2025-2026学年北京市东城区广渠门中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page22页，共=sectionpages22页2025-2026学年北京市东城区广渠门中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。1.=（）A. B. C. D.2.已知向量，.若∥，则实数m的值为（）A.-2 B.-1 C.1 D.23.已知，，则sin2α的值为（）A. B. C. D.4.设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A. B.

C. D.5.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法错误的是（）A.E，F，G，H四点共面

B.AA1与GH是异面直线

C.∠EGH=∠FHG

D.EG，FH，AA1三线共点

6.已知α，β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（）A.若m∥α，m∥β，则α∥β B.若m∥α，n∥α，则m∥n

C.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n D.若m∥α，m⊥β，则α⊥β7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，F为棱CC1的中点，则异面直线A1E与B1F所成角的余弦值为（）A.

B.

C.

D.

8.设，是平面内两个非零向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.广渠门中学高一年级开展了沪杭研学，在乌镇参观时，某数学兴趣小组为测量某河道的宽度，进行了如下操作：如图，在河道一侧的水平步道上选取相距2米的A、B两个观测点，在河道对岸的水平岸线上选取点C.若该数学兴趣小组测得∠CAB=75°，∠CBA=60°，则可求得该河道的宽度（即点C到直线AB的距离）为（）A.米 B.米 C.米 D.米10.在平面内，BC=2，D为BC中点，动点A满足，动点M满足，则的最大值为（）A.1 B. C.2 D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知向量=（m，3），=（1，m+1）．若⊥，则m=

．12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.若a=3，b=5，，则sinA=

.13.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，AD=2，∠DAB=60°，且满足，则=

，的值为

.14.设函数（ω＞0）.若对函数f（x），存在实数m,使得∃x1，，满足f（x1）•f（x2）=-3，则ω的最小值为

，当ω取此最小值时，一个符合要求的m的值为

（写出一个即可）.15.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2.点E为AD中点，P为正方体侧面BCC1B1内（包含边界）的动点.记E、C、B1三点所在的平面为α.给出下列四个结论：

①直线EC1与平面BCC1B1所成角的正切值为；

②已知平面EC1D1∩α=l,若P∈l,则；

③若点P满足AP∥α，则必有△PB1C的面积为1；

④若点P满足EP⊥BC1，则必有AP∥α.

其中所有正确结论的序号为

.

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足.

（1）求角A的大小；

（2）若c=2，且△ABC的面积为，求a的值.17.(本小题14分)

已知函数f（x）=（sinx+cosx）2-2sin2x.

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值，并求相应的x的值.18.(本小题14分)

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD，E是PD的中点.在底面ABCD内CD⊥AC且.

（1）求证：BC∥AD；

（2）求证：CE∥平面PAB；

（3）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：CD⊥PA.19.(本小题14分)

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，CC1的中点.

（1）求证：BD1∥平面ACE；

（2）求证：平面BFD1∥平面ACE；

（3）求证：平面BDD1⊥平面ACE.20.(本小题14分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足2c-a=2b•cosA.

（1）求角B的大小；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下两个问题的解答：

（ⅰ）求b的值；

（ⅱ）若△ABC是锐角三角形，求△ABC周长的取值范围.

条件①：△ABC外心（外接圆圆心）到边AC距离为；

条件②：acosC+ccosA=3.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.21.(本小题15分)

设n（n≥2）为正整数，若α=（x1，x2，…，xn）满足：

①xi∈{0，1，…，n-1}，i=1，2，…，n；

②对于1≤i＜j≤n，均有xi≠xj；

则称a具有性质E（n）.

对于a=（x1，x2，…，xn）和β=（y1，y2，…，yn），定义集合T（α，β）={t|t=|xi-yi|，i=1，2，…，n}.

（Ⅰ）设a=（0，1，2），若β=（y1，y2，y3）具有性质E（3），写出一个β及相应的T（a，β）；

（Ⅱ）设α和β具有性质E（6），那么T（α，β）是否可能为{0，1，2，3，4，5}，若可能，写出一组α和β，若不可能，说明理由；

（Ⅲ）设α和β具有性质E（n），对于给定的α，求证：满足T（α，β）={0，1，…，n-1}的β有偶数个.

