山东省菏泽市高三上学期期末考试数学（A）

山东省菏泽市高三上学期期末数学试题（A）一、单选题1．已知复数为纯虚数，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．22．已知集合，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．已知双曲线，则下列结论正确的是（）A．双曲线的焦距为5B．双曲线的离心率为C．双曲线的渐近线方程为D．双曲线的实轴长为64．已知为锐角，且，则（

）A． B． C． D．5．已知定义在上的函数满足，且当时，．则的值为（）A．1 B．0 C．1 D．36．实数满足，则（

）A． B．1 C．3 D．27．已知圆，将直线绕原点按逆时针方向旋转后得到直线，则（

）A．直线过圆心B．直线与圆相交，但不过圆心C．直线与圆相切D．直线与圆无公共点8．已知，则下列大小关系正确的是（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知边长为1的正方体分别为的中点，则（）A．平面 B．平面平面C．点到平面的距离为 D．异面直线与所成的角为10．已知函数，则下列说法正确的有（

）A．若，则在处的切线斜率为B．若，则在上有且仅有一个极值点C．若，则在上的最大值为3D．若，则在上有两个零点11．设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，过点且垂直于的直线交于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则下列结论正确的有（

）A． B．的最小值为16C． D．三、填空题12．已知是正项数列，，且满足，则是数列（填“等差”或“等比”），．13．已知曲线与在交点处的切线互相垂直，则．14．在中，已知．点分别在边上，且是等边三角形．则的最小值为．四、解答题15．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求过点且与曲线相切的切线方程及切点坐标．16．某电商平台销售一款智能手表，已知该手表分为“标准版”和“旗舰版”两个型号，平台销售数量中标准版占比，旗舰版占比．根据历史数据：一是标准版手表的好评率为（好评定义为评分4星及以上），且好评用户中后续申请售后维权的概率为；非好评用户中申请售后维权的概率为．二是旗舰版手表的好评率为，且好评用户中后续申请售后维权的概率为；非好评用户中申请售后维权的概率为．(1)随机抽取一位购买该手表的用户，求其给出好评的概率；(2)随机抽取一位购买该手表的用户，若其申请了售后维权，求该用户购买的是标准版手表的概率；（结果用分数表示）(3)平台计划对“无售后维权的好评用户”发放优惠券，求随机抽取一位用户，其符合优惠券发放条件的概率．17．数列中的项，若存在奇数，使得均不为偶数，则称数列为阶除序列．(1)数列为阶除序列，当，求出所有的；(2)已知，对任意的，恒有，求证：数列是5阶除序列．18．如图，在平行六面体中，，，，(1)若为的中点，求证：；(2)设为空间的一个基底，用该基底写出平面的一个法向量；(3)求与平面所成角的正弦值．19．已知直线过原点且倾斜角分别为和，平面内动点到距离之积为．(1)求点的轨迹的方程；(2)若曲线与轴的交点分别为（在左侧），过点的直线交曲线于两点（点位于第一象限，位于第二象限），直线与相交于点．（i）求证：点在定直线上；（ii）求证：射线平分．参考答案题号12345678910答案ACDABBABACDBC题号11答案ABD1．A【详解】，因为是纯虚数，所以实部为0，虚部不为0，，解得.故选：A2．C【详解】因为，且，所以，由，则，所以，解得，所以实数的取值范围为，故选：C.3．D【详解】双曲线方程为，则，，所以.焦距为，A错误，离心率，B错误，渐近线方程为，C错误，实轴长为，D正确.故选：D4．A【详解】已知为锐角，且，，，解得（负值已舍去），．故选：A．5．B【详解】因为，所以函数的周期.所以.当时，，代入：因此.故选：B6．B【详解】设函数，该函数在上单调递增.，即.，化简得，即.令，则，代入上式得，即.因为，且单调递增，所以，因此.将代入，可得：.故选：B7．A【详解】直线的斜率为，其倾斜角为，将直线绕原点按逆时针方向旋转得到直线，则直线的倾斜角为，因为直线过原点，故直线的方程为，圆的圆心为，故圆心在直线上，A正确，与圆有2个交点，BCD错误，故选：A.8．