2026版高三数学讲义第二章　2.1　函数的概念及其表示

第二章函数的概念与基本初等函数

2．1函数的概念及其表示

1．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．

2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示

函数，理解函数图象的作用．

3．了解简单的分段函数，并能简单应用．

1．函数的概念

(1)函数的定义

一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定

的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到

集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.

(2)函数的三要素

函数由定义域、值域和对应关系三个要素构成．在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量的取值

范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域．

2．函数的表示法

解析法图象法列表法

用解析式表示两个变量之间用图象表示两个变量之间的列出表格来表示两个变量之

的对应关系对应关系间的对应关系

3.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函

数叫做分段函数．

教材拓展

1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．

2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．

3．分段函数虽由几部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数

的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．

1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×)

(2)任何一个函数都可以用图象法表示．(×)

(3)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点．(√)

x－1，x≥0，

(4)函数f(x)＝的定义域为R.(√)

x2，x<0

2．(人教A版必修第一册P66例3改编)下列各组函数表示同一个函数的是(C)

A．y＝x和y＝(x)2

3

B．y＝x3和y＝x2

x，x≥0，

C．y＝|x|和y＝

－x，x<0

x2

D．y＝x－1与y＝－1

x

解析：对于A，y＝x的定义域为R，y＝(x)2的定义域为[0，＋∞)，定义域不同，不是

3

同一个函数，故A错误；对于B，y＝x3＝x，y＝x2＝|x|，对应关系不同，不是同一个函数，

故B错误；对于C，两函数的定义域，对应关系均相同，是同一个函数，故C正确；对于D，

x2

y＝x－1的定义域为R，y＝－1的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一个函数，故D

x

错误．故选C.

3(x－2)0

3．(人教A版必修第一册P65例2改编)函数f(x)＝x－1＋的定义域为(－∞，－

x2－2

2)∪(2，2)∪(2，＋∞)．

x－2≠0，

解析：由题意有解得x<－2或2<x<2或x>2.故其定义域为(－∞，－

x2－2>0，

2)∪(2，2)∪(2，＋∞).

2

x＋－3，x≥1，

4．设f(x)＝x则f(f(－1))＝0．

x2＋1，x<1，

2

解析：f(－1)＝(－1)2＋1＝2，则f(f(－1))＝f(2)＝2＋－3＝0.

2

考点1函数的定义域

2x＋1

【例1】(1)函数f(x)＝的定义域是(D)

lg(x－1)

A．

B．{x|x>1}

C．

D．{x|x>1且x≠2}

2x＋1≥0，

【解析】要使f(x)有意义，则应有x－1>0，解得x>1且x≠2.故选D.

x－1≠1，

(2)(2024·湖北武汉二模)已知函数f(2x＋1)的定义域为[－1，1)，则函数f(1－x)的定义域

为(－2，2]．

【解析】由函数f(2x＋1)的定义域为[－1，1)，则有2x＋1∈[－1，3)，令－1≤1－x<3，

解得－2<x≤2.

1．求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为

准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义．

2．求抽象函数定义域的方法

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b

求出．

(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．

3．定义域是一个集合，要用集合的描述法或区间等形式表示．若定义域不连续，则用区

间表示时，应分成多个区间，各区间之间不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

xf(x－1)

【对点训练1】(1)已知函数f(x)＝，则函数的定义域为(D)

2x－4xx＋1

A．(－∞，1)

B．(－∞，－1)

C．(－∞，－1)∪(－1，0)

D．(－∞，－1)∪(－1，1)

x

解析：因为f(x)＝，所以2x－4x>0，解得x<0，所以函数f(x)的定义域为(－∞，

2x－4x

f(x－1)

0)，所以函数需满足x－1<0且x＋1≠0，解得x<1且x≠－1.故选D.

x＋1

1

(2)(2024·北京通州区二模)函数f(x)＝x2＋lg(x－2)的定义域为{x|x>2}．

x≥0，

解析：根据题意可得解得x>2，故定义域为{x|x>2}．

x－2>0，

考点2求函数的解析式

【例2】(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式．

1

x2＋1

(2)已知fx2＝x4＋，求f(x)的解析式．

x4

(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．

(4)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式．

【解】(1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]，则sinx＝1－t，

∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，

∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]，

即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2).