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】B

10.【答案】C

11.【答案】-

12.【答案】

13.【答案】1

14.【答案】2（答案不唯一）

15.【答案】①③④

16.【答案】

17.【答案】解：（1）因为f（x）=（sinx+cosx）2-2sin2x=sin2x+cos2x+2sinxcosx-2sin2x

=，

所以f（x）的最小正周期；

令，

解得：，

所以f（x）的单调递增区间为；

（2）当时，，

所以当，即时，；

当，即时，f（x）min=-1．

18.【答案】因为BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以BC∥AD

取AP的中点F，连接EF，BF，

因为E，F分别为PD，PA中点，

所以EF∥AD且，

由（1）知BC∥AD，

又，

所以EF∥BC，EF=BC，

所以四边形BCEF为平行四边形，

所以BF∥CE，

而BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，

所以CE∥平面PAB

因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，CD⊥AC，CD⊂平面ABCD，

所以CD⊥平面PAC，

又PA⊂平面PAC，

所以CD⊥PA

19.【答案】连接BD，交AC于点O，连接OE，则O是BD的中点，

因为E是DD1的中点，

所以OE∥BD1，

又OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，

所以BD1∥平面ACE

因为E，F分别是DD1，CC1的中点，

所以D1E∥CF，D1E=CF，

所以四边形D1ECF是平行四边形，

所以D1F∥CE，

又CE⊂平面ACE，D1F⊄平面ACE，

所以D1F∥平面ACE．

由（1）知BD1∥平面ACE，

而BD1∩D1F=D1，BD1，D1F⊂平面BFD1，

所以平面BFD1∥平面ACE

因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

所以DD1⊥AC，

又AC⊥BD，BD∩DD1=D，BD，DD1⊂平面BDD1，

所以AC⊥平面BDD1，

而AC⊂平面ACE，

所以平面BDD1⊥平面ACE

20.【答案】

（i）选择①或②，均得到b=3；（ii）

21.【答案】解：（1）根据题意，令β=（0，1，2），即y1=0，y2=1，y3=2，

则根据题意可得，t=|xi-yi|=0（i=1，2，3），则相应的一个T（α，β）={0}；

若β=（0，2，1），即y1=0，y2=2，y3=1，

则根据题意可得，t=|xi-yi|=，则相应的一个T（α，β）={0，1}；

若β=（1，0，2），即y1=1，y2=0，y3=2，

则根据题意可得，t=|xi-yi|=，则相应的一个T（α，β）={0，1}；

若β=（1，2，0），即y1=1，y2=2，y3=0，

则根据题意可得，t=|xi-yi|=，则相应的一个T（α，β）={1，2}；

同理可得，若β=（2，0，1），则相应的一个T（α，β）={1，2}；

若β=（2，1，0），则相应的一个T（α，β）={0，2}；

（2）假设存在α=（x1，x2，…，x6），和β=（y1，y2，…，y6）均具有性质E{6}，且T（α，β）={0，1，2，3，4，5}，

则0+1+2+3+4+5=，因为|xi-yi|与xi-yi同奇同偶，

所以与同奇同偶

而本题中由（1）中结论可知，=15，=0，可见奇偶不同，这与上述结论相矛盾，

因此假设不成立．

综上可得，不存在具有性质E{6}的α，β，满足T（α，β）={0，1，2，3，4，5}．

（3）证明：不妨设α=（x1，x2，……，xn），β=（y1，y2，……，yn）构成一个对应数表A：

交换数表中两行数据，可得对应数表B：

调整数表中各列的顺序，并假设调整后的第一行数据为x1，x2，……，xn，设调整后的数据第二行为z1，z2，……，zn，

令γ=（z1，z2，……，zn），则γ具有性质E（n），且T（α，γ）={0，1，2，……，n-1}，

假设β=（y1，y2，……，yn），与γ=（z1，z2，……，zn）相同，则y1=z1，y2=z2，……，yn=zn，

不妨设xi≠yi，x1=yk（k≠1），则有z1=xk，故|x1-z1|=|yk-xk|，

∵T（α，β）={0，1，2，3……，n-1}，

∴|x1-y1|≠|xi-yi|（i=2，3，4，……，n）①，

∵y1=z1=xk，

∴|x1-y1|=|xk-yk|（k≠1）②，

显然地，结论①，②前后矛盾，

故对于具有性质E（n）的α=（x1，x2，……，xn），若β=（y1，y2，……，