初中数学九年级下册《位似图形的概念及画法》教案（人教版）

初中数学九年级下册《位似图形的概念及画法》教案（人教版）

一、教材与学情深度分析

（一）教材内容解析与地位审视

1.知识体系的坐标定位

“位似图形”隶属于人教版九年级下册第二十七章“相似”的第三小节内容。本章节知识结构呈现清晰的逻辑脉络：全等图形（形状大小全同）→相似图形（形状相同，大小可异）→位似图形（特殊的相似，具有定点与定比关系）。位似是相似知识的深化与升华，是连接“形”的几何直观与“数”的坐标定量之间的关键桥梁。它在整个初中几何知识体系中，扮演着承上启下的枢纽角色：向上，它巩固和深化了相似三角形的判定与性质；向下，它为高中学习“平面向量”、“仿射变换”乃至“投影与透视”等高等几何概念提供了直观的认知基础与模型雏形。

2.核心概念的内涵与外延

本节课的核心概念是“位似”。其数学定义包含两个缺一不可的本质属性：（1）图形相似；（2）对应点连线（或延长线）交于同一点（位似中心）。这两个属性共同构成了位似的充要条件。位似比（相似比）的绝对值决定了图形的缩放倍数，其符号则决定了图形位于位似中心的同侧（正位似）或异侧（负位似）。教材通过引入位似，将静态的图形相似关系，动态化为一种以定点为中心的缩放变换过程，体现了从静态观察到动态生成的数学思维跃迁。

3.课标要求与核心素养映射

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出，在本学段学生应“了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标放大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似图形”。本节课的教学设计需精准对标以下核心素养的培养：

