勾股定理的逆定理及其应用（第2课时）课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

勾股定理的逆定理及其应用（第2课时）数学人教版八年级下册我们学习了勾股定理及其逆定理，请用文字语言表述这两个定理．勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长

a，b，c满足

a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为

a，b，斜边长为

c，那么

a2＋b2＝c2．求直角三角形的未知边长判断三角形是不是直角三角形问题1如图，港口

P

位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile．它们离开港口1.5h

后分别位于点

Q，R处，且相距30nmile．如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？速度时间RQ∠1＝45°可求PQ，PR思考1：怎样确定“海天”号的航向？求出两艘轮船的航向所成角（∠RPQ），就能知道“海天”号的航向．问题1如图，港口

P

位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile．它们离开港口1.5h

后分别位于点

Q，R处，且相距30nmile．如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？速度时间RQ∠1＝45°可求PQ，PR思考2：如何将航海问题转化为数学问题？想一想，图中的哪些条件是已知的？要求什么？构造△PQR，QR＝30，PQ＝24，PR＝18，∠1＝45°，要求∠RPQ，进而求出∠2．45°301824问题1如图，港口

P

位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile．它们离开港口1.5h

后分别位于点

Q，R处，且相距30nmile．如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？速度时间RQ∠1＝45°可求PQ，PR思考3：要求∠RPQ，你认为△PQR的三边会满足什么关系？你有怎样的猜想？猜想△PQR是直角三角形，它的三边满足勾股定理的逆定理．45°301824解：根据题意，PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30．因为242＋182＝302，即

PQ2＋PR2＝QR2，所以∠QPR＝90°．由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°．因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．远航号P海天号EQR1245°N问题1301824归纳“航海类”问题的解题要点（1）转化思想：将航海中的方位、路程转化为三角形的角度与边长的问题；（2）解题步骤：①根据“路程＝速度×时间”算出三角形的边长；②用勾股定理的逆定理判断三角形的形状并得到直角；③结合方位角确定航行方向．问题2如图，在四边形

ABCD中，AB＝5，BC＝3，AD＝

，DC＝

．如果

AC⊥BC，判断

AC与

AD是否也垂直，并说明理由．思考1：怎样判断

AC与

AD是否垂直？要判断

AC与

AD是否垂直，就需要判断△ACD是不是直角三角形，也就要知道△ACD的三条边长．

怎么求

AC？问题2如图，在四边形

ABCD中，AB＝5，BC＝3，AD＝

，DC＝

．如果

AC⊥BC，判断

AC与

AD是否也垂直，并说明理由．思考2：在△ACD中，题目已知了AD和

DC的长度，并没有告诉我们

AC的长度，你能想办法求出

AC的长度吗？在△ABC中，已知

AB

和BC

，由勾股定理可以求出

AC．

怎么求

AC？问题2如图，在四边形

ABCD中，AB＝5，BC＝3，AD＝

，DC＝

．如果

AC⊥BC，判断

AC与

AD是否也垂直，并说明理由．解题步骤：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，计算

AC；

（2）在△ACD中，根据勾股定理的逆定理判断△ACD是不是直角三角形．解：因为

AC⊥BC，所以

∠ACB＝90°．在Rt△ABC中，AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16．所以

AC＝4．在

△ACD中，AC2＋AD2＝42＋

＝

，CD2＝

＝

，所以

AC2＋AD2＝CD2．因此

△ACD是直角三角形，即

AC⊥AD．问题2归纳综合运用勾股定理及其逆定理解题的一般思路（1）观察图形，找出直角三角形，用勾股定理计算未知边长；

（2）

利用勾股定理的逆定理判断目标三角形是否为直角三角形；

（3）

结合图形，说明垂直或角度关系．

1．A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？

解：由图知，在△ABC中，AB＝12，BC＝5，AC＝13．因为

AB2＋BC2＝122＋52＝169，AC2＝132＝169，所以

AB2＋BC2＝AC2．所以△ABC为直角三角形，且∠B＝90°．由于A地在B地的正东方向，所以C地在B地的正北方向．

2．高师傅有

5根长度（单位：dm）分别为

a＝6，b＝8，c＝10，d＝24，e＝26的钢条，准备选3根焊接一个直角三角形钢架．请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合．

分析：要使找到的钢条组合能焊接出一个直角三角形钢架，就要使钢条组合的长度满足勾股定理的逆定理．

直接观察

a，b，c，d，e的长度不易判断，可以先分别计算出它们的平方值，再进行观察．

2．高师傅有

5根长度（单位：dm）分别为

a＝6，b＝8，c＝10，d＝24，e＝26的钢条，准备选3根焊接一个直角三角形钢架．请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合．

解：a2＝36，b2＝64，c2＝100，d2＝576，e2＝676，

所以

a2＋b2＝c2，c2＋d2＝e2，

可能的钢条组合有2种，长度分别为

a，b，c的钢条和长度分别为

c，d，e的钢条．

3．如图，在四边形

ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求四边形

ABCD的面积．分析：在△ABC

中，利用勾股定理求出AC利用逆定理判断△ACD为直角三角形把四边形ABCD分割为两个直角三角形，求面积之和431213解：因为

AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，所以

S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝

＋

＝36．

3．如图，在四边形

ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求四边形

ABCD的面积．由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC