第五章平行线中的“拐点”问题-人教版七年级数学下册同步练习

在我们学习平行线的性质与判定的过程中，除了直接应用定理解决一些基础问题外，常常会遇到一些图形中出现“拐角”的情况。这些“拐角”，我们通常称之为“拐点”。这类问题往往不能直接套用平行线的性质或判定定理，需要我们通过巧妙地添加辅助线，将复杂图形转化为我们熟悉的基本图形，从而找到角与角之间的关系。本章同步练习将围绕平行线中的“拐点”问题展开，帮助同学们掌握这类问题的解题思路与技巧。一、初识“拐点”——模型与思路当两条平行线被第三条直线所截时，我们能得到同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的基本结论。但当图形中出现“拐点”，即线条的走向发生改变时，原本清晰的角的关系就变得不那么直接了。核心思路：解决“拐点”问题的关键在于构造辅助线，通常是过“拐点”作已知平行线的平行线。这样做的目的是将一个复杂的“拐点”图形分解为两个或多个我们熟悉的“三线八角”基本图形，进而利用平行线的性质来沟通已知角与未知角之间的联系。（一）“铅笔”模型（或“凸”型）模型特征：两条平行线之间出现一个向外凸出的“拐角”，形成类似铅笔尖的形状。例如：如图1，已知AB∥CD，点E是AB、CD之间的一点，且在直线AB、CD的右侧，连接BE、DE，形成∠BED。思路分析与证明：过点E作EF∥AB。因为AB∥CD（已知），EF∥AB（所作），所以EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。因为EF∥AB，所以∠ABE=∠BEF（两直线平行，内错角相等）。因为EF∥CD，所以∠CDE=∠DEF（两直线平行，内错角相等）。所以∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE。结论：∠BED=∠B+∠D。即时小练1：如图1，AB∥CD，∠B=40°，∠D=30°，则∠BED=°。（二）“猪蹄”模型（或“M”型，“凹”型）模型特征：两条平行线之间出现一个向内凹陷的“拐角”，形成类似猪蹄或字母“M”的形状。例如：如图2，已知AB∥CD，点E是AB、CD之间的一点，且在直线AB、CD的左侧，连接BE、DE，形成∠BED。思路分析与证明：过点E作EF∥AB。因为AB∥CD（已知），EF∥AB（所作），所以EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。因为EF∥AB，所以∠ABE+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）。因为EF∥CD，所以∠CDE+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）。所以∠ABE+∠BEF+∠CDE+∠DEF=360°。即∠B+∠D+∠BED=360°。结论：∠B+∠D+∠BED=360°。即时小练2：如图2，AB∥CD，∠B=120°，∠D=110°，则∠BED=°。二、“拐点”的延伸与变化“拐点”问题并非只有上述两种简单模型，在实际题目中，“拐点”的数量、位置以及图形的组合都可能发生变化，但解决问题的核心思想——通过作平行线构造基本图形——是不变的。（一）多个“拐点”问题例如：如图3，AB∥CD，E、F是AB、CD之间的两点，连接BE、EF、FD。试探索∠B、∠BEF、∠EFD、∠D之间的数量关系。思路提示：可以尝试分别过点E、点F作AB的平行线，将图形分解为我们熟悉的基本模型，再逐步推导角之间的关系。即时小练3：如图3，AB∥CD，∠B=50°，∠BEF=150°，∠EFD=60°，则∠D=°。（二）“拐点”在平行线外部例如：如图4，AB∥CD，点E在AB的上方，连接BE交CD于点F。此时，∠B与∠D、∠E之间存在什么关系？思路提示：虽然“拐点”E在平行线外部，但依然可以考虑过“拐点”E或图形中的其他关键点作平行线，或者利用三角形外角的性质结合平行线性质进行分析。即时小练4：如图4，AB∥CD，∠B=45°，∠D=30°，则∠E=°。三、综合应用与提升例题1：已知：如图5，AB∥CD，∠AEC=90°。若∠EAB=120°，求∠ECD的度数。分析：图中∠AEC是一个“拐点”形成的角。过点E作EF∥AB，将∠AEC分成两个角，分别与∠EAB和∠ECD建立联系。解答过程：过点E作EF∥AB。∵AB∥CD，EF∥AB∴EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）∵EF∥AB∴∠EAB+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠EAB=120°∴∠AEF=180°-120°=60°∵∠AEC=90°，∠AEC=∠AEF+∠FEC∴∠FEC=∠AEC-∠AEF=90°-60°=30°∵EF∥CD∴∠ECD=∠FEC=30°（两直线平行，内错角相等）答：∠ECD的度数为30°。例题2：如图6，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，求∠BCD的度数。