1.抽象能力：从具体的生活实例和图形操作中，抽象出“位似”的数学定义与特征。

2.几何直观：通过观察、画图，直观感知位似图形的空间关系与变换规律。

3.推理能力：从定义出发，进行简单的逻辑推理，论证图形是否位似，探究位似的性质。

4.模型观念与应用意识：建立位似模型，理解其在测量、绘图、科技（如影像处理、全息投影）等领域的广泛应用。

（二）学情诊断与学习路径预设

1.认知起点分析

九年级下学期的学生已具备以下相关知识储备：

1.掌握了全等图形的性质与判定。

2.系统学习了相似多边形的定义、判定与性质，尤其是相似三角形的知识体系较为完备。

3.熟悉基本尺规作图，具备一定的空间想象能力和图形观察能力。

4.在之前的学习中，已经接触过图形的平移、旋转、轴对称（翻折）等全等变换，对“图形变换”的思想有初步感受。

然而，学生对“以一点为中心的缩放变换”这一思想是陌生的，容易将其与“中心对称”（实为旋转180°的特例）或普通的“相似”混淆。

2.潜在学习障碍预测

1.概念混淆：难以区分“位似”与“一般相似”、“中心对称”的本质差异，特别是对“对应点连线必过同一点”这一关键特征的理解和运用存在困难。

2.思维定式：习惯于静态地比较图形，对动态的“变换生成”过程想象不足，理解位似中心在图形内、外、边上等多种情形时存在认知挑战。

3.操作难点：在动手画位似图形（尤其是放大图形）时，对位似比的准确控制、对应点的有序寻找易出错。

4.符号理解：对位似比k（k>0或k<0）的几何意义（大小与方向）理解不深。

3.学习路径支持策略

基于以上分析，本教学设计将采用“概念形成→性质探究→画法掌握→应用深化”的递进路径，并辅以以下支持策略：

1.多模态感知：利用丰富的图片、动画、软件交互，从视觉、操作等多通道建立表象。

2.对比辨析：精心设计对比案例（如位似vs一般相似，位似vs中心对称），在辨析中凸显本质。

3.分层任务：设计从模仿到创造、从简单到复杂的阶梯式任务，让不同层次的学生都能获得成功体验。

4.技术赋能：引入动态几何软件（如GeoGebra），让位似变换过程可视化、可操控，化抽象为具体。

二、教学目标与重难点

（一）教学目标

1.知识与技能

1.理解位似图形的概念，能准确叙述位似图形的定义及其两个核心要素。

2.掌握识别位似图形的方法，能根据定义判断两个图形是否位似，并能指出位似中心和位似比。

3.熟练掌握利用位似中心与位似比进行位似图形作图的基本方法（尺规作图与网格作图）。

4.了解位似图形在生活中的实际应用。

2.过程与方法

1.经历从生活实例、数学现象中观察、比较、归纳出位似图形概念的过程，体会数学抽象与模型建立的方法。

2.通过动手操作（画图）、软件探究、小组讨论等活动，发展几何直观、空间观念和合作交流能力。

3.在解决问题的过程中，学会运用分类讨论、数形结合等数学思想方法。

3.情感、态度与价值观

1.感受位似变换的数学美（如缩放中的和谐、透视中的规律），激发数学学习兴趣和探究欲望。

2.体会数学与生活、科技、艺术的紧密联系，认识数学的应用价值和文化价值。

3.在合作探究中培养严谨求实的科学态度和乐于分享的协作精神。

4.核心素养发展指向

1.抽象能力：从具体情境中抽象出位似的数学本质。

2.几何直观：通过观察与作图，直观把握位似图形的空间关系。

3.推理能力：运用位似定义进行简单的说理和判断。

4.模型观念：建立位似模型，并用于解释现象和解决问题。

5.应用意识：关注位似在现实世界中的应用。

（二）教学重点与难点

1.教学重点：位似图形概念的理解与掌握。

2.确立依据

：概念是学习的基石。只有深刻理解位似“是什么”（两个条件），才能进行正确的判断、作图与应用。突破概念理解是后续一切学习活动的前提。

3.教学难点：

1.难点一：对位似概念中“对应点连线相交于一点”的深刻理解与灵活识别，特别是在复杂图形或位似中心位置特殊的情况下。

2.难点二：位似比的代数意义（k的正负）与几何意义（缩放方向）的统一。

3.难点三：根据指定的位似中心和位似比，熟练、准确地作出一个图形的位似图形（尤其是放大作图）。

1.确立依据

：难点一源于学生从“相似”到“位似”认知的跨越；难点二涉及数形结合的深度理解；难点三对学生的空间想象和精准操作提出了较高要求。

三、教学准备

项目类型

具体内容

目的与作用

教师准备

1.多媒体课件（PPT/Keynote）：内含高清图片（《星空》、小孔成像、地图、模型效果图等）、位似变换动画、GeoGebra动态交互页面链接。

2.GeoGebra软件及其预设文件：用于课堂动态演示与探究。

3.导学案（含预习指引、课堂探究单、分层练习）。

4.实物道具：带小孔的纸板、蜡烛（或LED灯）、可移动的简易幕布，用于模拟小孔成像实验。

5.板书设计思维导图框架。

创设情境，直观演示，支持探究，引导思维，规范流程。

学生准备

1.复习相似多边形的定义与性质。

2.预习教材第47-49页，初步了解“位似”一词。

3.准备数学学习用品：直尺、圆规、量角器、铅笔、网格本或坐标纸。

4.如有条件，课前在平板或电脑上安装GeoGebra软件。

激活旧知，带着问题进课堂，保障课堂活动顺利进行。

环境准备

1.多媒体教学设备（投影、音响）。

2.网络通畅，确保能在线使用GeoGebra。

3.教室桌椅按4-6人小组合作形式摆放。

营造信息化、协作化的学习环境。

四、教学过程实施（核心环节）

第一阶段：情境浸润，问题驱动（预计用时：8分钟）

活动1：艺术与科学的交汇——发现“缩放”的奥秘

1.教师展示：梵高名画《星空》的高清局部与全图，并动态演示将局部图逐渐放大至与全图某部分重合的过程。提问：“从数学图形变换的角度看，这幅画的局部和整体之间存在着一种怎样的特殊关系？”（预设学生回答：放大、相似）

2.教师追问：“这种‘放大’和我们之前学过的图形的平移、旋转放大一样吗？它有什么独特之处？”引导学生关注放大的“中心”感。

3.现象回溯：播放一段小孔成像的实验视频，或现场用道具进行简易演示。引导学生观察：“屏幕上的火焰倒立像与原火焰之间，除了上下颠倒、左右颠倒，大小关系如何？所有‘对应点’（如火焰顶端与像的顶端）的连线有什么共同规律？”（预设：光线交汇于小孔一点）

4.揭示课题：教师总结：“像这样，两个图形不仅形状相同（相似），而且所有对应点的连线都相交于同一个点的特殊关系，在数学上就称为‘位似’。这个交点称为‘位似中心’。今天，我们就一起来探索这种奇妙的图形关系。”

【设计意图】从世界名画和经典物理实验切入，赋予数学以人文与科学双重美感，迅速吸引学生注意力。通过对两个经典案例的观察与追问，让学生在熟悉的“相似”和“中心交汇”现象中，自然感受到“位似”关系的特殊性，为概念的提出埋下伏笔，并激发强烈的探究欲。

