2025-2026学年山东泰安市新泰一中北校高二下册第一次阶段性考试数学试题 含答案

/新泰一中北校高二下学期第一次阶段性考试数学试题一、单选题(每个题目只有一个正确答案，答对答案得5分，共计40分)1.函数fx的定义域为开区间a,b,导函数f′x在a,b内的图象如图所示,则函数fA.5个B.4个C.3个D.2个2.函数fx=xA.B.C.D.3.若函数hx=lnx−12ax2−2A.[−1,+∞)C.[0,+∞)4.若函数fx=−2cos2x+π6−axA.[4,+∞)B.[−4,+∞)5.甲，乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙相邻，丙、丁不相邻，共有排法()A.72种B.36种C.144种D.108种6.当x=1是函数fx=x2A.-2B.3C.-2或3D.-3或27.某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人.则不同的选派方法的种数是()A.18B.21C.36D.428.已知函数fx=1+x−x33+xA.1B.2C.3D.4二、多选题(每个题目有多个正确答案，选对部分答案得部分分，选错得零分，共计18分)9.已知函数fx=−xA.fx≤0恒成立B.fx是C.fx在x=e−12得到极大值12e10.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是()A.某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B.课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法C.课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D.课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法11.已知函数fx=ex−e−A.a<−2或B.xC.存在实数a,使得fD.f三、填空题(每个题目5分，共15分)12.一张餐桌上有6盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，不同的取法共有_____种。13.已知函数gx=13x3−a2x2+2x14.若函数fx=lnx−mx3+四、解答题15.(1)解关于x的不等式A8(2)求等式Cn−15+C16.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A,B(1)共有多少种不同的报名方法？(2)甲不能报A项目，乙必须报B项目，那么有多少种不同的报名方法？(3)甲、乙报同一项目，丙不报A项目，那么有多少种不同的报名方法？17.已知函数fx(1)求曲线y=fx在点(2)求证:fx18.如图,已知平面图形ABCDEFG的内部连有线段.(1)由点A出发，沿着图中的线段到达点F的最近路线有多少条?(2)由点A出发，沿着图中的线段到达点C，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条?(3)由点A出发，沿着图中的线段到达点D的最近路线有多少条?19.已知函数gx=ax2(1)当a为正数时，讨论函数fx(2)若不等式fx1−fx2x1−x1.C根据导函数的图象推得导函数在各区间上的符号,确定函数的单调区间,再由单调性分析得到函数的极值点.如上图,x1,x2,x3,x4由图知,当a<x<x1时,f′x<0当x2<x<x3时,f′x<当x4<x<x5时,f′x<即函数fx在a,x1,x故函数在x=x1,x=x3故函数fx在开区间a,b故选:C.2.C根据fx因为fx=x又因为f′所以fx在−∞,0和2,+∞上在0,2上f′x>0,fx故选:C.3.B由题意,利用h′x<0,经等价转化,得到a>1x2−2依题意,h′x=1x−即a>1x2−2设t=1x,则t∈12,2,故只需求而ft=t2−2t=t−1故选:B.4.A利用导数,依题意只需使f′x≤0在由题意,f′x=4sin2即a≥4sin2x+因函数y=sin2x+π6在R上的值域为故选:A.5.C利用捆绑法与插空法解决相邻与不相邻问题即可.先把甲乙捆绑起来,和除丙丁之外的2人排列后形成4个空,再将丙、丁插入2个空中,故有A22故选:C6.B由f′1=0,解得a=3或-2,再检验x由fx得f′∵x=1是函数∴f′1=6−当a=−2时,f′x=x当a=3时,f′x=x2+8满足x=1为函数f∴a故选B.7.D根据题意,先分析甲地的安排方法,分“分派2名女生”和“分派1名女生”两种情况讨论,由分类计数原理得到甲地的分派方法数目,再在剩余的3人中,任选2人，安排在乙、丙两地,结合分步计数原理,即可求解.根据题意,甲地需要选派2人且至少有1名女生,若甲地派2名女生，有C22若甲地分配1名女生,有C21则甲地的分派方法有1+6甲地安排好后,在剩余3人中,任选2人，安排在乙、丙两地，有A32由分步计数原理,可得不同的选派方法共有7×6故选:D.8.A求导,根据等比数列求和公式,可判断fx在R根据题意,函数fx=1+x当x≠0时,f′x可以看成是以1为首项,−则有f′x=1−x2+x4又由f−知函数fx在−2设其零点为t,则fx又由−2<t<−1,知−1<t+1<0故使不等式fx2−x−1≥故选:A9.CD利用导数分析函数fx的单调性与极值,由此可判断BC,取0<x<1可判断A选项的正误，根据函数的单调性及∵fx=−x2所以f′由f′x>0,可得0<x<e−所以当0<x<e−12时,函数fx单调递增,当∴fx极大值=fe−1当0<x<1时,lnx<0由题可知函数fx在区间1e,e内单调递减,而f1=0,故fx在区间故选:CD.10.ACD根据给定条件利用组合知识可以判断A正确;不相邻问题利用插空法可以判断B错误;相邻问题利用捆绑法可以判断C正确;利用特殊位置法可以判断D正确.