1

x2＋

211111

(2)(配凑法)fx＝x4＋＝x2＋2－2，又x2＋≥2x2·＝2，当且仅当x2＝，

x4x2x2x2x2

即x＝±1时等号成立，

1

设t＝x2＋，则t≥2，

x2

∴f(t)＝t2－2(t≥2)，

∴f(x)＝x2－2(x≥2).

(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，

a＝2，

解得∴f(x)＝2x＋7.

b＝7.

(4)(解方程组法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2①，

∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2②，

由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6，

∴f(x)＝3x－2.

函数解析式的求法

(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x替代

g(x)，便得f(x)的解析式．

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．

(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．

1

(4)方程思想：已知关于f(x)与fx或f(－x)等的解析式，可根据已知条件再构造出另外

一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).

11

【对点训练2】(1)已知f(x＋1)＝，则f(x)＝，其定义域为(1，＋∞)．

x(x－1)2

x≥0，1

解析：由题意得解得x>0，所以f(x＋1)＝(x>0)，

x≠0，x

令x＋1＝t(t>1)，则x＝(t－1)2，

1

所以f(t)＝(t>1)，

(t－1)2

1

所以f(x)＝(x>1).

(x－1)2

8

(2)已知f(x)满足3f(x)＋2f(1－x)＝4x，则f(x)的解析式为f(x)＝4x－．

5

解析：由3f(x)＋2f(1－x)＝4x①，

用1－x代x可得，3f(1－x)＋2f(x)＝4(1－x)②，

8

3×①－2×②得f(x)＝4x－.

5

考点3分段函数

命题角度1分段函数求值

2x＋2－x，x≤3，

【例3】(2024·江苏南通二模)已知函数f(x)＝x则f(log29)＝(B)

f2，x>3，

810

A．B．

33

8082

C．D．

99

2x＋2－x，x≤3，

【解析】因为f(x)＝x

f2，x>3，

1

log29

110

log29>3，log23<3，则f(log29)＝f2＝f(log23)＝＋＝3＋＝.故选B.

33

命题角度2分段函数与方程、不等式

x2－1，x<0，

【例4】(1)(2024·北京大兴区三模)已知f(x)＝若f(m)＝8，则m＝－3

4x，x≥0，

或3．

2

x2－1，x<0，m2－1＝8，4m＝8，

【解析】因为f(x)＝且f(m)＝8，所以或解

4x，x≥0m<0m≥0，

3

得m＝－3或m＝.

2

x＋1，x≤0，

(2)(2024·湖北武汉一模)已知函数f(x)＝则关于x的不等式f(x)≤1的

ln(x＋1)，x>0，

解集为(－∞，e－1]．

【解析】当x≤0时，f(x)＝x＋1≤1，得x≤0，所以x≤0；当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)≤1，

得－1<x≤e－1，所以0<x≤e－1.综上，f(x)≤1的解集为(－∞，e－1].

关于分段函数求值问题的解题思路

(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当

出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．

(2)求自变量的值或范围：先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的某段上，然后求

出相应自变量的值或范围，再用同样的方法求其余各段上自变量的值或范围，最后综合得出

结果．切记要代入检验．

2x+1－8，x≤1，

【对点训练3】(1)(2024·山东泰安二模)已知函数f(x)＝4log1(x＋1)，x>1，且f(m)

2

＝－12，则f(6－m)＝(D)

A．－1B．－3

C．－5D．－7

解析：由题意知，当m≤1时，f(m)＝2m+1－8＝－12，得2m+1＝－4，又2m+1>0，所以方

程无解；当m>1时，f(m)＝4log(m＋1)＝－12，得log(m＋1)＝－3，即m＋1＝8，解得m

11

＝7，所以f(6－m)＝f(－1)＝2-1+12－8＝－7.故选D.2

1

1，|x|<1，

(2)(2024·北京东城区二模)设函数f(x)＝则ff2＝1，不等式f(x)<f(2x)的

x2，|x|≥1，

－∞，－11，＋∞

解集是2∪2．

1

111

解析：由题意可知ff2＝f(1)＝1.因为f(x)<f(2x)，当|2x|<1，即－<x<时，则|x|<<1，

222

11

|2x|≥1，－1，－，11

可得1<1，不合题意；当即x∈2∪2时，可得1<(2x)2，解得x>或

|x|<1，2

11

1－1，－，1

x<－，所以x∈2∪2；当|x|≥1，即x≥1或x≤－1时，则|2x|＝2|x|≥2>1，可

2

－∞，－11，＋∞

得x2<(2x)2＝4x2，符合题意．综上所述，不等式f(x)<f(2x)的解集是2∪2.

