2019-2020学年安徽省合肥市庐江县高一下期末数学试卷

庐江县2019-2020学年度第二学期期末检测高一数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填涂到答题卡上）1.已知向量与共线，下列说法正确的是（）A.或 B.与平行C.与方向相同或相反 D.存在实数，使得2.在△中，，则△一定是（）A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形3.已知数列是等差数列，，，则这个数列的前8项和等于（）A.24 B.48 C.52 D.604.如下的程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值，若，则这样的值有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（）A B.C. D.6.设满足约束条件，则的最大值为（）A.2 B.3 C.12 D.157.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形.现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.8.若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（）A. B.C. D.9.在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（）A. B. C. D.10.已知点，，，，则向量在方向上的投影是（）A. B. C. D.11.从装有两个白球和两个黄球口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都白球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④恰有1个白球与都是黄球.其中互斥而不对立的事件共有（）A.0组 B.1组 C.2组 D.3组请在下列A题和B题中选做一题.12.已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为（）A. B. C. D.13.已知数列中，，，且当n为奇数时，；当n为偶数时，，则此数列的前20项的和为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在答题卡上）14.将二进制数化成十进制数，结果为__________.15.某单位名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取名职工作样本，采用系统抽样方法，按编号分为组，分别为，，，，第组抽取号码为，第组抽取号码为__________.若采用分层抽样，岁以下年龄段应抽取__________人.16.在如图所示的方格纸中，向量的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若与（x，y为非零实数）共线，则的值为__________.请在下列A题和B题中选做一题.17.已知正数满足，则的最小值为______.18.已知函数，若在上恒成立，则的取值范围__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.设，，求的值.20.庐江县统计局统计了该县2019年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：年收入（万元）24466677810年饮食支出（万元）1.01.51.62.01.81.91.82.02.12.3（1）由散点图可知与是线性相关的，求线性回归方程；（2）若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：（参考数据：）21.设△内角、、所对的边长分别为、、，且满足.（1）求角的大小；（2）若，边上的中线的长为，求△的面积.22.某校从高一年级参加期末考试的化学试卷中随机抽出60份，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示；（1）依据频率分布直方图，估计此次考试成绩的众数和平均数；（2）已知在分数段的学生的成绩都在95分以上且互不相同、现用简单随机抽样方法，从96，97，98，99，100这5个数中任取两个数，求这2个数恰好是该分数段两个学生成绩的概率.23.小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)请在下列A题和B题中选做一题.24.已知数列为等差数列，且，.（1）求数列通项公式；（2）令，求证数列为等比数列；（3）令，求数列的前n项和.25.已知数列为等差数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求证数列为等比数列；（3）令，求数列的前n项和.

庐江县2019-2020学年度第二学期期末检测高一数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填涂到答题卡上）1.已知向量与共线，下列说法正确的是（）A.或 B.与平行C.与方向相同或相反 D.存在实数，使得【答案】B【解析】【分析】根据向量共线的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果.【详解】向量与共线，不能判定向量模之间的关系，故A错；向量与共线，则与平行，故B正确；为零向量，则满足与共线，方向不一定相同或相反；故C错；当，时，满足与共线，但不存在实数，使得，故D错.故选：B.【点睛】本题主要考查向量共线的有关判定，属于基础题型.2.在△中，，则△一定是（）A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形【答案】B【解析】【分析】根据，利用正弦定理得到，即，再根据B，C的范围求解.详解】由正弦定理得：，又，所以所以，即，又，所以所以则△一定是等腰三角形故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.已知数列是等差数列，，，则这个数列的前8项和等于（）A.24 B.48 C.52 D.60【答案】C【解析】【分析】利用等差数列通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出这个数列的前8项和.