全国初中数学课一等奖《切线长定理》教学设计

切线长定理

“切线长定理”教学设计

授课教师：XXX学校：XXXX中学

教学背景分析

教学内容分析：

（-*）内容

1.切线长的定义；2切线长定理；3.切线长定理的简单应用.

（二）内容解析

本节课的内容包括切线长的定义和切线长定理两部分.切线长定理是圆与直线的位置关系和切线的

判定定理、性质定理知识的迁移，最后应用它们解决一些实际问题，通过定理的探索过程，培养学生的几

何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的

知识和技能解决问题，发展应用意识。在解题中形成解决问题的基本策略，体验问题策略的多样性，发展

实践能力与创新精神。是本节课的重要任务.

点与圆生成切线长—►四边形与圆生成切线长一►三角形与圆生成切线长

本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“圆的问题转化为三角形及四边形的问题”，“新问题转化为旧

问题”，一题多解等数学思想。

学情分析及教学问题诊断：

（-）学情分析

学生已有的认知基础是圆的切线及相关知识、三角形全等的判定及性质等数学知识结构（学牛•的数学

现实），这为学生.学习切线长定义和切线长定理的新知识奠定基础。

（二）教学问题诊断

1.如何从生活中直观形象的提炼出切线长的定义，让学生认识到切线长定理的证明是转化为三角形全

等的证明这一转化思想，这对于初三的的学生来讲还是比较简单.因此，在设计教学时，首先通过自主探

究，合作交流的方式自己发现结论、得出结论，但将算以准确的教学语言加以描述及证明存在一定的问题

2.如何在较短的时间内用切线长定理总结出圆的外切四边形和外切三角形的相关结论，让学生自主的

从特殊到一般这一提炼的过程，这对于学生来说又是一个难题.因此，在教学过程中，通过折纸等试验，

精心设置问题，并且引导学生通过动手操作、实际比对、转化代数思想，然后得出两个非常实用的结论

教学方式：

以问题为导向，采用启发式与试验探究式相结合的教学方式.

在启发教学过程中，以问题引导学生思维.教学设计突出问题链的设计，教学过程中，随着学生思维

的发展，问题设置层层递进，环环相扣，使学生对问题的思考逐步深入，思维水平不断提高.尝试通过试

验的方法进行平面几何的教学,本节课立足教材，引导学生通过直观感知、操作确认得出数学结论，把合

情推理作为一个重要的推理方式融入到学生的学习过程中.

教学手段：

多媒体辅助教学

目标m目标解析

（-）教学目标

（1）、知识目标：了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用E进行有关的计算：在运用切线长定

理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何趣。

（2）、能力目标：经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推

理能力，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。

（3）、素质目标：初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识和技能解决问题，

发展应用意识。在解题中形成解决问题的基本策略，体验问题策略的多样性，发展实践能力与创新精•神。

（4）、情植与态度目标：了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的

体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心

（二）教学重点：理解切线长定理

（三）教学难点：应用切线长定理解决问题

教学流程示意

教学过程（表格描述）

教学阶段教师活动师生活动

教师用同学们熟悉

课前小游戏：请同学们观看班上同学悠悠球的精彩表演.

并且喜爱的玩具，并请同

激发

学上来表演

【设计意图】借助学生学生悠悠的表演，学生看到玩具眼

情趣睛一亮，注意力被吸引，想到老师为什么会在课堂上拿出

悠悠球，--时兴致勃勃。当老师话繇--转，步入正题时，

他们的兴致也随之而来，带着强烈的好奇心思考老师提出

的问题。

问题1:已知。。外一点P,你能用尺规过点P作00的切

线吗？

O、学生展示，教师补充

完善，指出作图中的应用

复习拓展

到的相关知识，达到解释

引入新知作图的理论依据。

【设计意图】通过发习切线的判定用尺规作图及原理从而

引出新课并为证明切线长定理打下图形基础

（一）、切线长定义

1、板书定义：在经过例外一点的切线匕这一点和切点

之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.

