云南省昭通一中教研联盟2025-2026学年高一下学期期中考试（A卷）数学试卷（含答案）

云南昭通市第一中学教研联盟2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（A卷）一、单选题1．下列关于向量的论述中，正确的是（

）A．零向量是只有大小没有方向的向量B．，则C．与有向线段BA的长度不相等D．对任一非零向量总是成立的2．设，则（

）A．-1 B．0

C．1 D．23．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（

）A． B． C． D．4．已知，则平面向量与的夹角为（

）A． B． C． D．5．已知，，，则的形状是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形6．已知l，m，n为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则或7．在中，内角A，B，C的对边分别为，向量，且，则的大小为（

）A． B． C． D．8．设向量，则（

）A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件二、多选题9．下列命题中成立的是（

）A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱C．若，则D．若为非零向量且，则10．下列关于平面向量的推断正确的是（

）A．若平面向量，满足，则B．对任意平面向量，则有C．若向量，则向量在向量上的投影向量为D．点，与向量同方向的单位向量为11．如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（

）A．直线与为异面直线B．平面C．三棱锥的体积为D．平面过点且平面，则平面截正方体所得截面的图形的周长为三、填空题12．已知复数的模等于2，则实数的值为______.13．已知在中，D、E分别为AB、CD的中点，设，则______.（用向量为基底表示）14．已知在棱长为4的正方体中，为的中点，若球的球面与该正方体的表面有公共点，则球的半径的取值范围是______.四、解答题15．已知.(1)求；(2)求在方向上的投影向量（用坐标表示）.16．如图，已知直三棱柱的各棱长均为2，D为BC上的一点，，连接OD且平面.(1)求证：为BC的中点；(2)求三棱锥的表面积及到平面的距离.17．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若.(1)求角的大小；(2)设的面积为，求的周长.18．如图，在正方体中，为的中点.(1)求证：平面；(2)在图中作出平面和底面ABCD的交线，并求平面将正方体分成两部分的体积之比.19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足：，且.(1)求的大小；(2)求面积的最大值；(3)求的最大值.参考答案及解析1．D解析：对于A：零向量的模为，方向是任意的，并不是没有方向，A错误；对于B：由于与方向相反，长度相等，和是零向量，而不是，B错误；对于C：与有向线段的长度相等，C错误；对于D：因为零向量的模为0，又因为非零向量，的模，D正确.2．C解析：因为，所以，解得：．故选：C.3．A解析：因为正方体棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的体积为.4．C解析：，因为，所以，所以，所以，又，故平面向量与的夹角为.5．A解析：，，，，，为直角三角形.故选：A6．D解析：选项A：若，，则或，故A错误；选项B：面面平行的判定定理：内两条相交直线，，则，由于直线不一定相交，故命题不一定成立，故B错误；选项C：若，，则，平行或异面或相交，故C错误；选项D：当，且不在内时，，，则，当，且不在内时，，，则，当既不在也不在内，，，则且，故D正确.7．B解析：，，且，，根据正弦定理，，，，，，，，．8．D解析：对于A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；对于B，当时，则，解得或必要性不成立，故B错误；对于C，当时，不满足，所以不成立，即充分性不成立，故C错误；对于D，当时，，，故，所以，即充分性成立，故D正确.9．BD解析：对于A，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥，如图，故A错误；对于B，若棱柱有两个相邻侧面是矩形，则侧棱与底面两条相交的边垂直，则侧棱与底面垂直，此时棱柱一定是直棱柱，故B正确；对于C选项，当为时，与可能不平行，故C错误；对于D选项，，根据数量积运算法则，则两边平方化简可得，，故D正确，10．BCD解析：对于A，根据平面向量数量积的概念，由，可得在上的投影相等，但未必有，故A错误；对于B，向量数量积满足分配律，故B正确；对于C，，，，所以在上的投影向量为，故C正确；对于D，，且，故与同向的单位向量为，故D正确．11．ABD解析：对于A，因为平面，平面，，所以直线与为异面直线，A正确；对于B，因为在正方体中，，平面，平面，所以平面，B正确；对于C，则由正方体的性质可得为等腰直角三角形，所以的面积为2，故三棱锥的体积为，C错误；对于D，连接,则平面即为平面，截面图形为等边三角形，所以平面截正方体所得截面的图形的周长为，D正确.12．解析：复数的模等于2，故，故，解得.13．解析：因为E为的中点，则，因为D为的中点，则，所以，，，则.14．解析：设球的半径为，当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，正方体完全位于球内，此时球面与正方体没有公共点，正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；当球与正方体的各面相切时，球的半径达到最小，即的最小值为2，.15．(1)(2)解析：（1）根据题意，，，，

故.

（2）由，，得，，

所以在方向上的投影向量为.16．(1)证明见解析(2)表面积为，距离为解析：（1）证明：如图，因为平面且平面，又因平面平面，所以.

又因在直三棱柱中，为平行四边形，所以为的中点，所以为的中位线.所以为的中点.（2）因为三棱柱是直三棱柱且所有棱长均为2，在中，由勾股定理可得，，.因为，

所以，所以为直角三角形，三棱锥的表面积为.

设到平面的距离为，因为，所以即，解得，所以到平面的距离为.17．(1)(2)解析：（1）由正弦定理代入，得：，由余弦定理有所以

或者（(因为，所以，从而，）又因为，即，注意到，所以.（2）由（1）可得，，所以，

而.

由正弦定理有，从而，

由三角形面积公式可知，的面积可表示为.因为的面积为，所以，即，所以，，

所以的周长为.18．(1)证明见解析(2)作图见解析，7∶17解析：（1）在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，平面.

（2）在正方形中，直线与直线相交.延长，交于点，连接，，平面，则平面.，平面，平面.平面平面，则平面和底面ABCD的交线为，设，则如图平面和底面ABCD的交线为，连接，则为平面和平面的交线.由为的中点，得为的中点，.所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台.解法一：设正方体的棱长为2..

另一部分几何体的体积为.两部分的体积比为7∶17.

解法二：设正方体的棱长为2，所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台，所以.另一部分几何体的体积为，两部分的体积比为7∶17.19．(1)(2)(3)解析：（1）法一：由三角形的内角和定理得，此时就变为.由诱导公式得，所以.

在中，由正弦定理知，，此时就有，又，故，即，再由二倍角的正弦公式得，解得.

法二：由题设及正弦定理可得，又，故，两边平方得，即.

又，即，所以，进一步整理得，解得，因此.

法三：根据题