2025-2026学年陕西省渭南市普通高中联考高二下册期中质量检测数学试题 含答案

/陕西渭南市普通高中联考2025-2026学年第二学期期中质量检测高二数学试题一、单选题1．设，，，则（

）A． B． C． D．2．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．3．在一个有穷数列中，每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作称为该数列的一次“扩展”.已知数列1，2，第一次“扩展”后得到1，3，2，第二次“扩展”后得到，那么第五次“扩展”后得到的数列的项数为（

）A．17 B．33 C．32 D．654．在数列中，已知，若，，则（

）A． B． C． D．5．已知等差数列的前n项和为，且，，给出以下结论：①数列是递减数列；②；③；④当时，取得最大值.其中正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．将两个球放入棱长为1的正方体中，则这两个球体积和的最大值为（

）A． B． C． D．7．关于的方程有实根，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．在等比数列中，，公比，也是中的项（），当最小时，对应的，，则的通项公式为（

）参考公式：．A． B． C． D．二、多选题9．已知相关系数，y关于x的经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，残差平方和为.已知变量x与变量y的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以x为自变量，y为因变量，得出的经验回归方程为；以y为自变量，x为因变量，得出的经验回归方程为.若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是（

）A．若已知变量x的方差，则可知变量y的标准差B．若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y各自的平均值C．若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y的相关系数D．若已知变量x的标准差，则可知以y为自变量的回归模型的残差平方和10．已知函数，则下列选项正确的有（