B【详解】令函数，则，由可得，当时，，当时，，因此可得在上单调递减，因为，所以，即，因此，即，可得，即；显然均大于0，又，可得；同理可知，所以，即，因此，即，可得，即；即可得.故选：B9．ACD【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系.已知正方体边长为1，则各点坐标为：，，，，，，，为中点，故；为中点，故；为中点，故.选项A：向量，向量，向量.，故.，故.又，且平面，所以平面，A正确.选项B：平面的法向量为.平面中，向量，，设其法向量，则，令，可得.因为，故两平面不垂直，B错误.选项C：向量，平面的法向量为.点到平面的距离，C正确.选项D：向量，向量.设异面直线与所成的角为，则，所以，D正确.故选：ACD10．BC【详解】对于A选项，，则，所以，故A错误；对于B选项，，则，时，，当时，，当，，故在上有且仅有一个极值点，故B正确；对于C选项，若，则，则，则，则有或，即或，当时，，，因为在上，，所以在上单调递增，故最大值为，故C正确；对于D选项，若，则，则，因为，则在上，则在上单调递增，，，由零点存在定理可得，在上，存在一点，使得，故有且仅有一个零点.故选：BC.11．ABD【详解】如图所示，可知抛物线C的焦点，由题意知m的斜率不可能为0，所以设直线，代入抛物线方程化简得，设，，则，对于A，依题意得过点且垂直于的直线方程为，与准线交于，可得，，故A正确；对于B，，，，当时，，此时为，是最小值，故B正确；对于C，由抛物线定义，，，所以，由A选项可知，由B选项可知，所以，故C错误；对于D，，同理，所以，，所以，而由B选项可知，则，故D正确．故选：ABD．12．等差【详解】对递推式两边同时取倒数，得：即：又，故.因此，是以为首项，为公差的等差数列.根据等差数列通项公式：所以：当时：故答案为：等差；13．【详解】设两曲线交点为，曲线的斜率为，曲线的斜率为，则，解得，对求导可得，，对求导可得，，因为两切线垂直，所以，所以，解得，由，解得，所以，由可得，所以.故答案为：.14．【详解】在△ABC中，由及正弦定理得.已知，，故.由余弦定理：所以，且，故，.设等边△PQR的边长为，在Rt△BPQ中，，设，则，，在Rt△BPQ中：,在△CQR中，由正弦定理：，代入得：.所以.又，故：，化简可得：.所以.令，其中.因为，所以：,当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为.故答案为：15．(1)(2)方程为，切点坐标为.【详解】（1）因为，所以在点处的切线的斜率为.所以切线方程为，即.（2）设切点为，则直线的斜率为，所以直线的方程为，又因为直线过点，所以，整理得，所以，所以，所以直线的方程为，切点坐标为.16．(1)0.84(2)(3)0.774【详解】（1）解定义事件：用户购买的是标准版手表，，：用户购买的是旗舰版手表，，：用户给出好评，：用户给出非好评，，：用户申请售后维权，：用户未申请售后维权，随机用户给出好评的概率；（2）售后维权分“好评后维权”和“非好评后维权”，需结合型号拆分：；所以；所以该用户购买的是标准版手表的概率；（3），得．所以符合优惠券发放条件的概率是0.774．17．(1)(2)证明见解析【详解】（1）由阶除序列的概念可得，为奇数，当时，为偶数，不符合题意，当时，为偶数，不符合题意，检验取时，均不为偶数，符合题意，故可以取．（2）在中，令，得到，即，所以数列为首项，公比为6的等比数列，所以，因为，即每一项被5除余数为1，则，故，因此不是整数，可得不是偶数，且每一项必为偶数，故数列是5阶除序列．18．(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）证明：如图，连接，在平行六面体中，，因为，所以，所以，又，所以为等边三角形，因为为的中点，所以.又平面，，所以平面，又平面，所以.（2）因为，，，所以，，，设为平面的一个法向量，则即，所以，令得，.则为平面的一个法向量．（3）因为，又，，所以，设与交于点，如图所示：由题意，四边形为菱形，，所以为边长为1的等边三角形，所以，即，设直线与平面所成的角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.19．(1)(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【详解】（1）由题意