对于A,从六门课程中选两门的不同选法有C62=15种,对于B，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有A44A5对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有A33 A44=对于D,从中间四周中任取一周排“礼”,再排其它五门体验课程共有4 A55=480故选:ACD.11.BDA,B选项,两个极值点问题,转化为导函数两个异号零点问题;通过复合函数换元,将导函数转化为对勾函数或二次函数,利用对勾函数和二次函数的图象与性质快速的求解;C选项，解法1:先利用整体代入法,消a，再利用单调性证明;解法2:利用x2为极小值点,通过fxD选项,利用x1=−x2消元,转化为易知f′令t=ex,则令t+1t−a=0,则由对勾函数的图象可知:当a>2时,gt=t+因为t>0,故a<−2不成立,故设t+1t−a设t1,t2为①式的两根，则t1+ex由③式可知x1+x2=0，所以x故B正确;解法1:由②式可知fx令hx则h′则hx在0,+∞上单调递减,所以故∀x2>0,fx2<0,所以不存在实数a解法2:f′可得x2为0,+∞区间的极小值点,则必有fx2<f由③式可知x1+x2=0要证fe仅需证明ex2令mx=ex−则mx在0,+∞上单调递增,所以故ex2−e−x故选:BD.12.120根据排列的意义问题可转化为从6个元素中取出3个元素的排列数求解由题意,问题相当于从6个不同元素中取3个元素的排列数,故有A63故答案为:12013.2求出函数的导数,由gx在1,2内不单调知g′x=0在1,由gx=13x因为gx在1,2内不单调,所以g′x=若g′x=0在1,2则g′1g′2=若g′x=0在1,2则g′a2<0g′2>综上,实数a的取值范围是a故答案为:2214.0函数fx有两个不同的零点,即函数fx的图象与x轴有两个不同的交点,利用导数探讨函数的最值,函数fx=lnx−mx3+1当m≤0时,f′x>0,函数fx当m>0时,由f′x>0,得x∈0,函数fx在0,313mf而当x从大于0的方向趋近于0时,fx趋近于负无穷大;当x趋近于正无穷大时,fx函数fx=lnx−mx3+1因此23−13ln所以m的取值范围是0,故答案为:015.(1)x=8；(2)n=9(1)利用排列数公式,化简列出不等式求解即得.(2)利用组合数公式,化简列出方程求解即得(1)由A8x<6 A88于是8−x+28−x+1所以x=(2)原方程变形为Cn−15Cn−33+因此n−化简整理,得n2−3n−54=0所以n=16.(1)81(2)18(3)18(1)每个同学都有3种选择，利用分步乘法计数原理可得结果；(2)分析可知，丙、丁各有3种选择，利用分步乘法计数原理可得结果；(3)由题意可知，甲、乙报名的方法种数为3，丙有2种选择，丁有3种选择，利用分步乘法计数原理可得结果.(1)每个同学都有3种选择,则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为34(2)甲不能报A项目，乙必须报B项目，则丙、丁各有3种选择，所以不同的报名方法种数为2×(3)甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为3，丙不报A项目,则丙有2种选择,而丁有3种选择,由分步乘法计数原理可知,不同的报名方法种数为3×17.(1)解:由函数fx=lnx−所以f′1=2,且f1=−1,即切点坐标为所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为(2)证明:由函数fx=lnx−1由不等式fx≤2x−3要证lnx−1x≤2x−3令gx可得g′x=1x当x∈0,1时，g′x>0，当所以gx在0,1上单调递增,在当x=1时，gx取值最大值g1=0即lnx−2x2+3x−18.(1)10条.(2)21条.(3)155条.(1)先求出点A出发到达点F需要向上和向右的次数,再根据组合数求解即可;(2)先求出点A出发到达点C的最近路线有多少条，再计算两次向上行走连续且最近的路线,相减即可;(3)分类讨论分别经过F,H(1)由点A出发,沿着图中的线段到达点F的最近路线需要向上移动2次，向右移动3次，则由点A出发,沿着图中的线段到达点F的最近路线有C52(2)由点A出发，沿着图中的线段到达点C的最近路线需要向上移动2次，向右移动6次，则由点A出发,沿着图中的线段到达点C的最近路线有C82其中两次向上行走连续且最近的路线有7条.故所求路线有28−7(3)设H,K则由A出发,沿着图中的线段到达点D的最近路线可分为以下三种情况:①A→F→D，有②A→H→D，有③A→K→D，有故由A出发,沿着图中的线段到达点D的最近路线有100+5019.(1)因为fx则f′当0<a<2时，