高等数学实变函数与习题解析试题

高等数学实变函数与习题解析试题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.设集合A和B的基数分别为|A|=m，|B|=n，则从A到B的映射总数为（）A.m+nB.mnC.m!•n!D.n^m2.若函数f(x)在区间I上单调递增且连续，则f(x)在I上的不连续点（）A.必定存在B.必定不存在C.可能存在也可能不存在D.取决于区间I的边界情况3.下列函数中，在(0,1)上黎曼可积的是（）A.f(x)=1/xB.f(x)=sin(1/x)C.f(x)=1/(x-0.5)D.f(x)=|x|4.设E为[0,1]上的有界集，若对任意ε>0，E中含于(0,1)的ε-邻域内的点数不超过ε，则E的勒贝格测度（）A.m(E)=0B.m(E)=1C.0<m(E)<1D.无法确定5.函数f(x)在[a,b]上黎曼可积的充分必要条件是（）A.f(x)在[a,b]上连续B.f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点C.f(x)在[a,b]上单调D.f(x)在[a,b]上黎曼可积6.若函数f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上（）A.必定连续B.必定单调C.必定有界D.必定可导7.设E为R上的勒贝格可测集，若m(E)=0，则对任意ε>0，存在开集U包含E，使得m(U-E)<ε（）A.正确B.错误8.下列函数中，在[0,1]上勒贝格可积的是（）A.f(x)=1/xB.f(x)=sin(1/x)C.f(x)=1/(x-0.5)D.f(x)=|x|9.若函数f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上的黎曼积分与勒贝格积分（）A.必定相等B.黎曼积分大于勒贝格积分C.勒贝格积分大于黎曼积分D.可能不相等10.设E为R上的勒贝格可测集，若m(E)=0，则f(x)=1/E在E上（）A.必定可积B.必定不可积C.取决于f(x)的具体形式D.无法确定二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若集合A={1,2,3}，B={a,b}，则从A到B的映射总数为______。2.函数f(x)=x^2在[0,1]上的黎曼积分为______。3.若函数f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上的黎曼积分定义为______。4.设E为R上的勒贝格可测集，若m(E)=0，则E称为______。5.函数f(x)=1/x在[1,2]上的黎曼积分为______。6.若函数f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上的黎曼积分与勒贝格积分______。7.设E为R上的勒贝格可测集，若m(E)=0，则f(x)=1/E在E上______。8.函数f(x)=sin(x)在[0,π]上的黎曼积分为______。9.若函数f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上的黎曼积分与黎曼和______。10.设E为R上的勒贝格可测集，若m(E)=0，则E的勒贝格测度______。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若函数f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上连续。（×）2.设E为R上的勒贝格可测集，若m(E)=0，则E为空集。（×）3.函数f(x)=1/x在[1,2]上黎曼可积。（×）4.若函数f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上的黎曼积分与勒贝格积分相等。（√）5.设E为R上的勒贝格可测集，若m(E)=0，则f(x)=1/E在E上可积。（√）6.函数f(x)=sin(x)在[0,π]上黎曼可积。（√）7.若函数f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上单调。（×）8.设E为R上的勒贝格可测集，若m(E)=0，则E的勒贝格测度为0。（√）9.函数f(x)=1/x在[0,1]上黎曼可积。（×）10.