2026年高考数学终极冲刺：限时预测01（A+B+C三组解答题）（原卷版及全解全析）

1/19限时预测01（A组+B组+C组）（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）为适应AI（人工智能）的发展与其对工作的影响，某公司在甲、乙两个部门随机调查了50名职工，对他们是否熟练使用AI工具进行了测试，测试结果如下表．不熟练熟练合计甲部门62430乙部门81220合计143650(1)分别估计甲、乙两个部门的职工熟练使用AI工具的概率；(2)根据小概率值α=0．附：χP0.050.010.001k3.8416.63510.82816．（15分）已知数列an满足a1=3,a2=8，且对任意的正整数(1)证明：数列an(2)设bn=2n+3anan+117．（15分）如图，在三棱柱ABC−A1B1C(1)求证：CC1⊥(2)若BC=4.（i）求三棱柱ABC−A（ii）求平面ABC与平面ACC18．（17分）已知椭圆C的方程为x2a2+y(1)求C的方程；(2)设C的左顶点为E，动直线l的斜率为k，且l与C交于P,Q两点，O为坐标原点.（i）若k=1，且△EPQ的重心在y轴上，求l的方程；（ii）若l经过C的右焦点F，点P在第一象限，N是P关于原点的对称点，且四边形OFQN与△POQ的面积之比为5:3，求k的值.19．（17分）已知函数fx(1)当a=2时，求fx在点0,f(2)当a≥35时，证明：对任意x≥0，都有(3)证明：k=1nsin1（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f(x)=sin(ωx+π(1)求ω以及曲线y=f(x)的对称中心；(2)讨论函数g(x)=f(x)−x在区间(0,π16．（15分）已知椭圆C：x2a2+y(1)求C的方程；(2)设Q为C上一动点，当PQ+QF取得最大值时，求直线QF被17．（15分）如图，正三角形ABC′和平行四边形ABDE在同一个平面内，其中AB=4，BD=AD=31，AB，DE的中点分别为F，G．将△ABC′沿直线AB翻折到△ABC，使二面角C−AB−D(1)求证：平面CDF//平面AGH(2)求平面CDE与平面DEF的夹角的余弦值．18．（17分）已知函数fx=2e(1)讨论fx(2)若fx在R上有两个零点，求实数a(3)若函数gx=12fx−19．（17分）流行病学调查表明某种疾病S是由致病菌α和致病菌β共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈.(1)若有某种治疗方案M，有23的概率能杀灭致病菌α.若这种治疗方案能杀灭致病菌α，则它有34的概率能杀灭致病菌β.若这种治疗方案不能杀灭致病菌α，则它有14的概率能杀灭致病菌β.求使用治疗方案M(2)若市面上仅有两款药物A和药物B对疾病S有疗效，且这两种药物的疗程各均为3天（假定药物使用时，均按疗程服用3天），超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈.已知药物A杀灭致病菌α和致病菌β的概率分别为45、710，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立.药物B杀灭致病菌α和致病菌β的概率均为(3)已知某种药物C能治愈疾病S的概率为P0.设针对药物C的nn≥3次临床试验中有连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为Pn（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）为比较A、B两种AI教学系统在提升教师备课效率方面的差异，研究人员在某地区随机招募了200名教师，并随机分配其中100名使用系统A，其余100名使用系统B．经过一个月的试用后，以“备课时间减少15%以上”作为备课效率显著提升的标准，经整理得到如下列联表：备课效率使用的教学系统显著提升没有显著提升合计系统A7525100系统B5545100合计13070200(1)记事件“该地区教师使用系统A后，备课效率显著提升”的概率为P，求P的估计值；(2)根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析这两种AI教学系统在显著提升教师备课效率方面是否存在差异．