2025-2026学年四川成都市金堂中学校等学校高三下册4月月考数学试题 含答案

/四川成都市金堂中学校等学校2025-2026学年高三下学期4月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=2,3,4,5,6,7,8，M=3,4,5,6，N=A.2,8 B.4,5,6 C.2,3,7,8 D.3,4,5,6,72.复数2i1−iA.−1 B.1 C.i D.−3.不等式2x−1xA.−4,3 B.−3,4

C.−∞,−4∪3,+∞ 4.已知双曲线x2a2−yA.43 B.34 C.535.x−A.−240 B.−16 C.16 D.2406.人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需的时间T=m0lgN(单位：h)，其中m0为常数.在此条件下，训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为8h，当训练mA.10000 B.15000 C.20000 D.300007.如图，在三棱锥O−ABC中，CO⊥OA，CO⊥OB，且CD为▵ABC中AB边上的高．给出以下结论：①CO⊥AB；②∠CDO等于直线CDA.①② B.①③ C.②③ D.①②③8.已知函数fx=4x−14x+1+x，若正实数A.10 B.12 C.14 D.16二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知随机事件A，B满足：PA=0.4，PBA.事件A与B互为对立事件

B.如果A⊆B，那么PAB=0.4

C.如果事件A，B互斥，那么PA∪B10.已知函数fx=AsinωxA.ω=32

B.f7π4<f2π

C.−11.设过点Ta,0的直线与抛物线y2=4x相交于Px1A.若a=1，则PQ=x1+x2+2

B.若a=2，则y12+y22不存在最小值

C.若a=4，则弦三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=2,−1，b=4,m，且a/​/b13.已知等差数列an中，a1+a2+a3=614.若定义在区间D上的函数fx，其导函数为f′x，且∀x∈D，xf′x>fx，则称fx为区间D上的“M函数”、若四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3(1)求A；(2)若b=3，▵ABC的面积为3316.(本小题15分)如图；在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=(1)若A1C1//平面(2)当三棱锥B−B1EF的体积取得最大值时，求平面B17.(本小题15分)设函数fx=2(1)讨论函数fx(2)证明：存在正实数a0，使得a∈0,a0时，函数18.(本小题17分)已知直线l：x=4，椭圆C：x24+y23=1.过椭圆C的右焦点F(1)判断直线l与以线段AB为直径的圆的位置关系，并证明你的结论：(2)过点F作直线AB的垂线，与直线l相交于点P，(ⅰ)求▵PAB(ⅱ)证明：直线PA与椭圆C有且只有一个公共点．19.(本小题17分)某种特制提示器有红、黄、绿三种颜色的提示灯，提示灯每隔1秒亮一次，如果前一次亮红灯，紧接着亮红灯和黄灯的概率都为12；如果前一次亮黄灯，紧接着亮红灯和绿灯的概率分别为13和23(1)求第三次亮灯为红灯的概率；(2)设第n次亮灯为红灯的概率为Pn，当n(ⅰ)求Pn(ⅱ)该提示灯亮哪种颜色灯的概率最大？为什么？

答案1.C

2.B

3.B

4.C

5.D

6.A

7.D

8.B

9.BD

10.BCD

11.ACD

12.−2

13.12

14.2e15.解：(1)由3有2sinA−∵0<A<π∴A−π(2)由(1)的结论有A=又∵b=3，由三角形面积公式有S=12×3在▵ABC中，由余弦定理有=32+∴▵ABC的周长=

16.解：(1)方法1：若A1C1//平面B1理由如下：在直三棱柱ABC−A1∵A1C1//平面B∴AC//平面又∵平面ABC∩平面B故AC//EF，又∵AB=BC又∵AE=BF即F为BC的中点，从而E为AB的中点，故当A1C1//平面B1方法2：以B为原点，以BC，BA，BB1的方向分别为x轴、y轴、建立如图所示的空间直角坐标系B−设AB=1，AE则A0,1,0，C1,0,0，E0,1−t,0AC=1,−1,0，EF=设平面B1EF的法向量为由n⋅EF取y=1，得x=1则平面B1EF的一个法向量欲使A1C1//平面B1则AC⋅n=0得t=12，可知E故当A1C1//平面B1(2)方法1：不妨设AB=1，BF则三棱锥B−B=t当且仅当t=1−t，即t=此时，E，F分别为AB，BC的中点，过点B作BG⊥EF于点可知G为EF的中点，连接B1G，则在直三棱柱ABC−A1B1∴EF⊥B∴EF⊥平面B1∴∠B1GB∵BB1=1，BE=∴B则cos∠故当三棱锥B−B1EF的体积取得最大值时，平面B1方法2：三棱锥B−B=1当且仅当t=1−t，即t=此时，平面B1EF的一个法向量平面BEF的一个法向量m=设平面B1EF与平面BEF的夹角为θ，可知则cosθ故当三棱锥B−B1EF的体积取得最大值时，平面B1