第二阶段：概念建构，剖析本质（预计用时：15分钟）

活动2：操作探究——从“形似”到“位似”的跨越

1.任务一（小组合作）：

1.2.在导学案上给出三组图形：①标准的位似三角形（位似中心在外）；②仅相似但对应点连线不共点的两个四边形；③关于某点中心对称的两个图形。

2.3.要求：使用直尺测量或观察，完成表格。

|图形组|是否相似？|连接所有对应顶点，连线是否交于一点？|交于几点？位置？|

|---|---|---|---|

|第①组||||

|第②组||||

|第③组||||

3.4.小组讨论后汇报发现。

5.归纳定义：

1.6.教师引导学生用数学语言描述第①组图形的共同特征。学生尝试表述后，教师出示精准定义：

“如果两个相似多边形，且它们对应顶点的连线相交于一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。”

2.7.教师板书定义，并用不同颜色标注“两个条件”：①相似；②对应点连线交于一点（位似中心）。强调两者必须同时满足。

8.概念辨析（深化理解）：

1.9.问题1：位似图形一定是相似图形吗？相似图形一定是位似图形吗？举例说明。

（结论：位似是特殊的相似，具有额外条件。）

2.10.问题2：展示中心对称的图形（如平行四边形绕对角线交点旋转180°），它是位似图形吗？如果是，位似比是多少？

（引导学生发现：中心对称是位似比k=-1的特殊位似。借此沟通新旧知识联系。）

3.11.问题3（GeoGebra动态演示）：在软件中拖动一个三角形的顶点，保持其与另一三角形位似。提问：“位似中心的位置是固定的吗？它可能在图形的什么位置？”（通过拖动，直观展示位似中心可以在图形外部、内部、边上甚至顶点上，渗透分类讨论思想。）

12.引入位似比：

1.13.教师：在位似图形中，对应边长的比值是固定的，我们称之为位似比，通常用k表示。即k=位似图形上任一线段长度/原图形对应线段长度。

2.14.关键点拨：位似比k可正可负。当k>0时，对应点位似中心同侧，图形“正立”；当k<0时，对应点位似中心异侧，图形“倒立”（如小孔成像）。|k|的大小决定了缩放倍数。

【设计意图】本环节是突破概念难点的核心。通过“操作-观察-比较-归纳”的完整探究流程，让学生亲历概念的形成过程，使抽象定义建立在丰富的感性经验之上。三个辨析问题层层递进，旨在厘清位似与相似、中心对称的联系与区别，防止概念混淆。GeoGebra的动态演示则将抽象的“位似中心位置可变性”变得可视、可感，有效化解认知难点。位似比正负的引入，为理解位似的方向性奠定了基础。

第三阶段：方法探究，掌握画法（预计用时：20分钟）

活动3：尺规作图——探寻“生成”位似图形的通法

1.情境导入：“我们已经认识了位似图形，现在如果给你一个△ABC和一个点O，要求你画出一个以O为位似中心，位似比为2的位似△A‘B’C‘，该如何动手呢？”

2.师生共研（缩小情形）：

1.3.教师在黑板示范，已知△ABC和位似中心O（在形外），位似比k=1/2（缩小）。

2.4.关键步骤引导：

a.连接OA，如何在OA上确定点A'，使OA'：OA=1：2？（引导学生想到尺规作图：过A作辅助线，利用平行线等分线段原理，或先测量后截取。重点介绍“平行线法”的普适性。）

b.同理，确定B‘、C’。

c.连接A‘B’、B‘C’、C‘A’，得到△A'B‘C’。

3.5.学生跟随教师在学案网格图上同步作图。

4.6.验证：请学生测量A'B‘/AB等比值，验证是否为1/2；连接AA’、BB‘、CC’，验证是否交于O点。

7.小组探究（放大情形与k<0情形）：

1.8.任务二：在导学案上，已知四边形ABCD和点O（在形内），请尝试画出以O为位似中心，①位似比k=2的位似四边形；②位似比k=-1的位似四边形。

2.9.小组讨论画法策略。教师巡视，指导困难小组，重点关注对“k=2时，点A’在OA的延长线上”以及“k=-1时，点A‘在AO的反向延长线上”的理解。

3.10.请两个小组派代表上台（或通过实物投影）展示讲解他们的作图过程和思考。教师点评，提炼作图口诀：

“连接关键点，定比定方向；同侧k为正，异侧k为负；放大延长线，缩小内分线。”

11.技术赋能——GeoGebra验证与拓展：

1.12.教师打开预设的GeoGebra文件，展示一个可自由拖动的动态位似图形生成器。

2.13.学生可以在自己的设备上（或观察屏幕）尝试：拖动原图形的顶点改变形状；拖动位似中心O改变位置；滑动滑块改变位似比k（包括正负值）。

3.14.观察并总结：当图形变化、O点位置变化、k值变化时，位似图形是如何实时、连续变化的？这种动态视角加深了对位似变换整体性的理解。

【设计意图】画法是概念的“应用出口”，也是教学难点。采用“教师示范（缩小）→学生探究（放大与负比）→技术验证”的流程，符合技能学习的规律。强调“平行线法”等通法通解，培养学生的作图能力与几何推理能力。小组探究环节鼓励合作与试错，上台展示锻炼表达与胆识。GeoGebra的动态验证，将离散的、静态的作图步骤整合为连续的、动态的变换过程，极大地拓展了学生的空间想象边界，使“变换”思想深入人心。

