2025-2026学年辽宁名校联盟高三下册数学4月联考 含答案

/高三数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合P={x∈NA.{1,2}B.{2.已知复数z=21−iA.−2iB.3.已知椭圆C的长半轴长等于其短轴长,则C的离心率为A.13B.12C.24.已知4a=A.c<aC.a<c5.不等式x−2A.{x∣x<1或x≥C.x 1<6.已知某校4000名学生的体能测试得分X(单位:分)服从正态分布X∼N80,σ2σ>0A.1500B.1800C.2000D.26007.若x=−13是函数fx=aA.-1B.−89C.8.若函数fx=sinωx−π3ω>0的图象在区间π4A.143,C.5,163二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.设Sn为等差数列an的前n项和,已知aA.a1=12B.C.S11=0D.当且仅当n=610.已知函数fx的定义域为R,任意a,b∈R,A.f0=C.fx为偶函数D.11.已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F,C的准线l与x轴交于点E−1,0,过E的直线与C交于A,BA.EF=2C.直线AB的斜率为±23D.四边形ABDQ的面积为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知锐角α,β满足α≠β，且tanα13.在平面内将非零向量m绕其起点逆时针旋转θθ>0角得到向量a，记作a=m0，将向量m绕其起点顺时针旋转θθ>0角得到向量b，记作b=m−θ.已知向量14.已知在一个有底的圆锥容器(厚度忽略不计)内放入一个正方体,若该正方体在其内部能任意转动，且正方体的最大棱长为233四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a(1)求b的值；(2)若B=2C，求16.(15分)第二届“贺岁杯”东北三省冰球挑战赛于2026年1月13日在哈尔滨开幕，吸引了32支冰球队近200名运动员参加.为调研哈尔滨市市民对赛事的满意度，随机抽取500人进行打分(满分100分),经统计打分全部位于40,100打分区间[[[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数51035100200150(1)估计样本数据的第60百分位数；(2)用分层随机抽样的方法从打分位于80,100内的市民中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取4人，记X为打分位于90,100的市民人数，求17.(15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，∠DAB=120∘，AB⊥BC，AD⊥(1)证明:BD⊥PC(2)求平面PBC与平面PAD的夹角的余弦值.18.(17分)已知双曲线C:x2a2−y(1)求C的方程；(2)若直线l:y=kx+mk≠0与C(i)若直线x=−12与x轴交于点D，与线段AB交于点E，且∠ADB=2(ii)设O为坐标原点,若C上存在不同于A,B的点M,使AM=−3OB19.(17分)已知函数fx(1)讨论fx(2)记函数gx=fx−(i)当m=0时,证明:(ii)当m=1时,证明:0答案一、选择题1.B由已知得P={0,1,2,32.Bz=21−i2=2−3.D由题意知a=2b，所以e=4.Aa=log45=12log25=log25,因为5<3,且对数函数y=log2x在05.A由x−21−x≤1,得x−21−x−1≤0,即2x−31−x≤0,所以2x−3x6.C由正态分布的对称性可知PX<65= PX>95=0.1,PX7.D由题意可知a≠0,f′x=2ax−1(x+ a2+ax−12=ax−13x+2a2−1,由f′−13 =−4a32a2−2=0,解得a=±1.当a=−1时,f′x<0,=−x可知fx在−∞,−13上单调递增,在−13,1上单调递减,在1,+∞上单调递增,所以x=−13是fx的极大值点,符合题意,故x8.B设函数fx的最小正周期为T,由题意可知T2<π4<T,即πω<π4<2πω,解得4<ω<8,由正弦函数的图象可知,两个相邻对称中心之间必有一条对称轴.