附：χ2α0.050.0050.001x3.8417.87910.82816．（15分）已知数列an的前n项和为Sn，a1(1)证明：数列Sn(2)记bn=1anan+117．（15分）如图，直角梯形ABCD中，AB//CD,AB⊥BC,BC=CD=12AB=2,E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到点P(1)设平面PBC与平面PDE的交线为l，证明：BC//l；(2)证明：PE⊥平面BCDE；(3)求二面角B−PC−D的余弦值．18．（17分）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左顶点为A，右焦点为Fc,0，过(1)求双曲线C的离心率；(2)若C经过点B4,14，M为（ⅰ）当l的斜率为3时，求△MPQ的面积的最小值；（ⅱ）设D0,2，N为C的右支上一动点，若M,A,N三点不共线，且AD平分∠MAN，证明：直线19．（17分）已知函数f(x)=e(1)若a=2，求f(x)的单调区间；(2)∀x∈[0,+∞)，f(x)≥cos(3)若a=1,x∈[−2π,+∞)时，y=m与y=f(x)的图象有三个交点，横坐标分别为xp，xq，

限时预测01（A组+B组+C组）（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）为适应AI（人工智能）的发展与其对工作的影响，某公司在甲、乙两个部门随机调查了50名职工，对他们是否熟练使用AI工具进行了测试，测试结果如下表．不熟练熟练合计甲部门62430乙部门81220合计143650(1)分别估计甲、乙两个部门的职工熟练使用AI工具的概率；(2)根据小概率值α=0．附：χP0.050.010.001k3.8416.63510.828【答案】(1)4(2)甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度没有差异【详解】（1）解：根据统计表格中的数据，可得甲部门的职工熟练使用AI工具的概率为2430=4乙部门的职工熟练使用AI工具的概率为1220=（2）解：零假设为H0根据2×2列联表中的数据，计算可得χ2=根据小概率值α=0．即认为甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度没有差异．1316．（15分）已知数列an满足a1=3,a2=8，且对任意的正整数(1)证明：数列an(2)设bn=2n+3anan+1【答案】(1)证明见解析(2)S【详解】（1）根据题意，令cn当n≥2时，cn+1cn−c所以cn+1且c1=a所以数列an−n2是首项为2（2）根据（1）可得an−n2则bn=2n+3所以S=13−117．（15分）如图，在三棱柱ABC−A1B1C(1)求证：CC1⊥(2)若BC=4.（i）求三棱柱ABC−A（ii）求平面ABC与平面ACC【答案】(1)证明见解析(2)（i）82；（ii）1【详解】（1）在△ACC1中，由得AC1=AC1⊥CC1，由四边形BC又AC1,B1所以CC1⊥平面AB（2）（i）由（1）知CC1⊥平面AB1C1则平面BCC1B1⊥平面AB1由AB=AC,BB1=CC1，得△AB取B1C1中点O，连接AO，则AO⊥B1所以V三棱柱ABC−A1（ii）以点O为原点，直线OC1,OA分别为x轴，z轴，过点O与平面A建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,22AC=(2,2,−2设平面ABC的法向量n=(a,b,c)则n⋅AC=2a+2b−22c=0设平面ACC1的法向量为则m⋅AC=2x+2y−22z=0m⋅设平面ABC与平面ACC1的夹角为则cosθ=|所以平面ABC与平面ACC1夹角的余弦值为13.18．（17分）已知椭圆C的方程为x2a2+y(1)求C的方程；(2)设C的左顶点为E，动直线l的斜率为k，且l与C交于P,Q两点，O为坐标原点.（i）若k=1，且△EPQ的重心在y轴上，求l的方程；（ii）若l经过C的右焦点F，点P在第一象限，N是P关于原点的对称点，且四边形OFQN与△POQ的面积之比为5:3，求k的值.【答案】(1)x(2)（i）y=x−73【详解】（1）由长轴长为6，可得2a=6,a=3，则a2将点M的坐标2,53代入椭圆方程，可得解得b2=5.