2025-2026学年青海省西宁市高二下册数学4月质量检测试题 含答案

/2025～2026学年第二学期第一次教学质量检测高二数学考生注意:1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围:人教A版选择性必修第二册第五章。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.一作直线运动的质点的位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为yt=12t2A.3 m/sB.6 m/sC.82.函数fx=x2在xA.123.在曲线y=x2+2的图象上取点1,3A.Δx+C.Δx+4.函数fx=eA.0,1eB.−∞,15.若函数fx=13x3−4x+A.223B.5C.2D.6.已知函数y=fx的图象是下列四个图象之一,且其导函数ABCD7.若函数fx=lnx−ax在区间3,A.0,13B.148.已知定义域为R的函数fx满足f1=1e,且fxA.2,+∞B.−∞,2C.0二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.下列求导运算不正确的是A.sinπ3C.exx10.已知点P在函数y=ex的图象上,点Q在直线y=ex−3e上,若线段PQ取得最小值n时,A.m=0C.n=311.已知fx=A.曲线y=fx关于点B.1是函数fxC.当x∈0,1D.不等式f2x−1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.设f′x是fx的导函数,且f′313.已知函数fx满足fx=f′π14.已知函数fx=x3−3x2−mx四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)已知函数fx=lnx+a(1)求a的值；(2)求函数fx的图象在点2,16.(本小题满分15分)已知函数fx(1)证明:gx在0,+∞(2)判断3f13与17.(本小题满分15分)将一条长为l的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少?18.(本小题满分17分)给定函数fx(1)判定函数fx的单调性,并求出fx(2)画出fx(3)求出方程fx=19.(本小题满分17分)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感,曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲率定义如下:若f′x是fx的导函数,f′′x是f′x的导函数,则曲线y=f(1)已知函数fx=2lnx+x，求曲线y=fx(2)已知函数hx=sinx，求曲线y=hx在点x,hx(3)对(2)中的M，记gx=Mexcosx−xsinx2025～2026学年第二学期第一次教学质量检测·高二数学答案、提示及评分细则1.A由题意得y′t=t+1，所以y′2=32.C由f′x=2x,得f3.B Δy=x+Δx2+2−4.Af′x=e−1xx>0,令f′x<0,得5.Cf′x=x2−4,令f′x>0,解得2<x≤3,令f′x<0,解得0≤x<2,所以fx在[06.B因为y=f′x的图象经过−1,0与1,0两点,即f′−1=0,f′1=0,由导数的几何意义可知y=fx在x=−1与x=1处的切线的斜率为0,故AD错误;由y=f′x的图象知,f′x>0在−1,1上恒成立，故fx在7.D由已知得f′x=1−axx,若函数fx=lnx−ax在3,4上有极值点,则1−8.D令gx=exfx,则g′x=exfx+f′x<0,所以gx在R上单调递减,因为g1= e1f1=1,所以不等式9.ACD10.BD过函数y=ex的图象上点Px0,y0作切线,使得此切线与直线y=ex−3e平行,因为y′=ex,于是ex0 =e,所以x0=1,y011.ACD由题意得曲线y=fx是由奇函数y=x3−3x的图象向下平移1个单位长度而得,故曲线y= fx的对称中心为0,−1,故A正确;f′x=3x2−3,易得fx在−∞,−1和1,+∞上单调递增,在−1,1上单调递减,所以-1为fx的极大值点,1为fx的极小值点,故B错误;因为fx在−1,1上单调递减,当x∈0,1时,012.18由题意，得f′3=limf313.2+14.(−∞,−3]由fx=x3−3x2−mx,得f′x=3x2−6x−m,因为fx在0,+∞上单调递增,所以f′x≥0在15.解:(1)由fx=lnx+ax又f′1=4,所以1+2(2)由a=1，得fx=lnx+x2+x，所以又切线的斜率为k=f所以函数fx的图象在点2,f2处的切线方程为y−ln16.(1)证明:f′x=ex+sinx，所以gx当x>0时,因为ex+cosx>所以gx在0,+∞上单调递增.(2)3f1证明如下:设hx=fxx,由(1)知gx在0,+∞上单调递增，所以g所以h′x>0,即hx在所以h13>h1417.解:设一个正方形的边长为x,则另一个正方形的边长为l4−∴两个正方形的面积和S=x2+l∴x=l8时故当0<x<l8时,S′<0,S单调递减;当∴当x=l8时,S的极小值也是最小值为l232综上,当两段铁丝的长度都为l2时,它们的面积和最小.1518.解:(1)函数fx=x+2ex的定义域为R，求导得f′x=x+3ex,1分由f′x=0,得因此函数fx在−∞,−3上单调递减,在−3,+∞上单调递增,在x=−3处取得极小值所以函数fx的单调递减区间为−∞,−3,单调递增区间为−3,+∞;极小值为6分(2)由(1)知，函数fx在−∞,−3上单调递减，在−3,+∞上单调递增，7分由fx=0,得x=−2,又f0=2,因此函数fx的图象过点−2,0,−3,−1e3,0,2,8分当x<−2时,fx<0恒成立,当x≥0时,f11分(3)方程fx=aa∈R的解,即为直线y=a与函数y=fx图象交点的横坐标,13分由(2)知,当当−1e3<a<0时,直线y=当a=−1e3或a≥0时,直线y=a所以当a<−1e3时,fx=a没有解;当−1e3<a<0时,fx=a19.(1)解:fx=所以K1=(2)解:hx=sinxx∈R，h′x所以K2=所以K2令t=2−sin2设pt=2−t显然当t∈1,2时,p所以ptmax=p1=1所以K2的最大值M=(3)证明:由题知gx=所以g′