）A．函数有唯一零点B．若方程有两个实数解，则实数的取值范围为C．若对任意恒成立，则实数的取值范围为D．记，则11．设为坐标原点，若函数的图象上分别存在一点（异于点），使其满足且，则称和是“互余函数”．已知函数，，则下列各项中的两个函数是“互余函数”的有A．和 B．和C．和 D．和三、填空题12．已知函数（，，），若在上恒成立，则的最大值为______.13．已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________.14．某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”、“复变函数”、“微分几何”、“数值分析”、“拓扑学”五门选修学科，要求学院每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将五门选修学科选完，则每位同学的不同选修方式有__________种四、解答题15．春节期间某商场举行购物抽奖活动，活动设置了两种抽奖方式（方式一和方式二），规则如下：凡在商场消费满200元的顾客都可以通过掷一枚质地均匀的骰子来确定抽奖方式，若掷出5点或6点，则采用方式一抽奖，否则采用方式二抽奖．活动期间顾客甲在该商场多次购物，其中有3次购物消费满200元，均参与抽奖活动．(1)求顾客甲在3次抽奖中恰有2次采用方式一抽奖的概率；(2)方式一：从装有4个红球，6个白球（所有球除颜色外完全相同）的箱子中随机摸一个球，摸到红球即为中奖；方式二：“大转盘”，中奖的概率为．求顾客甲抽奖一次中奖的概率．16．已知函数，实数．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围．17．设为数列的前项和，已知，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和，并证明.18．某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予分的初始积分，每答对一题加分，每答错一题减分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响．(1)求小王答道题后积分小于的概率；(2)设小王答道题后积分为，求；(3)若小王一直答题，直到积分为或时停止，记小王的积分为时，最终积分为的概率为，则，，求的值．19．已知函数(1)若有两个零点，求实数的取值范围；(2)若且，证明：；(3)若且，证明.答案1．A【详解】令，则，当时，，即在区间上单调递减，又，且，所以.2．D【详解】函数的定义域为，设，则，故为偶函数，其图象关于轴对称，则B中图象错误；又当时，，由，得，由，得，故在上单调递减，在上单调递增，故A、C错误，故选D.3．B【详解】设第次“扩展”后得到的数列的项数为，则第次“扩展”后得到的数列的项数为，即，由及以上递推关系可知，则，是以2为首项，2为公比的等比数列，，，.4．A【详解】设，由可得，则数列为等差数列，因，得，则数列的公差，于是，故.5．D【详解】设等差数列的公差为，由题意可得：，，即，，且，即②、③正确；因，故数列是递减数列，故①正确；因，，即当时，取得最大值，故④正确.综上所述：正确结论的个数为4.6．D【详解】要使两个球的体积之和最大，则应满足两个球互相外切，并且分别与正方体的切，即应有两个球球心连线位于正方体的体对角线上.如图，设两球的球心分别为，半径为，由已知可得，，，所以，则，，.又，所以，.因为，所以.又两球的体积之和，且，当时，有，即函数在上单调递减；当时，有，即函数在上单调递增.当时，，所以.又，故函数的最大值为.7．B【详解】由关于的方程有实根，得关于的方程有实根，设方程的实根为，则，得到，即，设点，则点在直线上，点到直线的距离，设，函数，，则，当时，；当时，，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，因此，，则，当时，，由，解得，此时；由，解得，此时，所以的取值范围为.8．D【详解】因为是等比数列，首项，公比，所以，，由题意可知：为非负整数，因为为奇数，而是非负整数，则必须为偶数，即为奇数，又，取检验知：时符合题意，，与相除得：，则可得，，故．9．ABC【详解】对于C，由所给公式得，且回归系数为负数，故相关系数，C正确.对于A，设变量x与变量y的标准差分别为，，，，标准差，变形可得，将其代入到得，整理得，将其代入到，整理得，代入已知数据得，即，若已知变量x的方差，即可求得，进而代入上式求得，A正确.对于B，经验回归直线经过样本中心点，代入两个回归方程得与，解得，，故不给定其他信息也可得知变量x与变量y各自的平均值，B正确.对于D，设以y为自变量的经验回归方程为（其中），则变量x的残差平方和为，由于样本量n未知，故无法算出残差平方和的具体数值，D错误.10．ACD【详解】对于A：函数的定义域为，又因为，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在取到最大值，且，又因为当时，，当时，，故有唯一零点，故A正确；对于B：函数的定义域为，又因为，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在取到最大值，且，又因为当时，，当时，，所以若方程有两个实数解，则，故B错误；对于C：若对任意恒成立，分情况讨论：当时，左边，不等式成立；当时，，不等式变形为，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得最大值，最大值为，故；当时，，不等式变形为，令，求导同，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得最小值，最小值为，故，综上，，故C正确；对于D：因为，令，所以在上恒成立，故，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的最大值在或上取得，因为，而，故，故D正确.11．AD【详解】由题意得，将函数的图象绕原点顺时针（或逆时针）旋转，若旋转后的函数图象与函数的图象有交点（异于点），则和是“互余函数”．对于A，将函数的图象绕原点顺时针或逆时针旋转后都是得到直线，设函数，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，且，故有唯一的零点．因为，所以直线的图象与函数的图象有唯一的交点，故A正确．对于B，设函数，所以在上单调递减，且，故有唯一的零点．因为，所以直线的图象与函数的图象有唯一的交点，与题意异于点不符，故B错误；对于C，将函数的图象绕原点顺时针旋转后，得到的函数图象位于第三象限，而函数的图象不经过第三象限，故不相交；将函数的图象绕原点逆时针旋转后得到．设函数，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，故无零点，即的图象与函数的图象无交点，故C错误．对于D，设函数，设，则，所以在上单调递减，，故存在使得，所以在上单调递增，在上单调递减，，，故存在使得，故存在异于0的零点，即的图象与函数的图象有异于点的交点，故D正确．12．【详解】由题意可得恒成立，令，，故恒成立，故，与此同时，.（1）若，则.（2）若，令，的定义域为，，当时，有；当时，有，所以在单调递减，在单调递增，当时，的最小值为，因为恒成立，则恒成立，解得，即，（ⅰ）当时，则有；（ⅱ）当时，则有，则，令，，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，综合（1）（2）得：的最大值为，所以的最大值为.13．【详解】若4次重复操作后，盒中6个球全是红球，则1次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次、第二次和第三次抽到红球三种情况，所以，若5次重复操作后，盒中6个球全是红球，则2次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次和第二次、第一次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况，所以，所以.14．【详解】由题意可知三年修完门学科，则每位同学每年所修课程数为，，或，，或，，，1.将门学科分成数量为，，的三组共有种不同方式，再将这三组课程分配到三个学年，共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种；2.将门学科分成数量为，，的三组共有种不同方式，再将这三组课程分配到三个学年，共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种；3.将门学科分成数量为，，的三组共有种不同方式，再将这三组课程分配到三个学年，共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种．所以每位同学的不同选修方式有种．15．(1)(2)【详解】（1）记事件为“顾客甲采用方式一抽奖”，则，所以顾客甲在3次抽奖中恰有2次采用方式一抽奖的概率为；（2）记事件为“顾客甲中奖”，事件为“顾客甲采用方式二抽奖”，则，，，，所以，所以顾客甲抽奖一次中奖的概率为.16．(1)函数在处的切线方程为．(2)实数a的取值范围为．【详解】（1）当时，，，所以，，所以函数在处的切线方程为，即（2）由，得，令，，因为，所以当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，也是最小值，由题意知，令，，当时，，当时，，所以上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，所以实数a的取值范围为．17．(1)1.(2)，证明见解析【详解】（1）因，所以①，当时，由①得：②，则①②得：（），即，则（），则是等差数列，且公差为2，又，则，即1.（2）法一：，③，④，③④得：，，，，是单调递增数列，，，，.综上.法二：，，，，是单调递增数列，，，，.综上.18．(1)(2)(3)【详解】（1）小王答道题后积分小于，则小王题都答错，或答对题答错题，故所求概率为.（2）设小王答对的题数为，则他答错的题数为，所以．由题意知，所以，所以．（3）（i）当小王的积分为时，若小王接下来一题答对，则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为．由全概率公式有，即，整理可得．又，所以为等比数列．（ii）由（i）可得，所以，又，所以．所以.19．(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）由，可得，令，其中，则函数，故函数在上为增函数，所以，故函数的值