分析：本题中，点C可以看作是一个“拐点”。AB与DE平行，但BC和DC的走向使得直接应用性质困难。可以过点C作AB（或DE）的平行线。解答过程：过点C作CF∥AB。∵AB∥DE，CF∥AB∴CF∥DE（平行于同一条直线的两条直线互相平行）∵CF∥AB∴∠BCF=∠ABC=70°（两直线平行，内错角相等）∵CF∥DE∴∠CDE+∠DCF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠CDE=140°∴∠DCF=180°-140°=40°∵∠BCF=∠BCD+∠DCF∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=70°-40°=30°答：∠BCD的度数为30°。四、解题方法总结与小贴士1.识别“拐点”：仔细观察图形，找出线条方向发生改变的“拐点”。2.构造辅助线：过“拐点”作已知平行线的平行线是最常用的辅助线作法。3.转化思想：将复杂的“拐点”图形转化为一个或多个“三线八角”的基本图形。4.分步推理：利用所作的辅助线，将所求角与已知角通过平行线的性质（同位角、内错角相等，同旁内角互补）逐步联系起来。5.注意角的位置关系：在应用平行线性质时，要准确判断角是同位角、内错角还是同旁内角。6.多练习，多总结：“拐点”问题形式多样，但万变不离其宗，通过练习积累经验，总结不同类型“拐点”的处理方法。五、同步练习题A组（基础巩固）1.如图7，AB∥CD，∠B=65°，∠D=30°，则∠E=°。2.如图8，AB∥CD，∠B=110°，∠D=130°，则∠BED=°。3.如图9，AB∥CD，∠1=120°，∠2=80°，则∠3=°。B组（能力提升）4.如图10，AB∥CD，∠E=80°，∠B=35°，则∠D=°。5.如图11，已知AB∥DE，∠ABC=∠CDE，求证：BC∥EF。（提示：可延长BC交DE于点G，或过点C作平行线）6.如图12，AB∥CD，∠ABE=120°，∠DCE=35°，求∠BEC的度数。C组（拓展探究）7.如图13，AB∥CD，∠BAP=120°，∠APC=35°，求∠PCD的度数。8.一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过（如图14）。如果第一次拐弯的∠A是120°，第二次拐弯的∠B是150°，第三次拐弯的∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行。问∠C是多少度？小结平行线中的“拐点”问题是对平行线性质与判定的综合应用，也是七年级几何学习中的一个重点和难点。解决这类问题的关键在于准确识别图形特征，巧妙添加辅助线，将未知转化为已知。希望通过本章节的同步练习，同学们能够熟练掌握“拐点”问题的解题策略，提升几何直观和逻辑推理能力，为后续的几何学习打下坚实的基础。记住，勤思考，多动手，几何世界就会变得清晰而有趣。参考答案与提示（见下页）---参考答案与提示即时小练：1.70°2.130°3.40°（提示：过E作EF∥AB，过F作FG∥AB，则EF∥FG∥CD，利用平行线性质逐步计算）4.15°（提示：利用三角形外角性质或过E作平行线）同步练习题：A组1.95°（“铅笔”模型，∠E=∠B+∠D）2.120°（“猪蹄”模型，∠B+∠D+∠BED=360°）3.40°（提示：过∠2的顶点作AB的平行线，或利用三角形内角和）B组4.45°（提示：过E作AB的平行线，∠B+∠E=∠D，或∠D+∠E=∠B，注意方向）5.提示：延长BC交DE于点G，因为AB∥DE，所以∠ABC=∠BGD。又因为∠ABC=∠CDE，所以∠BGD=∠CDE，所以BC∥EF（同位角相等，两直线平行）。6.95°（提示：过E作EF∥AB，则∠BEF=60°，∠FEC=35°，所以∠BEC=60°+35°=95°）C组7.115°（提示：过P作PE∥AB，则∠APE=60°，∠EPC=95°，所以∠PCD=∠EPC=95°？注意方向，应为180°-95°=85°？此处需仔细画图分析，正确答案应为85°。过P作PE∥AB，则∠BAP+∠APE=180°，∠APE=60°，∠EPC=∠APC-∠APE=35°-60°？不对，点P位置不同，∠APC是∠APE与∠EPC的差还是和？需要准确画图。若AB∥CD，P在AB、CD下方，则过P作PE∥AB，则∠BAP+∠APE=180°，∠APE=60°，∠EPC=∠APE-∠APC=60°-35°=25°，∠PCD=∠EPC=25°？此提示意图形的多样性，需根据具体图形分析，此处原答案115°可能对应P在AB、CD上方的“凹”型，则∠PCD=180°-(∠APC-(180°-∠BAP))=180°-(35°-60°)=180°-(-25°)=205°，显然不对。因此，准确画图是前提，建议同学们自己画出规范图形再求解。正确图形下，若∠BAP=120°（在AB上方），AB∥CD，则过P作PE∥AB，则∠APE=180°-120°=60°，∠EPC=∠APE-∠APC=60°-35°=25°，所以∠PCD=∠EPC=25°。原答案可能有误，强调画图和严谨性。）8.150°（提示：过点B作与第一次拐弯前道路平行的直线，利用平行