第十章+概率+复习第1课时+高一下学期数学人教A版必修第二册

章综合复习第十章

概率第1课时

高中数学人教A版必修第二册本章知识结构知识清单易错提示重点知识巩固综合提升概率性质1：对任意的事件A，都有P(A)＞0．性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0．性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．概率的基本性质P(AB)＝P(A)P(B)推广事件的相互独立性有限样本空间与随机事件事件的关系和运算古典模型样本点和样本空间随机事件列举法列表法画树状图法事件的包含与相等事件的并(和)事件的交(积)事件的互斥与对立事件的混合运算古典模型的概率公式古典模型的应用概念的定义古典模型的特征概率的意义有限性等可能性有限样本空间与随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．随机试验我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间．一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．有限样本空间这些可能结果发生的概率不一定相等．试验的所有结果是明确的，样本点也是事先明确的．事件及其分类样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称事件A发生．随机事件Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．必然事件空集∅不包含任何样本点，在每次谢验中都不会发生，我们称∅为不可能事件．不可能事件事件的关系和运算事件的关系和运算定义图示包含关系一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)．记作B⊇A(或A⊆B)

相等事件特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B．即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B

并(和)事件一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)．记作AUB(或A＋B)

交(积)事件一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中．也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)．记作A∩B(或AB)

ΩABΩA(B)ΩABΩAB事件的关系和运算ABΩA续表类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件，对于多个事件A，B，C，…，A∪B∪C∪…(或A＋B＋C＋…发生当且仅当A，B，C，…中至少一个发生，A∩B∩C…(或ABC…)发生当且仅当A，B，C，…同时发生．古典概型及其概率计算我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等．古典概型的定义一个试验是不是古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．下列三类试验都不是古典概型：①基本事件个数有限，但非等可能；②基本事件个数无限，但等可能；③基本事件个数无限，且不等可能．古典概型的判定标准古典概型及其概率计算古典概型的概率计算公式概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P(A)＞0．

0≤P(A)≤1性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0．性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．推广：如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分別发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性质5如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．事件的相互独立性对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．相互烛立的两个事件实质上是一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响．相互独立事件的概念相互独立事件的性质频率与概率频数与频率一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．频率的稳定性互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者中必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况．应用互斥事件的概率的加法公式解题时．一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．两个事件A、B互斥不能推导出这两个事件相互独立，反之依然，即，两个事件A、B互斥与这两个事件相互独立没有任何关系．应用古典概型的概率计算公式求时间发生的概率时，要首先判断是否符合有限性、等可能性两个特点．“有放回抽取”和“无放回抽取”的概率求解题型是初学者特别容易出错的题型，也是特别经典的题型，学习时要注意区分是“有放回抽取”还是“无放回抽取”．“有放回抽取”是指抽取物体时，每次抽取之后，都把抽取的物体放回原处，这样，前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的；“无放回抽取”是指抽取物体时，每次抽取后，把抽取的物体放到一边，并不放回原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体总数较前一次被抽取的物体总数少．若无特殊说明，“无放回抽取”应为一次取出相应的元素，在求解对应的样本点总个数时要注意对事件性质的确认，一次取出的元素之间无顺序的差异性；而“无放回抽取”中的“逐个抽取”，取出的结果则有先后顺序之分．

如从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是

(

)A．①

B．②④

C．③

D．①③③中“至少有一个是奇数”，即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．方法总结判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系．对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法.判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断．判断两事件是否相互独立，有两种方法：①直接法；②看P(AB)与P(A)·P(B)是否相等，若相等，则A，B相互独立，否则不相互独立．事件间的关系的判断方法

一个袋中装有四个大小、质地完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．(1)从袋中随机摸出两个球,求摸出的两个球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机摸出一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，再从袋中随机摸出一个球，该球的编号为n，求n<m+2的概率．

一个袋中装有四个大小、质地完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．(1)从袋中随机摸出两个球,求摸出的两个球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机摸出一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，再从袋中随机摸出一个球，该球的编号为n，求n<m+2的概率．方法总结关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a,b)，(b,a)不是同一个样本点．解决有序和无序问题应注意两点在古典概型中，计算概率的关键是准确找到样本点的数目，这就需要我们能够熟练运用图表和树状图，把样本点一一列出．而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出样本点的数目．

设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125．(1)分别求甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率；(2)计算这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率.甲、乙、丙三台机器在某一小时内需要照顾分别为事件A，B，C，则A，B，C两两相互独立．(1)由题意得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125，∴P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5，∴甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5．

设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125．(1)分别求甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率；(2)计算这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率.方法总结计算相互独立事件同时发生的概率，一般分为以下几步：①先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，把这些事件分为若干个彼此互斥的事件的和；②根据相互独立事件的概率公式计算出这些彼此互斥的事件的概率；③根据互斥事件的概率加法公式求出结果．与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表所示：转化为对立事件方法总结频率