由sinωx−π3=0,得ωx−π3=kπ,k∈Z,由二、选择题9.BC设等差数列an的公差为d,则a1+d=8,5a1+10d=30,解得a1=10,d=−2, A项错误;由上得an=a1+n−1d=12−2n,所以a2=8,a4=4,a5=10.BCD令a=0,b=1,则f0f1=f1+ f1=2f1,又f1=1,所以f0=2,A项错误;令a=b=1,则f12=f0+f2,所以f2= f12−f0=12−2=−1,B项正确;令a=x,b=0,则fxf0=f−x+fx,所以2fx= f−x11.ABD因为C的准线l与x轴交于点E(−1,0),所以C的准线l的方程为x=−1,则p2=1,所以p=2,所以EF=2, A项正确;根据抛物线的定义可知BF=BB′,AF=AA′,且AA′//BB′,又BF=2AF,所以BB′=2AA′,则AA′为△BEB′的中位线,所以BE=2AB,B项正确;不妨设A,B均在第一象限内,由BF=2AF=3,得xB=2,xA=12,将其代入y2=4x,解得yB=22,三、填空题12.12由条件可知sinαcosα−sinβcosβ=2sinα−β,得13.−3,0将向量m=−2,0,n=1,1的起点均视为坐标原点,根据定义可知a=14.8π3因为正方体在其内部能任意转动,所以正方体的外接球在其内部能任意转动,又正方体的最大棱长为233,所以外接球的半径的最大值R设圆锥的底面半径为rr>1,高为h,母线长为l,则l=h2+r2,由△CDO∽△CEB,得1r=l−rh,则h+r2r=l=h2+r2,两边平方得h2+2hr2+r4r2=h2+ r2,整理得h=2r四、解答题15.解:(1)由正弦定理得c=64b,(1分)所以b=4(2)由已知得sinC因为B=2C,所以所以cosC=由余弦定理得c2即9=整理得a2−8a+15=0,解得由cosC=63,得当a=3时,cosB=a2+c当a=5时,cosB=故△ABC的周长为5+16.解:(1)市民打分位于[40,80)的频率为市民打分位于[40,90)的频率为所以样本数据的第60百分位数位于[80,90)则0.30+x解得x=87.5故估计样本数据的第60百分位数为87.5.(5分)(2)因为[80,90),90,100两组数据的人数之比为200:150=由题意可知X的可能取值为0,1,2,3,(8分)则PX=所以X的分布列为X0123P13512184(13分)所以EX(15分)17.(1)证明:连接AC,设AC∩因为BC=所以△ABC所以BO=DO,则O为BD的中点,因为∠DAB所以∠BCD又BC=CD,所以△BCD为等边三角形,则连接PO,因为PB=PD,所以PO因为PO,AC⊂平面所以BD⊥平面PAC,(5因为PC⊂平面PAC,所以BD⊥(2)解:在△BCD中，OB=OD=3,OC=3，由(1)知∠在△PBD中,PO=因为PA=5,所以PO2+O以O为坐标原点,以OB,OC,OP所在直线分别为x则A0,−1,设平面PBC的法向量为m=由PB⋅m=0,BC⋅m=0,得设平面PAD的法向量为n=由PA⋅n=0,AD⋅n=0,得所以cos⟨m,n⟩=m⋅nmn=52(15分)18.(1)解:由题意可知ca=解得a2=故C的方程为x2−(2)由条件可知k≠0,设联立y=kx+m,则Δ=−2km2+3>0,且(5分)(i)证明:因为∠ADB=2∠BDE,所以∠ADE又D−12,0即kx所以2kx则2k整理得m=2所以直线l的方程为y=故直线l过定点−2,(ii)解:设Mx0,y0因为AM=−3OB则x0=将点M代入x2−y23整理得x1又A,B在C上,所以代入上式得x1x又Ax1,y1,所以y1则x1整理得6−2将x1+x2=2km3−k2,x1又点O0,0到直线y=kx+m的距离d=m1又AM=−所以S△OAM所以S四边形(17分)19.(1)解:f′x=x当x<0时,f′x<0,当x>0时,f′x>0, 2分(2)(i)证明:当m=0时,由an−1ean=n两边同时取自然对数并化简,得an=lnn−lnan令ux则u′当1<x<2时,u′x<0所以ux在1,2上单调递减,在2,+∞则ux≥u2=2>0则lnn所以an所以1an故i=1(ii)证明:当m=1时