若函数f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上的黎曼积分与黎曼和相等。（√）四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）1.简述黎曼可积的充分必要条件。答：函数f(x)在[a,b]上黎曼可积的充分必要条件是f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点。2.解释什么是勒贝格可测集。答：设E为R上的子集，若对任意ε>0，存在开集U包含E，使得m(U-E)<ε，则E为勒贝格可测集。3.说明黎曼积分与勒贝格积分的区别。答：黎曼积分要求函数在区间上只有有限个间断点，而勒贝格积分对函数的间断点没有限制。4.解释什么是零测集。答：设E为R上的子集，若对任意ε>0，存在开集U包含E，使得m(U-E)<ε，则E为零测集。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）1.计算函数f(x)=x^2在[0,1]上的黎曼积分。解：将[0,1]等分为n份，每份长度为Δx=1/n，取右端点作为样本点，则黎曼和为S_n=∑(i=1ton)(i/n)^2•(1/n)=1/n^3•(n(n+1)(2n+1))/6=(2n^3+3n^2+n)/(6n^3)→1/3（n→∞），故黎曼积分为1/3。2.证明函数f(x)=1/x在[1,2]上黎曼可积。证：f(x)=1/x在[1,2]上单调递减且连续，故黎曼可积。3.设E为[0,1]上的零测集，证明f(x)=1/E在E上可积。证：由于E为零测集，对任意ε>0，存在开集U包含E，使得m(U-E)<ε，故f(x)=1/E在E上可积。4.计算函数f(x)=sin(x)在[0,π]上的黎曼积分。解：将[0,π]等分为n份，每份长度为Δx=π/n，取右端点作为样本点，则黎曼和为S_n=∑(i=1ton)sin((iπ)/n)•(π/n)→π/2（n→∞），故黎曼积分为π/2。【标准答案及解析】一、单选题1.B2.B3.D4.A5.B6.C7.A8.D9.A10.A解析：1.从A到B的映射总数为n^m，故选B。2.单调递增且连续的函数没有跳跃间断点，故不存在不连续点，选B。3.|x|在(0,1)上黎曼可积，故选D。4.根据题意，E为第一类零测集，故m(E)=0，选A。5.黎曼可积的充分必要条件是有界且只有有限个间断点，选B。6.黎曼可积的函数必有界，选C。7.零测集的定义，选A。8.|x|在[0,1]上黎曼可积，故选D。9.黎曼可积的函数的黎曼积分与勒贝格积分相等，选A。10.零测集上的常数函数可积，选A。二、填空题1.82.1/33.黎曼和的极限4.零测集5.16.相等7.可积8.29.相等10.0解析：1.从A到B的映射总数为2^3=8。2.黎曼积分为(1/3+4/9+9/27)/3=1/3。3.黎曼积分定义为黎曼和的极限。4.零测集的定义。5.黎曼积分为1。6.黎曼可积的函数的黎曼积分与勒贝格积分相等。7.零测集上的常数函数可积。8.黎曼积分为2。9.黎曼积分与黎曼和相等。10.零测集的勒贝格测度为0。三、判断题1.×2.×3.×4.√5.√6.√7.×8.√9.×10.√解析：1.黎曼可积的函数不一定连续，如狄利克雷函数。2.零测集不一定是空集，如Q在R中的勒贝格测度为0。3.1/x在[1,2]上黎曼可积。4.黎曼可积的函数的黎曼积分与勒贝格积分相等。5.零测集上的常数函数可积。6.sin(x)在[0,π]上黎曼可积。7.黎曼可积的函数不一定单调，如狄利克雷函数。8.零测集的勒贝格测度为0。9.1/x在[0,1]上不可积。10.黎曼积分与黎曼和相等。四、简答题1.答：函数f(x)在[a,b]上黎曼可积的充分必要条件是f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点。2.答：设E为R上的子集，若对任意ε>0，存在开集U包含E，使得m(U-E)<ε，则E为勒贝格可测集。3.答：黎曼积分要求函数在区间上只有有限个间断点，而勒贝格积分对函数的间断点没有限制。4.答：设E为R上的子集，若对任意ε>0，存在开集U包含E，使得m(U-E)<ε，则E为零测集。五、应用题1.解：将[0,1]等分为n份，每份长度为Δx=1/n，取右端点作为样本点，则黎曼和为S_n=∑(i=1ton)(i/n)^2•(1/n)=1/n^3•(n(n+1)(2n+1))/6=(2n^3+3n^2+n)/(6n^3)→1/3