第四阶段：应用迁移，巩固深化（预计用时：12分钟）

活动4：分层应用——从数学世界回归生活现实

1.基础巩固（辨识与计算）：

1.2.题1（教材例题变式）：判断给出的几组图形是否位似，若是，指出位似中心和位似比（近似值）。

2.3.题2：在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点坐标和位似中心O(0,0)，若位似比为3，则对应点A‘的坐标与A点坐标有何数量关系？（此为下节课“位似与坐标”埋下伏笔，引发思考）。

4.综合应用（模型建立）：

1.5.题3（实际问题）：如图，为了测量河宽AB，在河对岸选定一个目标点C，再在河边确定一点O，测得OC=50m，在河边作OD=10m，OE=20m，并使D、C、E三点共线。在OE上取点F，使D、A、F三点共线。测得EF=15m。请问河宽AB是多少？请用位似的知识说明其中的原理并解答。

（引导学生抽象出几何模型，发现△ODC与△OAB位似，△OEF与△OAB也位似，利用位似比建立比例式求解。此题综合考查识图、建模与计算能力。）

6.拓展延伸（跨学科视野）：

1.7.播放简短视频或展示图片：电影《蚁人》的尺寸变化特效、Google地图的缩放功能、CT扫描的断层成像、舞台灯光投射出的巨大Logo。

2.8.小组讨论：这些技术或现象中，哪些可能运用了位似的原理？请选择一例简要解释。

3.9.教师总结：位似不仅是书本上的数学知识，更是现代摄影、电影特效、医学成像、地图学、计算机图形学等领域的基础工具之一。数学是解释和改造世界的有力语言。

【设计意图】应用环节设计遵循“由浅入深、由内而外”的原则。基础题巩固概念辨识与简单计算；综合题将位似知识置于真实测量情境中，培养学生从实际问题中抽象数学模型并解决问题的能力，体现数学的应用价值；拓展延伸则将学生的视野引向广阔的科技与艺术前沿，展现数学的强大生命力和跨学科魅力，实现情感态度价值观的升华。

第五阶段：反思总结，结构升华（预计用时：5分钟）

活动5：凝练与展望

1.知识结构化：教师引导学生共同回顾，并完善板书上的思维导图。

位似图形

|

————————————————

||

(两个条件)(核心要素)

1.两图形相似1.位似中心(O)

2.对应点连线交于一点2.位似比(k)

||

——————————————————————

||||

是相似的特殊情况k>0:同侧，正立k<0:异侧，倒立

|k|:缩放倍数

2.思想方法提炼：师生共同总结本节课用到的数学思想方法：从特殊到一般（归纳定义）、数形结合（位似比k的意义）、分类讨论（位似中心位置、k的正负）、模型思想。

3.学生反思：请学生用1-2句话在导学案上写下“本节课我最大的收获”和“我仍然存在的困惑”。

4.布置作业：

1.5.必做：教材课后习题第1、2、3题；在网格纸上，自选一个简单图案，任选一点为位似中心，分别画出k=0.5和k=-2的位似图形。

2.6.选做/探究：利用GeoGebra软件，创作一组以“绽放”或“收缩”为主题的位似图案画；查找资料，了解“透视画法”与位似原理的联系，写一份简短报告。

【设计意图】通过构建思维导图，将零散的知识点系统化、结构化，促进长时记忆的形成。反思环节关注学生的元认知发展，让教师能及时获取反馈。分层作业尊重学生个体差异，必做部分夯实基础，选做部分鼓励探索与创造，将学习从课内延伸至课外，保持探究热情。

五、板书设计

主板书（左侧）：

课题：位似图形的概念及画法

一、定义：

两个相似图形，且对应点连线相交于一点。

↓

位似图形

/\

条件1：相似条件2：连线共点(O)

↓

位似中心

二、位似比(k)

1.定义：k=位似图形上线段长/原图形对应线段长

2.几何意义：

k>0→对应点与O同侧→“正立”

k<0→对应点与O异侧→“倒立”

|k|→缩放倍数

三、作图要点（口诀）：

连心线，定比向；同正异负要分清。

放大延长缩小分，平行助确定点准。

副板书（右侧）：

1.用于学生