勾股定理及其应用（第2课时）课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

勾股定理及其应用（第2课时）数学人教版八年级下册上一节课我们成功探索并证明了勾股定理，知道了直角三角形的三边具有特殊的数量关系，即两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系，是数学中重要的定理之一，在现实生活中有着极为广泛的应用．今天，我们就一同探究如何运用它解决实际问题．问题同学们见过工人师傅搬东西吗？如果要搬运的物品，它的长或宽都比房间的门更大时，它还有可能通过吗？这时候，有经验的工人师傅会怎么做呢？想象一下，现在有一块长方形的薄木板，想通过矩形门框，横着或竖着都无法通过时，应该怎样判断它能否斜着通过呢？木板的长、宽门框对角线的长度比较大小

连接对角线

AC，构造

Rt△ABC.其中，∠B＝90°，

AB＝1

m，BC＝2

m.问题1一个门框的尺寸如图所示，一块长

3m，宽

2.2

m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？

关键：先求出门框对角线的长度，再比较这个长度与木板的宽度.求斜边AC，再与木板宽度2.2m比较即可.勾股定理分析：问题1

解：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，

AC2＝AB2＋BC2＝12+22＝5，

所以

AC＝≈2.24＞2.2．

所以木板能从门框内通过．一个门框的尺寸如图所示，一块长

3m，宽

2.2

m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？归纳“能否通过”类问题的解题要点

（1）核心思想：在矩形（门框、通道等）中构造直角三角形，矩形的对角线为斜边；

（2）解题步骤：①构造直角三角形；②找准直角、斜边和直角边；③用勾股定理求对角线（斜边）长度；④与物体的关键尺寸比较．问题2如图，一架长为

2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点

A处，底端位于地面的点

B处，点

B到墙面的距离

BO为

0.7m．如果将梯子底端沿

OB向外移动

0.8m，那么梯子顶端也沿墙

AO下滑

0.8m吗？

关键：梯子移动前后，梯子的长度始终保持不变，即

AB＝CD．问题2分析1：梯子移动前后，分别构成了哪两个直角三角形？已知边和待求边分别是什么？

移动前：构成了Rt△AOB，斜边

AB＝2.5m，直角边

OB＝0.7m，待求直角边为

OA．移动后：构成了Rt△COD，斜边

CD＝2.5m，直角边

OD＝

0.7＋0.8＝

1.5m，待求直角边为

OC．

0.70.82.52.5问题2分析2：如何判断梯子顶端是否沿墙

AO下滑

0.8m？可以先根据勾股定理分别求出

OA和

OC，再计算出

OA与

OC的差值，即为顶端下滑的距离．

0.70.82.52.5问题2解：当梯子底端沿

OB向外移动0.8m时，设梯子的底端由点B移动到点

D，顶端由点

A下滑到点

C．可以看出，AC＝OA－OC．在

Rt△AOB中，根据勾股定理，OA2＝AB2－OB2＝2.52－0.72＝5.76，OA＝2.4．在

Rt△COD中，根据勾股定理，OC2＝CD2－OD2＝2.52－(0.7+0.8)2＝4，OC＝2．所以，AC＝OA－OC＝2.4－2＝0.4．因此，梯子顶端并不是下滑0.8m，而是下滑0.4m．归纳“梯子移动”类问题的解题要点

（1）

隐藏条件：梯子长度不变，始终为直角三角形的斜边长；

（2）

核心思路：分别分析移动前后的两个直角三角形，用勾股定理求对应直角边长度；

（3）

关键提醒：避免主观臆断“底端移动距离＝顶端移动距离”，需通过计算验证．

1．如图，

A，B是池塘边上的两点，点

C是与

BA方向成直角的方向上一点，测得

BC＝60m，AC＝20m．求

A，B两点间的距离（结果取整数）．

解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB2＝BC2－AC2＝602－202＝3200．

AB＝≈57．

所以

A，B两点间的距离约为57m．

2．如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度，位于地面上点

A处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点

B，仪器显示

AB＝23.1m；再将激光射向楼顶端的点

C，仪器显示

AC＝31.9m；最后仪器自动显示出楼高

BC＝22m．你能说出其中的数学道理吗？

解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，

BC2＝AC2－AB2＝31.92－23.12＝484．

BC＝

＝22．所以楼高

BC为

22m．间接测量建筑物高度的方式

3．电视机的屏幕尺寸是指它的屏幕对角线的长度，通常以英寸（1英寸＝2.54cm）为单位．王芳测得自家电视机的屏幕宽为71cm，高为40cm，这台电视机的屏幕尺寸是多少英寸（结果取整数）？

解：设屏幕对角线长度为

xcm，

在直角三角形中，根据勾股定理，71cm40cm

x2＝712＋402＝6641．x＝

≈81.49．81.49÷2.54≈32．

答：这台电视机的屏幕尺寸约为32英寸．归纳利用勾股定理解决实际问题的一般步骤

（1）审清题意，识别实际问题中的直角三角形场景，明确直角、直角边和斜边；

（2）根据勾股定理列出数量关系式；