立体图形的直观图高一下学期数学人教A版必修第二册

8.2立体图形的直观图

1.理解“斜二测画法”的概念，掌握其“横不变、纵减半、平行性不变、z轴线段保长”的核心规则。

2.能熟练运用斜二测画法画出水平放置的简单平面图形（正多边形、直角梯形等）的直观图。

3.会用斜二测画法绘制常见空间几何体（长方体、圆柱、圆锥、正三棱柱）及简单组合体的直观图。4.直观图的还原及相关计算（难点）。学习目标目标导航你知道下面的是什么几何体吗？它们是如何在平面上画出来的呢？长方体五棱锥圆柱圆锥圆台四棱台【问题1】观察下列空间几何体，它们是如何在平面上画出来的呢？情境引入空间图形的直观图利用平行投影，人们获得画直观图的方法：斜二测画法。

像上面这样，把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使其既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.1.直观图（1）直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形；（2）直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同;（3）在立体几何中，立体图形的直观图通常是平行投影下得到的平面图形.【追问】阅读教材107—108页相关内容，回答下列问题：（1）什么是空间几何体的直观图？（2）直观图各个棱长与实际长度之间是否有变化？（3）如何作出一个空间几何体的直观图.情境引入1.平行投影我们把在一束平行光线照射下形成的投影，称为平行投影；平行投影按照投射方向是否正对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种.情境引入斜二测画法规则：

（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的轴和轴,两轴相交于O,且使,它们确定的平面表示水平面；

（2）已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段；平行性不改变

（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。横同竖半横同竖半，平行性不改变新知学习

已知图形直观图平面图形的直观图1.在已知图中建一个直角坐标系，

“横同，纵减半，平行、重合不改变”

一.斜二测法新知学习

2.已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别

画成平行于x

轴或y

轴的线段；平行性不改变3.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；

平行于y轴的

线段，长度为原来的一半。横同纵半已知图形直观图画轴，横不变，纵减半，平行重合不改变问题1：试着能画出水平放置的正方形的直观图？新知学习斜二测画法的画法步骤立体图形的直观图构建体系【变式1】如图，用斜二测画法画边长为4cm的水平置的正三角形ABC的直观图.新知学习【变式2】探究一下，边长为a的水平放置的正三角形(如图)的直观图的面积和原图的面积有什么关系？对其他图形这种关系也成立吗？

新知学习例1：用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图.画法：如图（1）所示，建立直角坐标系

x′O′y′；如图（2）所示，画出坐标系

x′O′y′，在

x′轴上取

A′D′=AD，在

y′轴上取如图（3）所示，分别以G′、H′为中心，画B′C′、F′E′平行

x′轴，且

B′C′=BC，F′E′=FE；如图（4）（5）所示，连接

A′B′、C′D′、D′E′、F′A′，并擦去辅助线

x′轴和

y′轴，便获得正六边形

ABCDEF水平放置的直观图

A′B′C′D′E′F′.典例精讲已知直观图，还原原图步骤①建立直角坐标系②与x轴平行取相等线段与y轴平行取2倍长度线段③定好点连接即可得原图典例精讲例2：典例精讲例2：【练习1】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.

（1）相等的线段在直观图中仍然相等.（）

（2）平行的线段在直观图中仍然平行.（）

（3）一个角的直观图仍是一个角.（）

（4）相等的角在直观图中仍然相等.（）√√××ABCD直观图A′B′C′D′教材109页巩固练习教材109页

1.用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）.

（1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形.yxOyxOyxOyxOACBDABCABCDABCDEy′x′O′y′x′O′y′x′O′y′x′O′A′B′C′D′A′B′C′D′A′B′C′A′B′C′D′E′巩固练习

画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题，生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图.（正等测画法）注

意一般用椭圆作为圆的直观图.实际画图时，常使用椭圆模板。新知学习圆的直观图注明：画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取．

用斜二测画法画图的角度也可以自定，但要求图形具有一定的立体感．新知学习

画空间几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变．下面介绍几种简单几何体的直观图的画法．例2：已知长方形的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图.新知学习例2：已知长方形的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图.新知学习画底面画侧棱成图画轴需要画一个与x、y轴都垂直的z轴，而且平行于z轴的线段保持平行性和长度都不变.和z轴平行的长度不变斜二测画法O(A)BCDxyzCDAB新知学习O(A)BCDxyzCDAB新知学习【例3】已知圆柱底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图.解：(1)画轴.如图，画x轴，z轴，使∠xOz=90°.(2)画下底面.以O为中点，在x轴上取线段AB，使OA=OB=1cm.利用椭圆模板画椭圆，使其经过A、B两点.这个椭圆就是圆柱的下底面.(3)画上底面.在Oz上截取O'，使OO'=3cm.过点O'作平行于轴Ox的轴O'x'.类似下底面的作法作出圆柱的上底面.(4)成图.连接AA',BB'，整理得到圆柱的直观图.新知学习对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线（图8.2-8)．画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆．同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性（图8.2-9)．OOSO图8.2-8图8.2-9新知学习解：先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到该几何体的直观图(如图)xyoABOP某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合．请同学们画出这个几何体的直观图．画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图．新知学习教材111页3.

一个简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心.画出这个组合体的直观图.OO′新知学习一个几何体的三视图如图所示，画出它的直观图.(3)确定圆锥的顶点，画出圆锥的母线，画球过球心的截面圆，以衬托球的立体感，从而得到这个几何体的直观图.(1)画圆锥的底面.(2)画球的轮廓线大圆，注意与圆锥底面椭圆长轴相切.空间几何体的三视图与直观图有密切联系.

三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间几何体，

直观图是对空间几何体的整体刻画.新知学习情境引入：课堂小结本节课你学习到了什么？（知识？方法？思想？）回顾本节课所学内容，回答下列问题：本节课我们学习了哪些知识？本节课我们掌握了几种常见的平面直观图的画法以及具体的画图步骤.OSOO几