高等数学极限运算解题技巧详解习题考试

高等数学极限运算解题技巧详解习题考试考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.当x→2时，函数f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}的极限值为（）A.0B.2C.4D.不存在2.极限\lim_{x→0}\frac{\sin2x}{x}的值为（）A.0B.1C.2D.43.函数f(x)=\frac{1}{x-1}在x→1时，极限（）A.存在且为1B.存在且为-1C.不存在D.存在但不等于14.若\lim_{x→a}f(x)=3且\lim_{x→a}g(x)=5，则\lim_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)}的值为（）A.8B.15C.\frac{3}{5}D.\frac{5}{3}5.极限\lim_{x→∞}\frac{2x^2+3x+1}{x^2-5x+6}的值为（）A.2B.3C.5D.06.当x→0时，\frac{\tanx-\sinx}{x^3}的极限值为（）A.0B.\frac{1}{2}C.1D.\frac{1}{6}7.函数f(x)=\begin{cases}2x+1&x<1\\3&x=1\\x^2&x>1\end{cases}在x→1时的极限（）A.存在且为3B.存在且为2C.不存在D.存在但不等于38.极限\lim_{x→0}\frac{e^x-1}{x}的值为（）A.0B.1C.eD.不存在9.若\lim_{x→0}f(x)=2且\lim_{x→0}g(x)=0，则\lim_{x→0}\frac{f(x)}{g(x)}的值为（）A.0B.2C.∞D.不存在10.极限\lim_{x→1}\frac{x^3-1}{x-1}的值为（）A.0B.1C.3D.6二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.\lim_{x→2}(3x-1)=______2.\lim_{x→0}\frac{1-\cosx}{x^2}=______3.若\lim_{x→a}f(x)=5，则\lim_{x→a}3f(x)=______4.\lim_{x→∞}\frac{1}{x}=______5.\lim_{x→1}\frac{x^2-1}{x-1}=______6.当x→0时，\frac{\sinx}{x}的极限值为______7.若\lim_{x→0}f(x)=3，则\lim_{x→0}\frac{f(x)}{x}=______（x≠0）8.\lim_{x→∞}\frac{3x^2+2x}{x^2+1}=______9.\lim_{x→0}\frac{e^x-1}{x}=______10.若\lim_{x→a}f(x)=2且\lim_{x→a}g(x)=4，则\lim_{x→a}(f(x)+g(x))=______三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若\lim_{x→a}f(x)存在，则f(x)在x=a处一定连续。（）2.极限\lim_{x→0}\frac{1}{x}不存在。（）3.若\lim_{x→a}f(x)=\lim_{x→a}g(x)，则f(x)=g(x)。（）4.当x→∞时，\frac{1}{x}→0。（）5.极限\lim_{x→1}\frac{x^2-1}{x-1}存在且等于2。（）6.若\lim_{x→a}f(x)=∞，则f(x)在x=a处无定义。（）7.当x→0时，\frac{\sinx}{x}的极限值为1。（）8.极限\lim_{x→∞}\frac{2x+1}{x^2}存在且等于0。（）9.若\lim_{x→a}f(x)=3且\lim_{x→a}g(x)=0，则\lim_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)}不存在。（）10.极限\lim_{x→0}\frac{1}{x^2}不存在。（）四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）1.简述极限\lim_{x→0}\frac{\sinx}{x}=1的证明思路。2.解释函数在某点处极限存在的条件。3.说明极限\lim_{x→∞}\frac{1}{x}=0的几何意义。4.列举三种常见的极限运算法则并简要说明。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）1.计算极限\lim_{x→0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}。2.求极限\lim_{x→1}\frac{x^3-1}{x^2-1}。3.计算极限\lim_{x→∞}\frac{3x^2+2x+1}{2x^2-5x+3}。4.求极限\lim_{x→0}\frac{e^x-1-x}{x^2}。【标准答案及解析】一、单选题1.C（\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2，x→2时极限为4）2.C（\lim_{x→0}\frac{\sin2x}{x}=2\lim_{x→0}\frac{\sin2x}{2x}=2×1=2）3.C（\frac{1}{x-1}在x→1时左右极限不同，极限不存在）4.C（\lim_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x→a}f(x)}{\lim_{x→a}g(x)}=\frac{3}{5}）5.A（\lim_{x→∞}\frac{2x^2+3x+1}{x^2-5x+6}=\lim_{x→∞}\frac{2+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}}=2）6.D（\frac{\tanx-\sinx}{x^3}=\frac{\sinx(1-\cosx)/\cosx}{x^3}=\frac{1-\cosx}{x^3\cosx}≈\frac{x^2/2}{x^3\cosx}→\frac{1}{6}）7.C（左极限\lim_{x→1^-}(2x+1)=3，右极限\lim_{x→1^+}x^2=1，左右极限不同，极限不存在）8.B（\lim_{x→0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{x→0}\frac{e^x(1-1/x)}{1}=1）9.D（\lim_{x→0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x→0}f(x)}{\lim_{x→0}g(x)}=\frac{2}{0}→∞）10.C（\frac{x^3-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}=x^2+x+1，x→1时极限为3）二、填空题1.52.\frac{1}{2}（1-\cosx≈\frac{x^2}{2}，极限为\frac{1}{2}）3.154.05.26.17.38.39.110.6三、判断题1.×（极限存在不一定连续，如阶梯函数在间断点处）2.√（\frac{1}{x}在x→0时左右极限不同，极限不存在）3.×（极限相等不一定函数相等，如f(x)=x，g(x)=x+1在x→0时极限相等但函数不同）4.√（\frac{1}{x}随x→∞单调递减趋近于0）5.√（\frac{x^2-1}{x-1}=x+1，x→1时极限为2）6.×（极限为∞仅表示函数值无限增大，如y=1/x在x→0时极限为∞但x=0处无定义）7.√（由泰勒展开或夹逼定理证明）8.√（\frac{2x+1}{x^2}=\frac{2/x+1/x^2}{1}随x→∞趋近于0）9.√（\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{2}{0}→∞）10.√（\frac{1}{x^2}随x→0单调递增趋近于∞）四、简答题1.证明思路：（1）用泰勒展开：\sinx=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)，则\frac{\sinx}{x}=1-\frac{x^2}{6}+o(x^2)→1；（2）夹逼定理：-x≤\sinx≤x，则-x/x≤\sinx/x≤x/x，x→0时极限为1。2.函数在某点x=a处极限存在的条件：（1）左右极限存在且相等；（2）函数在该点附近有界；（3）函数值趋近于某个定值L。3.几何意义：y=\frac{1}{x}的图像在x→∞时渐近于x轴，函数值无限趋近于0但永不等于0。4.常见极限运算法则：（1）和差法则：\lim_{x→a}[f(x)+g(x)]=\lim_{x→a}f(x)+\lim_{x→a}g(x)；（2）积法则：\lim_{x→a}[f(x)g(x)]=\lim_{x→a}f(x)\lim_{x→a}g(x)；（3）商法则：\lim_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x→a}f(x)}{\lim_{x→a}g(x)}（g(x)≠0）。五、应用题1.解：\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}，x→0时极限为\frac{1}{2}。2.解：\frac{x^3-1}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+x+1}{x+1}，x→1时极