【详解】∵数列是等差数列，，，∴，解得，，∴这个数列的前8项和为：，故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的前项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，属于基础题.4.如下的程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值，若，则这样的值有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】试题分析：根据题意可知，当时，，令，解得，当时，，令，解得，当时，，方程在给定范围内无解，故一共有三个解，所以答案为C．考点：程序框图．5.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】∵∴−=3(−)；∴=−.故选A.6.设满足约束条件，则的最大值为（）A.2 B.3 C.12 D.15【答案】C【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当，时，取得最大值．【详解】解：作出，满足约束条件表示的平面区域：得到如图的阴影部分，其中，为坐标原点，设，将直线进行平移，当经过点时，目标函数达到最大值，．故选：C.【点睛】本题考查利用几何法求目标函数的最大值，考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题.7.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形.现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】号与号是全等的等腰直角三角形，设其面积为，可得号板面积为号板面积为号板面积为，则正方形面积为，阴影的面积为，由古典概型概率的公式可得，此点取自阴影部分的概率为，故选C.8.若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据关于x的不等式的解集为，利用韦达定理得到，则不等式转化为，再利用穿根法求解.【详解】因为关于x的不等式的解集为，所以由韦达定理得：，所以，即为，即为，即为用穿根法得不等式解集为：，故选：D【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集的应用以及穿根法求高次不等式，属于中档题.9.在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，由余弦定理得,当且仅当时取“”，的最小值为，选C.10.已知点，，，，则向量在方向上的投影是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知先求出以，的坐标，然后结合向量投影的定义可知，向量在方向上的投影是，代入可求．【详解】解：由题可知，，，，，所以，，则向量在方向上的投影是.故选：A.【点睛】本题考查平面向量的投影的定义的简单应用，属于基础题．11.从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是白球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④恰有1个白球与都是黄球.其中互斥而不对立的事件共有（）A.0组 B.1组 C.2组 D.3组【答案】B【解析】【分析】利用互斥事件与对立事件的定义判断.【详解】①至少有1个白球至少有1个黄球即一个白球一个黄球和两个白球，至少有1个黄球至少有1个黄球一个白球和两个黄球，能同时发生，不是互斥事件；②至少有1个黄球即一个白球一个黄球和两个黄球与都是白球，互斥也对立；③恰有1个白球即一白球一黄球，恰有1个黄球即一白球一黄球，能同时发生，不互斥；④恰有1个白球即一白球一黄球与都是黄球互斥不对立.所有互斥而不对立的事件共有1组故选：B【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件的判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.请在下列A题和B题中选做一题.12.已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：,又因为是与的等比中项,所以，即，解之得，所以，故选D.考点：1.等差数列定义与性质；2.等比数列的定义与性质；3.等差数列的前项和.【名师点睛】本题考查等差数列定义与性质、等比数列的定义与性质、等差数列的前项和，属中档题；解决等差数列与等比数列相关问题最常用的方法就是基本量法，即用首项及公差，公比来表示已知条件，列出方程或方程组，求出就可以解决受益人问题.13.已知数列中，，，且当n为奇数时，；当n为偶数时，，则此数列的前20项的和为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据n为奇数时，；n为偶数时，，得到数列中所有奇数项构成以0为首项，以2为公差的等差数列；所有偶数项构成以1为首项，以3为公比的等比数列；然后分别利用等差数列和等比数列前n项和求解.【详解】因为，，且当n为奇数时，；当n为偶数时，，则此数列的前20项的和为所以数列中所有奇数项构成以0为首项，以2为公差的等差数列；所以数列中所有偶数项构成以1为首项，以3为公比的等比数列；所有，，，故选：C【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的前n项和公式以及分组求和的方法，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在答题卡上）14.将二进制数化成十进制数，结果为__________.【答案】37【解析】【分析】二进制与十进制数之间的转换，只要我们根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案．【详解】解：.故答案为：37.【点睛】本题考查了二进制与十进制的相互转换，属于基础题.二进制转换为十进制方法：按权相加法，即将二进制每位上的数乘以权（即该数位上的1表示2的多少次方），然后相加之和即是十进制数．大家在做二进制转换成十进制需要注意的是：（1）要知道二进制每位的权值；（2）要能求出每位的值．