2、剖析定义：（1）找出中心词，把定义进行缩句。（线

段的长叫做切线长）

（2）定义中的“线段”具有什么特征？

定义辨析教师在板书定义之

①在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外后，通过对话交往，引导

深化理解

已知点。学生把对概念的感性认

3、在图形中辨别：（1）已知：如图1,PC和。0识上升到理性认识，然后

相切于点A，点P到。。的切线长可以用哪一条线段的在图形中进行识别，从而

长来表示？（线段PA）认识概念的本质特征，理

解概念的外延。在对话

中，教师以民主的精神、

平等的作风、宽容的态

度、真挚的爱心和悦纳的

情怀对待学生，在相互倾

图1图2听、接受和共享中获得知

识，使教学相长。

（2）已知：如图2,PA和PB分别与00相切于点A、B,

点P到。0的切线长可以用哪一条线段的长来表示？（线

段PA或线段PB）

（3）如图2,思考：点P到。。的切线长可以用三条或三

条以上不同的线段的长来友示吗？这样的线段最多可以

有几条？为什么？

（4）既然点P到。0的切线长可以用两条不同的线段的

长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某种关系，是

什么关系呢？我们来探索一下，出示探索问题1,从而进此处通过学生思考得出

结论，再次加深学生对概

入定理教学。

念的理解，也使学生了解

切线长与切线的关系，同

结合悠悠球的表演用生活中实际例子形象的刻面切线长

时由这个结论教师适时

的概念（球与手的距离就决定于这条线段的长度。）

引出探索问题1

【设计意图】使学生了解切线长的定义，并能在具体的图

形中把它们识别出来，培养学生合情推理能力、语言表达

能力。

>观察猜想定理教学的方式是学

（二）、切线长定理：生自主探索，相互交流相

1、探索问题1：从。0外一点P引。0的两条切线，切点结合。首先出示探索步骤

分别为A、B,那么线段PA和PB之间有何关系？

的前三个，等学生猜想出

探索步骤：

合乎情理结论后，再明确仅凭观

（1）根据条件画出图形；

察、度量、猜想并不能说

探索发现

（2）度量线段PA和PB的长度;明结论的正确性，还需证

明结论的正确性，同时激

（3）猜想：线段PA和PB之间的关系；励学生寻找证明猜想的

途径。之后，再让学生探

（4）寻找证明猜想的途径；

索更多的结论，并由（6）

得出定理。定理的剖析以

对话形式进行。在整个过

3程中，教师相应地进行板

书。

证明；连接OP.OA.OB

VPA,PB与00相切•点A,B是切点，

.\OA1PA,0B1PB.

W)Z0A!*-Z0BP-90-

VOA0BtOPOP,

Rt△AOP9RtZSBOP(HI.)

，PA=PR

几何港吉：

・・・PA.PB分别切。。于A,B,

APAPR

【设计意图】随着一环紧扣一环的探索问题的深入，学生

通过自主地发现问题、信息搜集与处理、表达与交流等探

索活动，获得知识、技能，并获得积极的、深层次的体验，

从而促进学生探究能力的发展

想一想：

如图，四边形ABCD的四条边都与。0相切于点L,M,N,教师引导，学生解答，并

P,图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴交流分享思维过程、展示解答

\C过程，教师给予及时评价

1)和纠正.

•o[M

p\

想一想教师引导学生，提

讲练结合ALB出问题，层层深入得出结

论

应用提高

由切线长定理得：

AL=AP,LB二MB,NC=MC,DN=DP

/.AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,

即AD+BC=AB+CD,

结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.

典例精析

例1：如图在RtaABC中NC=90。，AC=10,BC=24,

。。是aABC的内切圆，切点分别为D,E,F,例一由学生自主探

求。0的半径究解题思路并阐述，教师

板书

练一练

1、已知：如图,PA,PB是。。的切线，切点分

别是AR,Q为。。上一点，过Q点作OO的切线，交

PA,PB于E,F点，已知PA=12cm,求4PEF的周长.

【解析】易证EQEA.FQFB,PAPB.

；・PE*EQPA=12c«,

PF・FQPBPA=12c・.

，周长为24e.

2.设aABC的边BC=8,AC=11,AB=15,内切

圆OI和BCAQAB分别相切于点DJEF

求AE,CDRF的长.

练习由学生展示解题思

路：变式1由学生上黑板

讲演；变式2由学生帽述

观点，并展示思维过程.