故C的方程为x29+y（2）（i）由（1）可知E−3,0，设直线l:y=x+m,P联立得y=x+m,x29由Δ>0，可得−14<m<14△EPQ的重心的横坐标为−3+x1+即−9m7=3,m=−故直线l的方程为y=x−73.（ii）由（i）可知F2,0设PQ:x=ty+2t≠0联立得x=ty+2,x29则y如图，因为△POQ的面积S1四边形OFQN的面积S所以S2S1=y1故y1y1y2=−2联立①②，得20t5t2+92故解得t=33，所以k=3.19．（17分）已知函数fx(1)当a=2时，求fx在点0,f(2)当a≥35时，证明：对任意x≥0，都有(3)证明：k=1nsin1【答案】(1)y=7x(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）当a=2时，fx则f′所以f′0=8−1=7，f故当a=2时，fx在点0,f0处的切线方程为y=7x.（2）对任意的x≥0，当a≥35时，故只需证35x4+cosx构造函数ℎx=3则ℎ=−3cosx−1所以函数ℎx在0,+∞上为减函数，故当x≥0时，ℎx故对任意的x≥0，35故当a≥35时，对任意x≥0，都有fx=ax（3）由（2）知，当a=35时，3sin令x=1k+2k∈因为4+cos1k+2构造函数φx=x−1−lnx，其中当x∈0,1时，φ′x<0，即函数当x∈1,+∞时，φ′x>0所以φx=x−1−lnx≥φ1=0，即令x=k+1k+2<1k∈N整理得1k+2则sin1即sin1k+2<−所以sin13<−ln2+ln3累加得k=1=ln故k=1nsin1k+2<ln（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f(x)=sin(ωx+π(1)求ω以及曲线y=f(x)的对称中心；(2)讨论函数g(x)=f(x)−x在区间(0,π【答案】(1)ω=2，对称中心为(k(2)在(2π3【详解】（1）由函数f(x)的最小正周期为π，得2πω=则f(x)=sin(2x+π3)令2x+π3=k所以f(x)的对称中心为(kπ2−（2）由（1）得g(x)=sin(2x+π由x∈(0,π)，得由g′(x)>0⇔cos(2x+π由g′(x)<0⇔cos(所以函数g(x)在(2π3,π)16．（15分）已知椭圆C：x2a2+y(1)求C的方程；(2)设Q为C上一动点，当PQ+QF取得最大值时，求直线QF被【答案】(1)x(2)25【分析】（1）由椭圆的性质结合点在椭圆上代入解方程可得；（2）由椭圆的性质得到当P，F′，Q三点共线时PQ【详解】（1）设C半焦距为c，因为F1,0，故c=1又C过点P−1,32由椭圆的几何性质有a2=b2+故a2=4，所以C的方程为x24+y23（2）设C的左焦点为F′则PQ+QF≤PF′+QF因为F1,0，故直线QF的方程为y=34x−1与C的方程联立有y=3整理有7x2−6x−13=0，Δ=36+4×7×13=400>0，解得x1=−1故直线QF被C截得的弦长为1+342x1−17．（15分）如图，正三角形ABC′和平行四边形ABDE在同一个平面内，其中AB=4，BD=AD=31，AB，DE的中点分别为F，G．将△ABC′沿直线AB翻折到△ABC，使二面角C−AB−D(1)求证：平面CDF//平面AGH(2)求平面CDE与平面DEF的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)4【详解】（1）因为四边形ABDE为平行四边形，F、G分别为AB,DE的中点，所以四边形FDGA为平行四边形，所以FD//因为FD⊄平面AGH，AG⊂平面AGH，所以FD//平面AGH又H、G分别为CE,DE的中点，所以HG//CD．CD⊄平面AGH，HG⊂平面AGH，所以CD//平面AGH因为FD、CD⊂平面CDF，FD∩CD=D，所以平面CDF//平面AGH．（2）因为三角形ABC为正三角形，BD=AD，F为AB的中点，所以AB⊥CF，AB⊥DF，所以∠CFD为二面角C−AB−D的平面角，又CF∩DF=F，CF,DF⊂平面CDF，所以AB⊥平面CDF，因为AB⊂平面ABDE，所以平面CDF⊥平面ABDE．作CO⊥平面ABDE于O，则O在直线DF上．又二面角C−AB−D的平面角为∠CFD=120°，所以O在线段DF的延长线上．由已知得CF=23，则FO=3，CO=3．以F为原点，FD,FA所在直线分别为x轴、y轴，过点F平行于OC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，因为AB=4，BD=AD=31，所以DF=33，则A0,2,0，B0,−2,0，D33,0,0则CD=43设平面CDE的一个法向量为n=则由n⊥CD，n⊥令z=43，得n=3,0,4易得平面DEF的一个法向量m=所以平面CDE与平面DEF的夹角的余弦值为cosn,m=n⋅18．（17分）已知函数fx=2e(1)讨论fx(2)若fx在R上有两个零点，求实数a(3)若函数gx=12fx−【答案】(1)a≤0时，fx在R上单调递增，a>0时，fx在−∞(2)2(3)证明见解析【详解】（1）fx=2ex−ax当a≤0时，f′x>0,fx在R上单调递增；当a>0时，由由f′x>0得x>lna2，由则fx在−∞,综上，a≤0时，fx在Ra>0时，fx在−∞,lna（2）因为fx在R上有两个零点，所以a≠0由fx=0得xex=所以m′1=0,x>1，时，m所以mx在−∞,1mx有极大值，也就是最大值为m1=又m0=0,x无限趋近+∞所以fx在R上有两个零点时，0<所以a>2e，即a的取值范围是2e,+（3）因为gx=1所以g'x=所以ex1−2设t=x2−x1所以ex1+所以要证ex1+ex设ℎt=t−2et令φt=t−1et+1，则又ℎ′0=0，所以t>0时，ℎ所以ℎt>ℎ0=0，即t−2et19．（17分）流行病学调查表明某种疾病S是由致病菌α和致病菌β共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈.(1)若有某种治疗方案M，有23的概率能杀灭致病菌α.若这种治疗方案能杀灭致病菌α，则它有34的概率能杀灭致病菌β.若这种治疗方案不能杀灭致病菌α，则它有14的概率能杀灭致病菌β.求使用治疗方案M(2)若市面上仅有两款药物A和药物B对疾病S有疗效，且这两种药物的疗程各均为3天（假定药物使用时，均按疗程服用3天），超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈.已知药物A杀灭致病菌α和致病菌β的概率分别为45、710，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立.药物B杀灭致病菌α和致病菌β的概率均为(3)已知某种药物C能治愈疾病S的概率为P0.设针对药物C的nn≥3次临床试验中有连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为Pn【答案】(1)8(2)先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短(3)证明见解析【详解】（1）设使用治疗方案M治愈疾病S为事件D，使用治疗方案M能杀灭致病菌α为事件E，则PD因为事件E发生则事件D必发生，故P(ED)=P(E)=23，PE|D=PED（2）设PA表示药物A能治愈疾病S的概率，PB表示药物B能治愈疾病则有PA=1−设先用药物A再用药物B来治愈疾病S所需的天数为X1，先用药物B再用药物A来治愈疾病S所需的天数为X则PX1=3=PA所以E=9−6P=9−6×4750−3×99100+3×同理得PX2=3=P则有EX从而有EX因此需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短.9（3）设针对药物C的n次临床试验中未出现连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为Qn因此有Qn+1=1−P0由Qn=1−Pn可得Pn这表明Pn随n增大而增大，Qn随n增大而减小，所以有另一方面，由Qn+1可得Qn+1<1−注意到Q3=1−P即Qn<1−因为Qn=1−P综上所述，Pn+1>Pn（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）为比较A、B两种AI教学系统在提升教师备课效率方面的差异，研究人员在某地区随机招募了200名教师，并随机分配其中100名使用系统A，其余100名使用系统B．经过一个月的试用后，以“备课时间减少15%以上”作为备课效率显著提升的标准，经整理得到如下列联表：备课效率使用的教学系统显著提升没有显著提升合计系统A7525100系统B5545100合计13070200(1)记事件“该地区教师使用系统A后，备课效率显著提升”的概率为P，求P的估计值；(2)根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析这两种AI教学系统在显著提升教师备课效率方面是否存在差异．附：χ2α0.050.0050.001x3.8417.87910.828【答案】(1)3(2)存在差异【详解】（1）解法一：由表格可知“该地区教师使用系统A后，备课效率显著提升”的人数有75人，故P≈75100=34解法二：设事件“该地区教师使用系统A”为M，事件“备课效率显著提升”为N．由频率估计概率得PM=100200=0.5由条件概率公式得PNM=PMNPM（2）零假设为H0根据表中数据可得，χ2=200×根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H0即认为这两种AI教学系统在显著提升教师备课效率方面存在差异，此推断犯错误的概率不超过0.005．1316．（15分）已知数列an的前n项和为Sn，a1(1)证明：数列Sn(2)记bn=1anan+1【答案】(1)证明见详解(2)T【详解】（1）由Sn=na即Sn=nS所以nS又a1=2，所以S11=a（2）由（1）知数列Sn所以Sn当n≥2时，an当n=1时，a1=4×1−2=2满足条件，所以an所以bn所以Tn=1817．（15分）如图，直角梯形ABCD中，AB//CD,AB⊥BC,BC=CD=12AB=2,E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到点P(1)设平面PBC与平面PDE的交线为l，证明：BC//l；(2)证明：PE⊥平面BCDE；(3)求二面角B−PC−D的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)−【详解】（1）由BE//CD，BE=CD=2，得四边形BCDE为平行四边形，则BC//ED，而ED⊂平面PDE，BC⊄平面PDE，则BC//平面PDE，2又平面PDE∩平面PBC=l,BC⊂平面PBC，所以BC//l.4（2）由PE=AE=2,EC=22,PC=23，得P由四边形BCDE是正方形，得AE⊥ED，则PE⊥ED，7而EC∩ED=E,EC,ED⊂平面BCDE，所以PE⊥平面BCDE.9（3）由（2）得，直线EB,ED,EP两两垂直，以E为原点，直线EB,ED,EP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则B(2,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0)，PD=(0,2,−2),设平面PCD的一个法向量m=(a,b,c)则n⋅PD=2b−2c=0n⋅设平面PCB的一个法向量n=(x,y,z)则n⋅PB=2x−2z=0n⋅PC=2x+2y−2z=0因此cos〈m,所以二面角B−PC−D的余弦值为−12.18．（17分）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左顶点为A，右焦点为Fc,0，过(1)求双曲线C的离心率；(2)若C经过点B4,14，M为（ⅰ）当l的斜率为3时，求△MPQ的面积的最小值；（ⅱ）设D0,2，N为C的右支上一动点，若M,A,N三点不共线，且AD平分∠MAN，证明：直线【答案】(1)2(2)（ⅰ）26【详解】（1）当l⊥x轴时，c2a2由PQ=2c，得2b2整理得2e2−2e故双曲线C的离心率为2．3（2）由（1）知，e=ca=2，又c2=将B4,14代入，得a2=16−14=2，故（ⅰ）当l的斜率为3时，其直线方程为y=3x−2，设Px联立y=3x−2,则x1+x所以PQ=1+32设过点M与直线PQ平行的直线l′的方程为y=3x+m，当直线l′与C的左支相切时，直线l′联立y=3x+m,x则Δ=23当m=2时，直线l′与C当m=−2时，直线l′与C所以直线l′与直线PQ之间的距离d=故△PQM的面积的最小值为S△MPQ=1（ⅱ）证明：由上可知，A−2,0，所以直线AD因为A