2026年高考数学终极冲刺：限时预测02（A+B+C三组解答题）（解析版）

1/19限时预测02（A组+B组+C组）（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分）已知函数，其中．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，求的取值范围．【解】（1）第一步：确定定义域，函数求导由题意可知：函数的定义域为，且，…………2分第二步：讨论的取值，确定单调性若，则，可知函数在内单调递增；………4分若，令，解得；令，解得；可知函数在内单调递减，在内单调递增；……6分第三步：总结综上所述：若，函数在内单调递增；若，函数在内单调递减，在内单调递增.…………………7分（2）第一步：分析时，零点的情况因为函数有两个零点，若，函数在内单调递增，可知函数至多有一个零点，不合题意；…………9分第二步：分析时，零点的情况若，函数在内单调递减，在内单调递增，且当趋近于0或时，函数趋近于，可得，解得；…………12分第三步：结论综上所述：实数的取值范围为.…………13分16．(本小题满分15分）如图，已知四棱锥中，平面，四边形中，，，，，，点在平面内的投影恰好是△的重心．(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【解】（1）第一步：证明，因为平面，平面，所以，因为，所以，………3分第二步：证明线面垂直因为，平面，平面，所以平面，……6分第三步：证明面面垂直又因为平面，所以平面平面，所以平面平面．…8分（2）第一步：证明，取中点，连接，因为，，，，所以四边形是矩形，所以，因为平面，所以，，………9分第二步：建立空间直角坐标系所以、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系：第三步：设点的坐标及，，，，，设，则，，，，…………11分第四步：求平面的法向量因为点在平面内的投影恰好是△的重心，所以，所以，所以，，又，，令，因为，，所以是平面的法向量，的方向向量是，…………13分第五步：直线与平面所成角的正弦值所以直线与平面所成角的正弦值为.故直线与平面所成角的正弦值为.………15分【规律方法】利用空间向量求线面角的解题步骤17．(本小题满分15分）已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点.(1)若直线经过坐标原点，且直线，的斜率，均存在，求；(2)设直线与直线的交点为，且，证明：直线与直线的斜率之和为0.【解】（1）第一步：设点的坐标，并表示出两直线的斜率当直线经过坐标原点时，，两点关于原点对称.设，，，于是，.…………2分第二步：将点的坐标代入双曲线方程，并作差因为，，三点都在双曲线，所以，两式作差，，…………4分第三步：求出所以.…………6分（2）第一步：设直线的方程及点的坐标，表示出和已知，由题意可知均有斜率，可设直线，直线，，，，.，.…………8分第二步：联立方程，消去，写出根与系数的关系联立直线方程与双曲线的方程：.整理得，，当时，.，.…………10分第三步：用，分别表示出，于是，同理可得，.…………13分第四步：利用证明结论因为，所以整理得，，而，所以.…………15分【规律方法】圆锥曲线中的范围或最值或定值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的数量积坐标运算.18．(本小题满分17分）某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布.附：若，取，.(1)求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差；(2)若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作.

系统正常工作的概率称为系统的可靠性.①若控制系统原有个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？②假设该系统配置有个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明.【解题指导】（1）确定件，→利用正态分布三原则求解（2）①二项分布→求→求→作差比较大小；②比较不同的取值下可靠性的大小关系即可.【解】（1）第一步：求出技术改造前的优品率技术改造前，易知，，则其优品率为；…………2分第二步：求出技术改造后的优品率技术改造后，，，则其优品率为.………4分第三步：求出优品率之差所以优品率之差为.…………5分（2）①第一步：设随机变量和，写出和服从的分布记为原系统中正常工作元件个数，为增加一个元件后正常工作元件个数.由条件知，，.…………6分第二步：求，…………7分第三步：求.…………8分第四步：作差法比较与的大小，得出结论因为，所以可靠性提高.…………9分②第一步：分别写出随机变量和服从的分布根据上一问的假设，易知，.…………10分第二步：分析为奇数时的情况当为奇数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知，.所以，，这说明可靠性降低.…………13分第三步：分析为偶数时的情况当为偶数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知，.所以，，这说明可靠性提高.………………16分第四步：总结综上，当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高.