15.某单位名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取名职工作样本，采用系统抽样方法，按编号分为组，分别为，，，，第组抽取号码为，第组抽取号码为__________.若采用分层抽样，岁以下年龄段应抽取__________人.【答案】(1).(2).【解析】【分析】计算出分段间隔，可计算出第组抽取的号码；利用岁以下年龄段的频率乘以可得出采用分层抽样，岁以下年龄段应抽取的人数.【详解】若采取系统抽样，分段间隔为，由于第组抽取号码为，则第组抽取号码为；若采取分层抽样，岁以下年龄段应抽取.故答案为：；.【点睛】本题考查系统抽样中样本编号的计算，以及分层抽样样本容量的计算，同时也考查了扇形统计图的应用，考查计算能力，属于基础题.16.在如图所示的方格纸中，向量的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若与（x，y为非零实数）共线，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】由题意易得每个向量的坐标，由斜率共线可得和的关系式，变形可得答案．【详解】解：设图中每个小正方形的边长为1，则，，，，与共线，，，即故答案为：【点睛】本题考查平行向量与共线向量，属于基础题．请在下列A题和B题中选做一题.17.已知正数满足，则的最小值为______.【答案】9.【解析】【分析】正数a，b满足4a+b＝ab，即1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【详解】∵正数a，b满足4a+b＝ab，即1．则a+b＝（a+b）55+29，当且仅当b＝2a＝6时取等号．∴a+b的最小值为9．故答案为9．【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.已知函数，若在上恒成立，则的取值范围__________.【答案】【解析】分析】由题意得，在上恒成立，再利用基本不等式可得在上恒成立；从而得出的取值范围．【详解】解：，可化为，由于在上恒成立，即在上恒成立，又，（当且仅当，即时，等号成立）；在上恒成立，解得：或，则的取值范围为：.故答案为：.【点睛】本题考查函数的恒成立问题求参数范围，以及利用基本不等式求最值，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.设，，求的值.【答案】【解析】【分析】计算得到，再计算得到答案.【详解】∵，∴.又∵，∴.∴，则.【点睛】本题考查了向量的模的计算，意在考查学生的计算能力.20.庐江县统计局统计了该县2019年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：年收入（万元）24466677810年饮食支出（万元）1.01.51.62.01.81.91.82.02.12.3（1）由散点图可知与是线性相关的，求线性回归方程；（2）若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：（参考数据：）【答案】（1）；（2）2.25万元.【解析】【分析】（1）由已知数据求出和，根据所给公式求出与的值，即可得关于的线性回归方程；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取求得值即可．【详解】解：（1）依题意可计算得，，．，，又，，，，，所求的线性回归方程为.（2）当时，（万元），估计大多数年收入9万元的家庭每年饮食支出约为2.25万元.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．21.设△的内角、、所对的边长分别为、、，且满足.（1）求角大小；（2）若，边上的中线的长为，求△的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理表示出，将已知等式变形后代入求出的值，由为三角形内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的大小；（2）利用正弦定理化简已知等式，求出的值，由为三角形内角，利用特殊角的三角函数值求出的度数，确定出的度数，设，则，，，利用余弦定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出和，即可确定出三角形的面积．【详解】解：（1）由余弦定理得：，因为是三角形的内角，所以.（2）由正弦定理得，代入，可得，即，因为，所以，所以，于是，设，则，，，由余弦定理可知，即，解得，于是.【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用和余弦定理解三角形，两角和与差的余弦公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．22.某校从高一年级参加期末考试的化学试卷中随机抽出60份，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示；（1）依据频率分布直方图，估计此次考试成绩的众数和平均数；（2）已知在分数段的学生的成绩都在95分以上且互不相同、现用简单随机抽样方法，从96，97，98，99，100这5个数中任取两个数，求这2个数恰好是该分数段两个学生成绩的概率.【答案】（1）众数为75；平均数72分；（2）.【解析】【分析】（1）直接依据频率分布直方图即估计此次考试成绩的众数和平均数；（2）用列举法可得基本事件总数为10，这2个数恰好是该分数段两个学生成绩包含的基本事件个数3，由古典概型概率计算公式即可得结果.【详解】解：（1）由图知，众数为75；利用中值估算抽样学生成绩平均分：，所以，估计这次考试的平均分是72分.（2）从96，97，98，99，100中抽取2个数，全部可能的基本事件有：共10个基本事件.由题知，在分数段的学生是（人），而且成绩都不相同，且都在95分以上，不妨设这3人的成绩是96，97，98，则事件A：“2个数恰好是两个学生的成绩”包括的基本事件有：共3个基本事件，所以所求事件的概率为.【点睛】本题主要考查众数、平均数、概率求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.23.小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平