【例】(多选)(2024·广东六校联考)给定数集A＝R，B＝(0，＋∞)，x，y满足方程2x

－y＝0，下列对应关系f为函数的是(ABD)

A．f：A→B，y＝f(x)

B．f：B→A，y＝f(x)

C．f：A→B，x＝f(y)

D．f：B→A，x＝f(y)

【解析】对于A，y＝f(x)＝2x，x∈A，均有唯一确定的f(x)，且f(x)∈(0，＋∞)＝B

与之对应，符合函数定义，故符合题意；对于，＝＝x，∈，均有唯一确定的，

A∀Byf(x)2xBf(x)

且∈，＋∞，符合函数定义，故符合题意；对于，＝＝，取＝∈，

f(x)(1)ABC∀xf(y)log2yy1A

但＝∉，不符合函数定义，故不符合题意；对于，＝＝，∈，均有唯一

x0B⊆CDxf(y)log2yyB

确定的，且∈＝，符合函数定义，故符合题意．故选

f(y)f(y)RADABD.∀

本题考查函数的定义，需要学生对函数定义中的几个关键点深刻理解，才能将正确选项

全部选出，如C选项考查A中的每一个元素在B中都有唯一确定元素与之对应，体现新高考

对基础概念深入考查的特点和趋势．

课时作业6

x－2

1．（5分）函数f(x)＝的定义域为(D)

x2－1

A．(－1，1)

B．(－1，1)∪(2，＋∞)

C．[2，＋∞）

D．(－1，1)∪[2，＋∞）

x－2x－2(x－2)(x＋1)(x－1)≥0，

解析：函数f(x)＝，令≥0，等价于解得－1<x<1

x2－1x2－1(x＋1)(x－1)≠0，

x－2

或x≥2，所以函数f(x)＝的定义域为(－1，1)∪[2，＋∞）.故选D.

x2－1

2x，x>0，

2．（5分）（2024·吉林长春三模）已知函数f(x)＝则f(－3)＝(B)

f(x＋2)，x≤0，

A．1B．2

C．4D．8

解析：由函数可得，f(－3)＝f(－1)＝f(1)＝21＝2.故选B.

2x－1，x≤0，

3

3．（5分）已知函数f(x)＝x若f(x)＝－，则x＝(D)

1－，x>0，4

4

A.7B．－2

C．2D．7或－2

2x－1，x≤0，

33

解析：因为f(x)＝xf(x)＝－，所以当x≤0时，2x－1＝－，解得x＝

1－，x>0，44

4

x3

－2，满足x≤0，故x＝－2时等式成立；当x>0时，1－＝－，解得x＝7，满足x>0，故x

44

＝7时等式成立．故选D.

－x2－2x，x<0，

4．（5分）（2024·江西南昌二模）已知f(x)＝则不等式f(x)<2的解

log2(x＋1)，x≥0，

集是(B)

A．(－∞，2)B．(－∞，3)

C．[0，3）D．(3，＋∞)

解析：当x<0时，不等式f(x)<2可化为－x2－2x<2，所以x2＋2x＋2>0，可得x<0；当x≥0

时，不等式f(x)<2可化为log2(x＋1)<2，所以x＋1<4，且x＋1>0，所以0≤x<3，所以不等式

f(x)<2的解集是(－∞，3).故选B.

1

15

5．（5分）已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x)－4fx＝－，则f(2)的值为(D)

x

1515

A．B．

24

1717

C．D．

42

11

15

解析：因为定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x)－4fx＝－，所以fx－4f(x)＝－15x，

x

1

1511

所以fx＝4f(x)－15x，所以f(x)－4[4f(x)－15x]＝－，解得f(x)＝4x＋，所以f(2)＝8＋＝

xx2

17

.故选D.

2

f(x)

6．（5分）已知函数f(x＋2)的定义域为(－3，4)，则函数g(x)＝的定义域为

2x－1

(C)

11

，4，2

A．2B．2

11

，6，1

C．2D．2

解析：因为函数f(x＋2)的定义域为(－3，4)，则－3<x<4，－1<x＋2<6，所以f(x)的定义

1

1f(x)，6

域为(－1，6)，又因为2x－1>0，即x>，所以函数g(x)＝的定义域为2.故选C.

22x－1

7．（6分）（多选）下列各组函数中，两个函数是同一个函数的有(AC)

A．f(x)＝|x|和g(x)＝x2

x2－1

B．f(x)＝x＋1和g(x)＝

x＋1

|x|1，x>0，

C．f(x)＝和g(x)＝

x－1，x<0

D．f(x)＝x2－1和g(x)＝x＋1x－1

解析：对于A，g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝|x|的定义域和对应关系都相同，为同一个函数；对

x2－1

于B，g(x)＝＝x－1的定义域为{x|x≠－1}，而f(x)＝x＋1的定义域为R，它们的定义域

x＋1

1，x>0，

和对应关系都不同，不为同一个函数；对于C，f(x)＝与g(x)的定义域和对应关

－1，x<0

系都相同，为同一个函数；对于D，g(x)＝x＋1x－1＝x2－1的定义域为{x|x≥1}，而f(x)

＝x2－1的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，它们的定义域不同，不为同一个函数．故选AC.

1，x∈Q，

8．（6分）（多选）函数D(x)＝被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的

0，x∉Q

是(BD)

A．若D(x0)＝1，则D(x0＋2)＝0

B．x∈R，D（x＋3）＝1

．若－＝，则－∈

C∃D(x1)D(x2)0x1x2Q

D．函数D(x)的值域为{0，1}

1，x∈Q，

解析：因为D(x)＝对于A，D(x0)＝1，则x0∈Q，所以x0＋2∈Q，则D(x0

0，x∉Q，

＋2)＝1，故A错误；对于B，若x＝－3∈R，则x＋3＝0∈Q，则D（x＋3）＝1，故B

正确；对于C，若x1＝2，x2＝3，则D(x1)＝D(x2)＝0，满足D(x1)－D(x2)＝0，但是x1－x2

1，x∈Q，

∉Q，故C错误；对于D，因为D(x)＝所以函数D(x)的值域为{0，1}，故D正

0，x∉Q，

确．故选BD.

9．（5分）已知f(x＋1)＝2x2－3，若f(m)＝15，则m＝4或－2．

解析：令x＋1＝t，则可得x＝t－1，由f(x＋1)＝2x2－3可得f(t)＝2(t－1)2－3，所以f(m)

＝2(m－1)2－3＝15，解得m＝4或m＝－2.

(x＋1)2，x<1，

10．（6分）设函数f(x)＝则f(f（0)）＝4，使得f(a)≥4a的实数a

4－x－1，x≥1，

的取值范围是a≤1．

(x＋1)2，x<1，

解析：因为f(x)＝所以f(0)＝1，因此f(f（0)）＝f(1)＝4.当a<1时，

4－x－1，x≥1，

f(a)≥4a可化为(a＋1)2≥4a，即(a－1)2≥0，显然恒成立，所以a<1；当a≥1时，f(a)＝4－

a－1≥4a，解得a＝1.综上，a≤1.

x－4

，x≤－1，

x

11．（16分）已知函数f(x)＝1－xg(x)＝x2－1.

，x>－1，

1＋x

(1)求f(2)，g(2)的值；

7

(2)若f(g（a)）＝－，求实数a的值．

9

x－4

，x≤－1，

x

解：(1)因为2>－1，且f(x)＝1－x

，x>－1，

1＋x

1－21

所以f(2)＝＝－.

1＋23

因为g(x)＝x2－1，所以g(2)＝22－1＝3.

(2)依题意，令g(a)＝t，

t－479

若t≤－1，则f(g（a)）＝f(t)＝＝－，解得t＝>－1，

t94

与t≤－1矛盾，舍去；

1－t7

若t>－1，则f(g（a)）＝f(t)＝＝－，解得t＝8>－1，

1＋t9

故g(a)＝a2－1＝8，解得a＝±3，所以实数a的值为±3.

综上所述，a的值为±3.

12．（16分）(1)已知函数f(x－1)＝x2－4x，求函数f(x)的解析式．

(2)已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的解析式．

(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x＋4，求f(x)的解析式．

解：(1)令x－1＝t，则x＝t＋1，

所以f(t)＝(t＋1)2－4(t＋1)＝t2－2t－3，即f(x)＝x2－2x－3.

(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c，则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋

c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c，

又f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，

2a＝2，a＝1，

所以2b＝－4，解