…………17分【一题多解】设两两独立且均服从二项分布，记，则该系统配置有个元件时，系统的可靠性为.则，…………10分且.…………12分这就得到，.这表明，当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高.注意到服从二项分布，故.………14分进行完以上准备工作后，我们回到原题.①若控制系统原有个元件，则系统的可靠性为.而是偶数，所以增加一个元件后系统的可靠性会提高；…………16分②根据上面的结论，当为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高.…………17分【规律方法】解决正态分布问题有三个关键点（1）对称轴x＝μ；（2）标准差σ；（3）分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.19．(本小题满分17分）混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等，其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一，假设在一个混沌系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态满足，，其中.(1)当时，若满足对，有，求的通项公式；(2)证明：当时，中不存在连续的三项构成等比数列；(3)若，，记，证明：.【解题指导】（1）把代入→两个递推关系→建立方程组求解.（2）反证法→结合已知定义导出矛盾即可得证.（3）确定数列的范围→数列的单调性→利用结合放缩法推理可得.【解】（1）第一步：写出与的关系式当时，，依题意，①，②，……2分第二步：求出两式作差，，则或，若，代入①式解得，或，而，于是；若，将代入②式解得，.因此必有.…………4分第三步：求出的通项公式注意到，，从而由归纳即知是常数列.所以的通项公式为.…………5分（2）第一步：假设连续三项构成等比数列，得假设，，构成等比数列，则.那么由，可知.……7分第二步：得到矛盾，从而得结论又，则，解得，与矛盾.所以中不存在连续的三项构成等比数列.…………9分（3）第二步：证明由于当时，有，，即.而，，故归纳即知对任意正整数都有.…………12分第二步：判断数列的单调性又由及可知，故数列单调递减.…………14分第三步：利用放缩法证明不等式又由于，故.…………17分【规律方法】涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.（建议用时：60分钟满分：77分）15．（本小题满分13分）某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下：出行方式地铁公交车出租车自驾骑行步行频数542738421821用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行：(1)若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和；(2)据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率.【解】（1）第一步：记“一位参加活动的游客低碳出行”为事件，根据题中的表格求出记“低碳出行”为事件，估计.…………2分第二步：确定随机变量X服从二项分布,根据公式求出及则…………3分，…………5分；…………7分（2）第一步：记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件B，并求出，，.由（1）知，则有，记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件，由题意，，…………9分第二步：根据全概率公式求出所以.…………13分16．（本小题满分15分）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：.【解】（1）第一步：求，，…………1分，则，…………3分第二步：根据直线的点斜式方程求出切线方程曲线在点处的切线方程为.…………5分（2）解法1：第一步：求的定义域定义域为.…………6分第二步：证明当时恒成立①当时，，，则，即；…………7分第三步：当时，对函数求导②当时，.……8分第四步：令，对求导，确定的单调性，证明设，，由于均在上单调递增，故在上单调递增，，所以，………10分第五步：确定函数在上单调递增，从而证明所以在上单调递增，，，即，……………12分所以在上单调递增，，则，……14分第六步：下结论综上所述，.…………15分解法2：第一步：求的定义域定义域为.…………7分第二步：将变形为要证，只需证，只需证，…………10分第三步：对函数求导，并确定其单调性和最值令，，，当，，单调递减；当，，单调递增，，…………12分第四步：对函数求导，并确定其单调性和最值，当，，单调递增；当，，单调递减，，…………14分第五步：问题得证综上所述，，也就是，即……15分【方法规律】利用导数比较大小或者证明的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)利用导数研究的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．17．（本小题满分15分）如图，四棱锥的底面是边长为2菱形，，，分别是，的中点.