”，且a(i)求与C1和C2(ii)直线l:y=kx+mkm=2,且l与C1相交所得弦的中点为M,与C2相交所得弦的中点为N,2025-2026学年春季学期高三年级第一次教学诊断数学答案一、选择题题号1234567891011答案BACDBBDABCACAD二、填空题12.60_____；13.314.271.【正确答案】B当sinx=0时,可得x=kπ,k∈Z,所以coskπ=±1,故充分性不成立;当cosx=1时,可得x=2kπ,k∈2.【正确答案】A复数z=2+i20261−i3.【正确答案】C依题意可得1−4a<00<a<4.【正确答案】D∵a1+a2+a3=1,a2+a5.【正确答案】B由题意,在正方体ABCD−A1B1直线A1P与DC所成角为π6,即直线A1P与直线A故线段A1P所扫过的区域是高为3，底面半径为1，母线长为即线段A1P所扫过的区域的面积为14×π6.【正确答案】B当a=0时,−x−b≥0不可能对任意的x∈R恒成立,不满足要求,当a<0时,y=ax−1x−b开口向下,不满足题意,所以a>0,令ax−1x−b=0,得x1=1a,x2=b,当所以4a+b的最小值为4.故选:7.【正确答案】D设线段AA1,BB1,CC1DD1的中点分别为A2,B2,C设棱台A1B1C1D1−A则棱台A1B1C1D1−ABCD则V1所以VV1=392h3148h3=988.【正确答案】A设Mx0,2lnx0是且Mx0,2lnx0关于x轴对称点坐标为由题意得,−2lnx0=a令fx=x2−当x∈1e,1当x∈(1,e]时,所以fxx02−2lnx0=a1所以f1<a≤f1e9.【正确答案】BCA选项,排序得5,5,6,6,7,7,8,9,9,9,第70百分位数为8+92=8.5B选项，EX=100p=20，得p=15C选项，PX>4=PX<−2=p，则μ=1，故P−2≤X≤1=12P−10.【正确答案】AC因为xe−2xfx=x3因为f′x=2x2+2xe当x>0时,fxf1x=e2x设gx=f−xfx=x所以曲线y=f−xfx在点−1,1处的切线方程为y=−411.【正确答案】AD对于A,不妨设点Px0,y0则x02+y0当且仅当x0=y0时取等号,于是OP2故可得曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2,故A正确；对于B,由A可知0≤当x2=0,y2=0时,代入x2当x2=0,y2=1时,x2+当x2=1,y2=0时,x2+当x2=4,y2=0时,x2+y23=16x对于C,由A选项可知,包含该曲线且以原点为圆心的最小圆的半径为2,边长为22正方形ABCD是以原点为圆心2故不存在一个以原点为中心、边长为22的正方形，使曲线C在此正方形区域内(含边界)，故C对于D,如图,P点在射线y=x则可设x2代入x2+y23令cosθ=t0<t<22当0<t<33时,y′t>0,yt所以t=33是yt的最大值点,即ytmax故选:AD.12.【正确答案】60正态分布N2,4的均值μ=2而PX<0=PX>a,由对称性可知a=4,得令6−3r=0,解得r=213.【正确答案】3【分析】本题考查数列的前n项和及Sn与an利用Sn和an的关系求an,得因为数列an的前n项和S当n=1时,a1=S1=2,当n≥2当且仅当n=9n,即n=3时取等号,故当S故答案为:3.14.【正确答案】2延长BA,CD交于点E,则由题可知△EBC为正三角形，由题设结论△ABP,△该公共点即为题中的点Q,故点Q在△AME如上图,又由题可知AD=MD=DE=2,即D为△AME的外心,且在△ABD中，由余弦定理BD=27，所以BQ故答案为:2715.【正确答案】(1)由函数图象可知,A=2,11π又fπ6=2,所以2×由φ<π2,可得φ=π令2x+π6∈所以fx的单调递增区间为−(2)因为α∈π4,π2所以fα16.【正确答案】(l)证明:因为△ABC内接于圆O，AB为圆O的直径，所以AC⊥因为CD⊥平面ABC,BC⊂平面ABC又AC,CD⊂平面ACD,AC∩CD=C因为BC⊂平面BCE,所以平面BCE⊥平面(2)因为CD⊥平面ABC,AC和BC⊂平面ABC,所以以C为坐标原点,CA,CB,CD所在直线为建立如图所示的空间直角坐标系,因为AB=5,BC=1则A2,0,0，B0,1,0所以CE=设平面BCE的法向量m=x1,y1,z1不妨设z1=1,则所以平面BCE的一个法向量m=又BD=设平面BDE的法向量n=x2,y2,z2不妨设z2=1,则所以平面BDE的一个法向量n=3,23,即平面BCE与平面BDE所成锐二面角的余弦值为1417.【正确答案】(1)当a=2时,由f′x=4sinxcosx−2cosx=4x0ππππ55f-0+0-0+f单调递减单调递增0单调递减单调递增所以当x=π2时,fx2=−a当x∈0,π时,由gx=0,得其中sinx+cosx=2sinx+π当a<−2或a>22时,方程sinx当a=22时,方程gx=0只有一解且为x当2≤a<22时,方程sinx+cosx=a当−2≤a<2时,方程sinx+cosx=a综上:当a<−2或a≥22当2≤a<22当−2≤a<218.【正确答案】(1)由题意甲同学第2局赢的概率为P2所以乙同学第2局赢的概率为P=(2)由已知i≥2时，P所以Pt−58=−所以数列Pt−58是首项为−18所以Pt−58=(3)ePi−lnPi+1+k≥0即易知f′x是减函数,f′0=0,所以x显然Pi>0i∈N∗,因此要求又Pti为偶数时,Pt=58+i为奇数时,Pi=58−所以P2=1930是Pi又因为−2<ln1+1930−本题主要考查了通过条件概率公式、对立事件概率公式等确定概率的递推关系,等比数列的应用,利用导数求解单调性和最值问题,属于较难题.(1)先求出甲同学第2局赢的概率，再通过对立事件的概率公式求解即可;(2)由已知i≥2时,Pt=35Pt−1+231(3)ePi−lnPi+1+k≥19.【正确答案】(l)设椭圆C1:x2a2+y2b2=1的半焦距为c，因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列，所以2b=a+c,又a2=b2+c2,所以a(2)(i)若C1是“等差椭圆”，且a=5，则由e=c则