教师点评

【解析】设AEx.BFy,CDz.

,x，y=15,x阳

则-（解得’y啡,

x*z=ii,

乱AE.CD.RF的长分别是9・2・6.

【设计意图】初步感受如何运用切线长定理与五角三角

形、四边形相结合的应用加深对定理的应用，并拓展学生

对圆外切四边无边之间的关系、在角三南形三边的长与内

切圆半径的关系

总结提问：

（1）通过本节:果的学习，你学会了什么？

（2）在学习的过程中，我们体会到处理问题时，通过观学生发言，互相补充，教

总结提高

察、猜测、实验、验证的方法得出定理，在应用师点评完善，归纳出判断

过程中总结得出相关结论，在学习新知识的过程直线与平面垂直的方法，

画龙点睛

中转化成用已学过的旧知识的方法解决问题给出框图（投影展示）.

【设计意图】回顾和总结本节课的主要内容，优化重妲认

识结构，并鼓励学生多总结，多反思.

1.（必做题）

（1）课本P67练习1,2.

（2）

姓名：年月日

今天数学课的课题是：

涉及的重要知识有：

课后作业

理解得最好的地方是：

学生自主完成，教师评阅

巩固提高不明白或还需要进一步理解的地方是：

2.（选做题）研究性作业

等边三角形内切圆的半径与边长的关系

【设计意图】进一步巩固新知，提高运用切线长的定义和

切线长定理解决问题的能力；教学日记的设计可以鼓励学

生反思所学，提高认知；研究性作业的设计可以提高学生

独立思考、自主探究的能力，满足学有余力的同学需要.

本节课在教师的引导下，学生认真参与、积极探索，学习热情较高.通过学习理

效果评价解并掌握切线长的定义和切线长定理：能对定义与定理进行简单应用.在抽象概括和

观察猜想能力的提高等方面都有一定的进步，达到了本课教学目标.

本节课教学设计的特色

(1)体现数学生活化和教学的文化意境

本节课从生活实例出发，借助学生已有的生活经验和知识水平引出课题，使教材生动、自然而亲切，

既提高了学生学习数学的兴趣，乂体现了数学生活化，生活离不开数学，数学是有用的.

通过小游戏的引入不但丰富了数学课堂的文化意涵，增加了学生的学习兴趣，更值得强调的是，它能

够帮助学生克服认知上的困难.结合初中生的实际情况，合理选题、安排合理

(2)关注学生思维发展，充分体现“生本”的原则

学生是学习的主体，作为教师只有关注学生思维才能更好的起到主导作用.本课中从对生活实例的观

察到学生思考举例引出课题；从“悠悠球”的学生表演到提炼定义；从尺规作图后的图形猜想定理，到学

生试验、学生操作确认定理并证明定理的过程中，都想学生传达一个信息：我们的课堂是生动的、有趣的，

充满了民主、平等和关爱.整节课都是以学生为中心，教师扮演的是组织者、引导者和参与者的角色，让

学生真正成为了课堂的主人.

(3)充分运用构建主义的思想

构建卞义认为,知识的获得不是通过教师传授得到的,而是学习考在一定的情境下，借助他人的帮助，

利用必要的学习资料，通过意义构建的方式而获得的.因此，在教学过程的设计上，更加注重学生的探索

过程，充分向学生展示知识的发生、发展过程，而不是将知识强加给学生.本节课的教学遵循新课标要求，

圆的学习采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质.

点评

本节课是由XXX老师执教的《切线长定理》，整堂课教学思路层次分明，脉络清晰，始终以“切

线长定理"的''自然生成”及其应用为主线，贯穿于整个教学过程。马老师语言精炼，富有亲和尢与

感染力：师生关系融洽，气氛和谐：重点突出，难点突破得法，教学目标基本达成。马老师在授课的

过程中做到了“从一个知识传授者转变为学生学习的促进者：从课堂时间与空间支配者的权威地位，

向数学学习活动的组织者、引导者和合作者的角色转换”。下而就本节课谈谈本人的一些看法：

一、注重预设与生成，合理处理“数学知识的内在联系”。

在本节课一开始马老师就抓住了“圆的切线”，借助学生悠悠球的表演，用生活中学生感兴趣的