17.解：(1)由fx=2lnf′①当a≤0时，ax则当0<x<1时，f′x>0此时，fx在区间0,1上单调递增，在区间1,+∞②当0<a<1时，则当0<x<1时，f′x>0，当1<x<此时，fx在区间0,1上单调递增，在区间1,1a③当a=1时，f′x=2④当a>1时，1则当0<x<1a时，f′x>0，当1此时，fx在区间0,1a上单调递增，在区间1综上所述：①当a≤0时，fx在区间0,1上单调递增，在区间②当0<a<1时，fx在区间0,1上单调递增，在区间1,③当a=1时，fx在区间④当a>1时，fx在区间0,1a上单调递增，在区间(2)由(1)可知，当0<ax=1是函数fx的极大值点，极大值函数fx的极小值f令gx即gx=1−1当0<x<12时，g′x>0，g则x=12是gx的极大值点，即又当x→0时，gx→−∞，则即fx的极小值f1又2ln2−1>0，则存在a0∈0,12当a∈0,a0时，gx在0,又当x→0时，fx→−∞，当x存在正实数a0，使得a∈0,a0

18.解：(1)直线l与以线段AB为直径的圆相离，理由如下：由已知，右焦点F的坐标为1,0，设点Ax1,其中−2≤x1≤2令点A，B到直线l的距离分别为d1，d则AF=同理，BF=设D为AB的中点，点D到直线l的距离为d，则d=显然，以线段AB为直径的圆的圆心为D，半径为AB2∴直线l与以线段AB为直径的圆相离；(2)(ⅰ)方法1：由题意知直线AB不与x轴重合，由已知，直线AB的方程可设为x=联立x=my+1,x∴y则x1由(1)得，AB=4−1当且仅当m=0，即AB垂直于x轴时取“=根据平面几何知识，此时PF同时取得最小值3，∴▵PAB的面积S故▵PAB面积的最小值为9方法2：由题意知直线AB不与x轴重合，由已知，直线AB的方程可设为x=联立x=my+1,x∴y则x1由(1)得，AB=4−1∵过焦点F且与直线AB垂直的直线方程为y=−则P4,−3m，▵PAB的面积=18m2+1则St=18于是S′∴当t≥1时，S∴当t=1，即mSt取得最小值，最小值为S故▵PAB面积的最小值为9(ⅱ)欲证直线PA与椭圆C有且只有一个公共点，只需证明在点A处切线l′的斜率等于直线PA的斜率k由(ⅰ)得，Ax1,依题意，直线l′的斜率存在，设为k则l′的方程为y联立y得3+4k由于直线l′与椭圆C仅有一个公共点，则由Δ=0得64k∴−3y即4−x解得k=过焦点F且与直线AB垂直的直线方程为y=−则P4,−3m，只需证明kPA=−3即只需证明y1即证明4y即证明3m只需证明y1满足方程3根据(ⅰ)中的方程(∗)，显然y1是方程3∴k由此可知，直线PA与椭圆C有且只有一个公共点．

19.解：(1)设事件An=“第n次亮灯为红灯”，事件Bn则第三次亮灯为红灯的概率：P==1(2)方法1：(ⅰ)设事件Cn=“第n次亮灯为绿灯”，PAn=∴===1则bn+1∵an+即bn+1−则bn−13是以∴b∵===1即an+1由①②得a=1∴a即Pn(ⅱ)由(ⅰ)可知，a=1当n=21−−12当n=2kk∈N综上，an+1≥∴亮红灯的概率不小于亮黄灯的概率，又∵===0×an+故cna=5当n=2k−1(k∈当n=2k(k∈∴a综上所述，当n=2时，该提示灯亮红色灯或亮黄色灯的概率一样大，当n方法2：(ⅰ)设事件Cn=“