立体图形的直观图高一下数学人教A版必修第二册

8.2立体图形的直观图1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.(重点)2.会用斜二测画法画常见的柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的直观图.(难点)3.掌握直观图与原图形的长度、角度和面积间的关系.学习目标想象一下，你手中的一张平面图纸，如何能跃然呈现出金字塔的巍峨、魔方的灵动，甚至宇宙飞船的精密结构？立体几何直观图正是打开三维思维的魔法钥匙！它用巧妙的斜二测画法打破维度壁垒，让长方体在纸上“站立”，使圆柱体拥有光影的呼吸感.这不仅是一门将空间折叠进纸面的艺术，更是工程师绘制蓝图、建筑师构想空间的科学语言.在这里，线条与视角的舞蹈将唤醒你沉睡的空间想象力，带你穿透平面，触摸几何世界的立体灵魂.准备好让你的思维跳出纸面了吗？导

语目录1234直观图的画法直观图的还原直观图与原形图的计算CONTENTS立体图形的直观图书读百遍其义自现记

要点1直观图的概念直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形．(1)画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示．(2)立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形．要点2用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的_________，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝_______________，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于____________的线段．(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为_____________．45°(或135°)原来的一半x′轴或y′轴x′轴或y′轴要点3空间几何体直观图的画法(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个____轴．(2)画平面：平面_______表示水平平面，平面______和______表示竖直平面．(3)取长度：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中_______________都不变．(4)成图处理：成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为______．zOxyOyzOzx平行性和长度虚线直观图的画法1我们都非常喜欢打乒乓球，乒乓球台是长方形的，为什么从旁边看起来是一个平行四边形呢？问题1提示在乒乓球台上建立平面直角坐标系，如图1所示，当两坐标轴的夹角不是90°时，如图2所示，台面看起来就是平行四边形了.知识梳理用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤45°135°水平面x′轴或y′轴的线段保持原长度不变一半斜二测画法的“三变”与“三不变”.(1)三变.①坐标轴的夹角改变；②与y轴平行的线段的长度改变；③图形的形状改变.(2)三不变.①线段的平行关系不变；②与x轴平行或重合的线段的长度不变；③点的相对位置不变.

注

意

点<<<

(课本例1)用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.例

1【解析】(1)如图(1)所示，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线MN为y轴，两轴相交于点O.在图(2)中，画相应的x'轴与y'轴，两轴相交于点O'，使∠x'O'y'=45°.

(3)连接A'B'，C'D'，D'E'，F'A'，并擦去辅助线x'轴和y'轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'，如图(3).题型一

画水平放置的平面图形的直观图

例

1画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．

探究1(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．思考题1用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图．直观图的还原2题型二

由直观图还原平面图形

例

2如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．

【解析】(1)画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′.(2)过点B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过点D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′.(3)连接AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图．

探究2由直观图还原平面图形有两关键点：(1)平行于x′轴(或在x′轴上)的线段长度不变，平行于y′轴(或在y′轴上)的线段长度扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x′，y′轴平行的顶点，可通过作x′轴，y′轴的平行线确定其在直角坐标系xOy中的位置．

思考题2

(1)如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是(

)√【解析】根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，可知A正确．(2)如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′，A′C′所在直线分别与x′轴、y′轴平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是(

)A．等腰三角形

B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形【解析】因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x′O′y′＝45°，A′B′＝A′C′，且A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形．故选D.√直观图与原形图的计算3题型三

直观图与原图形的计算

例

3一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积．

【解析】方法一：如图①所示的是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴．因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴．过点D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于点E′，则B′E′＝A′D′＝1.又梯形为等腰梯形，

探究3√立体几何的直观图4我们可以把长方体看成底面ABCD沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？问题2提示先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面平移，就形成了长方体的直观图.1.立体图形直观图的画法步骤(1)画轴：画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.(2)画底面：按照平面图形的画法，画底面的直观图.(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中的

和

都不变.(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为

.平行性长度虚线知识梳理2.圆柱的直观图的画法步骤(1)画轴：画x轴、z轴，使∠xOz=

.(2)画下底面：以O为中点，在x轴上取线段AB(即圆柱的底面直径)，利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点，这个椭圆就是圆柱的下底面.(3)画上底面：在Oz上截取点O‘，使OO’等于侧面

，过点O'作平行于轴Ox的轴O'x'，类似下底面的作法作出圆柱的上底面，得到A'，B'.(4)成图：连接AA'，BB'，整理得到圆柱的直观图.90°母线长知识梳理3.圆锥的直观图，一般先画圆锥的

，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的

母线.4.球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心的

，它们的直观图是椭圆.底面两条截面圆知识梳理

(1)(课本例2)已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图.例

3(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O(A)，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.(2)画底面.在x轴正半轴上取线段AB，使AB=3

cm；在y轴正半轴上取线段AD，使AD=1

cm.过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则▱ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.【解析】(3)画侧棱.在z轴正半轴上取线段AA'，使AA'=1.5

cm，过B，C，D各点分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5

cm长的线段BB'，CC'，DD'.(4)成图.顺次连接A'，B'，C'，D'，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图了.【解析】(2)(课本例4)某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体的直观图.如图所示，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.【解析】题型四

空间几何体的直观图

例

4画棱长为2cm的正方体的直观图．

(3)画侧棱，分别过点A，B，C，D沿z轴的正方向取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝2cm.(4)连线成图，连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，即可得到正方体的直观图，如图．

探究4画空间几何体的直观图的四个步骤：(1)画轴：画Ox轴，Oy轴，Oz轴，且∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°.(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．(4)连线成图：画图完成后，擦除辅助线，看得见的地方用实线，被遮挡的部分用虚线(或不画)，就得到了几何体的直观图．

思考题4画出底面边长为1.2cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5cm的四棱锥的直观图．【解析】(1)画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，且∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图1.(2)画底面．以O为中心，在Oxy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB＝1.2cm，AD＝0.6cm.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP＝1.5cm.(4)连线成图．连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图2.反

思

总

结入

木

三

分1．斜二测画法中“斜”和“二测”分别指什么？答：“斜”是指在已知图形的Oxy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°角；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴(或在x′轴上)的线段长度不变；平行于y′轴(或在y′轴上)的线段长度变为原来的一半．2．相等的角或线段在直观图中仍然相等吗？答：不一定相等，如正方形的边长和内角分别相等，但是它的直观图是平行四边形，相邻两边边长不相等，相邻两内角也不相等．3．画直观图时，如何区别实线和虚线？答：直观图是一个平面图形，我们用它表示空间图形，为了增强空间感，画图要分实线和虚线，其中被面挡住的部分要画成虚线，看得见的部分要画成实线．4.在一次绘画课上，老师让学生自己画出一个水平放置的圆柱体的图象．某两位同学的作品如图，