(1)求证；平面；(2)若，，，求平面与平面所成角的余弦值.【解】（1）第一步：作辅助线,证明四边形为平行四边形取的中点为，连接，.点，分别是，的中点，是的中位线，即，，在菱形中，，.，，即四边形为平行四边形，…………2分第二步：列举与平面平行的条件，证出结论则，…………3分又平面，平面，平面.…………5分（2）第一步：连接，，证明平面连接，，，，，平面，平面，平面，…………6分第二步：证明，从而得到两两垂直的三条直线又平面，，…………7分，又，则，所以.即直线，，两两垂直.…………8分第三步：建立空间直角坐标系，并写出相关点和向量的坐标如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，………9分，，，.………10分第四步：求平面和平面的法向量设平面的法向量为，平面的法向量为，由得取.…………11分由得取.…………12分第五步：求平面与平面夹角的余弦值设平面与平面所成角为，则，…………14分即平面与平面所成角的余弦值为.…………15分18．（本小题满分17分）在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为.(1)求，，，；(2)求数列的通项公式；(3)是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解题指导】（1），，公差为2的等差数列→，，公差为4的等差数列→求，，，（2），，成等差数列→→分与两种情况求解；（3）等比中项的性质→结合通项公式求解即可.【解】（1）由题意，，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4.…………1分则，，，.………………5分（2）第一步：根据，，成公差为的等差数列，得由题意，.…………6分第二步：求出当为奇数时的通项公式当，时，，……8分且满足上式，所以当为奇数时，.………………9分第三步：求出当为偶数时的通项公式当时，.…………11分第四步：总结所以…………12分（3）第一步：写出结论存在时，使得，，，成等比数列证明如下：…………13分第二步：表示出由（2）可得，，…14分第三步：根据，求出假设，，成等比数列，则，…………15分化简得，所以，即，…………16分第四步：验证并总结此时，所以当时，，，，成等比数列.……………17分19．（本小题满分17分）已知集合，，设函数.(1)当和时，分别判断函数是否是常数函数？说明理由；(2)已知，求函数是常数函数的概率；(3)写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由.【解题指导】（1）分情况讨论→诱导公式→同角三角函数关系式→二倍角公式化简函数→常数函数常数函数→和差角公式→三角函数方程→古典概型概率；（3）常数函数→三角恒等变换→分情况讨论→找充分条件.【解】（1）当时，，此时是常数函数；当时，，此时不是常数函数.…………2分（2）第一步：设，，对函数降幂设，不妨令.………………4分第二步：确定函数是常数函数时集合中的元素满足的条件若函数是常数函数，则………5分则，得，所以，得或，，所以或，，…………6分同理或，，或，，…………7分则①…8分第三步：求出从集合中任取3个元素的所有可能情况种数集合共有13个元素，从中任取3个元素组成集合，共个，…………9分第四步：求符合条件的集合的可能情况种数而满足①的集合有，，，，，共5个，第五步：求函数是常数函数的概率则使得函数是常数函数的概率为.…………10分（3）第一步：求函数是常数函数的条件不妨令，因为，若函数是常数函数，则得，所以，得，，所以，，………12分第二步：根据是常数函数的条件，确定为偶数时，是常数函数的一个充分条件①当为偶数时，可以拆分成组两项（，）的和，每一组为定值时，也为定值，…………13分所以函数是常数函数的一个充分条件可以是……14分第三步：由和是常数函数的条件，确定为奇数时，是常数函数的一个充分条件②当为奇数时，可以拆分成1组三项的和与组两项（，）的和，每一组为定值时，也为定值，…………15分所以函数是常数函数的一个充分条件可以是.…………16分第四步：总结综上所述，当为偶数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是；当为奇数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是.……………………17分（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分）如图所示的空间几何体是以为轴的圆柱与以为轴截面的半圆柱拼接而成，其中为半圆柱的母线，点为弧的中点.(1)求证：平面平面；(2)当，平面与平面夹角的余弦值为时，求点到直线的距离.【解】（1）过作交弧上一点，连结，如图所示：则为弧的中点，则且，所以四边形为平行四边形，所以.…………2分由题意可知，，为等腰直角三角形，则；因为为弧的中点，所以,则为等腰直角三角形，则，…………4分所以，则,因为，则，又，又因为、面，所以平面，因为面，所以平面平面.…………6分第一步：建系，，写出相关点和向量的坐标由题意知，两两垂直，所以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：设，又，则，，，，，，，，，，……………7分第二步：表示出平面和平面的法向量设平面的一个法向量为，则，即，令，，设平面的一个法向量为，则，即，令，，……………10分第三步：用表示出平面与平面夹角的余弦值，并求出设平面与平面的夹角为，解得（负舍），……11分第四步：求点到直线的距离所以，，，则，所以点到直线的距离为.…………13分16．(本小题满分15分）阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.某年级共有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了解学生每个学期的阅读时长，采用分层抽样的方法抽取样本，收集统计了他们的阅读时长（单位：小时），计算得男生样本的均值为100，标准差为16，女生样本的均值为90，标准差为19.(1)如果男、女的样本量都是25，请估计总样本的均值.以该结果估计总体均值合适吗？为什么？(2)已知总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本的均值为，样本方差为.（ⅰ）证明：；（ⅱ）如果已知男、女样本量按比例分配，请直接写出总样本的均值和标准差（精确到1）：(3)假设全年级学生的阅读时长服从正态分布，以（ⅱ）总样本的均值和标准差分别作为和的估计值.如果按照的比例将阅读时长从高到低依次划分为，，，四个等级，试确定各等级时长（精确到1）.附：，，，.【解】（1）第一步：求出均值总样本的均值为.…………2分第二步：判断是否合适用该结果作为总体均值的估计不合适，因为男生和女生的阅读习惯差异比较大，这个样本的分布与的分布相差可能比较大，所以总样本均值作为总体均值的估计有偏差.…………4分（2）（ⅰ）第一步：写出方差的式子，并对式子进行拆分证明：根据方差的定义，总样本方差为.………6分第二步：证明，∵，同理.…………7分第三步：证明方差公式因此，.…………8分（ⅱ）因为是按比例分配分层随机抽样，所以，得男生样本的均值为，方差为，女生样本的均值为，方差为，…………9分记总样本的均值为，方差为，则，所以又，所以.总样本的均值为96，标准差约为18.…………11分（3）第一步：写出μ和σ的值由（2）知，，所以服从正态分布，………12分第二步：写出各分数段对应的概率所以，.，………14分第三步：划分等级故可将定为等级，定为等级，定为等级，定为等级.…………15分17．(本小题满分15分）已知函数（）.(1)求在区间上的最大值与最小值；(2)当时，求证：.【解】（1）第一步：求导，判断导函数的单调性，求出导函数的零点（）（），令，则，…………1分第二步：求时函数的最值当时，，所以在区间上恒成立，在区间上单调递增，所以，…………3分第三步：求时函数的最值当时，，则当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增，所以，而，.所以………6分第四步：总结综上所述，当时，，；当时，所以，.………7分第一步：放缩，将问题转化为证明因为，，所以，欲证，只需证明，…………8分第二步：构造函数，求导设，（），，……9分第三步：构造函数，确定的零点令，易知在上单调递增，而，，所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的使得，即，…………11分第四步：判断函数的单调性，求出的最值因此，，当时，，，在上单调递减；当时，，，在上单调递增；……13分所以第五步：得出结论所以，因此.…………15分【一题多解】因为，，所以，欲证，只需证明，…………8分只需证明，…………9分因此构造函数（），，…………11分当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增：…………13分所以，所以，所以，因此.…………15分【规律方法】作差构造法证明不等式的基本步骤（1）作差或变形：将不等式f（x）＞g（x）（或f（x）＜g（x））变形为f（x）－g（x）＞0（或f（x）－g（x）＜0）；（2）构造新的函数：h（x）＝f（x）－g（x）；（3）利用导数研究函数h（x）的性质，得到所证不等式.18．(本小题满分17分）已知抛物线：，直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.(1)若直线过的焦点.(i)当的面积最小时，求直线的方程；(ii)当，记的外接圆与的另一个交点为，求；(2)设圆（，）与交于四点，，，，记弦，的中点分别为，，求证：线段被定点平分，并求定点坐标.【解题指导】（1）(i)设出直线为→抛物线的方程联立→韦达定理→弦长公式和三角形面积公式→求面积的最小值.(ii)设，，→讨论直线斜率得存在性→根据抛物线得定义及、、、四点共圆→记、、、的倾斜角分别为、、、→斜率分别对应、、、，→求点坐标→求.（2）设，，→求中点→类比小问1中的第二问解法二→，→点坐标→线段被定点平分.【解】（1）由题意可知直线不会与抛物线对称轴平行，设，.因为过，设直线为，与方差联立可得：，所以有，.…………2分（ⅰ）点到直线的距离为，又因为：，所以.当，的面积取得最小值2，此时直线方程为.……………4分（ⅱ）设，，，若垂直于轴，此时，所以由可知斜率存在，因为弦过抛物线的焦点，所以，由抛物线定义可知，，所以，即，因为，，所以，解得.…………6分因为、、、四点共圆,所以和相等或互补，记、、、的倾斜角分别为、、、，斜率分别为、、、，所以，所以，即，又因为，同理有：、、代入可得：，解得：，即，所以，结合可知，所以.…………………9分【一题多解】圆经过点，所以可设圆为，与抛物线联立可得：，此方程有4个不同的解0、、、，所以联立方程可化简为，又因为，，所以，后面同解法一.…………9分（2）如图所示，设，，，所以，，中点为，类比第二问解法二，可知，.……