2026版高三数学讲义第十章　10.3　二项式定理

10．3二项式定理

1．能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

1．二项式定理

二项式

n0n1n-11kn－kknn*

(a＋b)＝Cna＋Cnab＋…＋Cnab＋…＋Cnb(n∈N)

定理

0n1n-112n-22kn－kknn*n

二项Cna＋Cnab＋Cnab＋…＋Cnab＋…＋Cnb(n∈N)叫做(a＋b)

展开式的二项展开式

kn－kk

Cnab叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记作Tk

通项

kn－kk

＋1＝Cnab(k＝0，1，2，…，n)

二项式

k

各项的系数Cn(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数

系数

2.二项式系数的性质

(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，

mn－mnr

这一性质可直接由Cn＝Cn得到．直线r＝将函数f(r)＝Cn的图象分成对称的两部分，它

2

是图象的对称轴．

＋＋

n1kn1k

(2)增减性与最大值：当k<时，Cn随k的增加而增大；当k>时，Cn随k的增加

22

而减小．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与

相等且同时取得最大值．

012nn

(3)各二项式系数的和：Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2，且奇数项的二项式系数的和等于偶数

024135n-1

项的二项式系数的和，即Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2.

3．杨辉三角的性质

(1)最外层全是1，第二层（含1）是自然数列1，2，3，4，…，第三层（含1，3）是三

角形数列1，3，6，10，15，….

rn－r

(2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即Cn＝Cn.

rr-1r

(3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即Cn＝Cn－1＋Cn－1.

024135

(4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋….

n012nn

(5)第n行所有数的和为2，即Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2.

(6)自左（右）腰上的某个1开始平行于右（左）腰的一条线上的连续n个数的和等于最

后一个数斜左（右）下方的那个数．

1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）

kn－kkn

(1)Cnab是(a＋b)的展开式中的第k项．(×)

(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关．(√)

kn－kk

(3)通项Tk＋1＝Cnab中的a和b不能互换．(√)

(4)二项展开式中系数的最大项就是二项式系数的最大项．(×)

2．（人教A版选择性必修第三册P35T6(1)改编）在(2x－1)8的展开式中，x2的系数为112．

8r8-rrr8-rr8-r

解析：在(2x－1)的展开式中，通项Tr＋1＝C8(2x)(－1)＝(－1)2C8x，令8－r＝2，

2626

解得r＝6，所以x的系数是(－1)2C8＝112.

3．（人教A版选择性必修第三册P38T5(5)改编）(x2＋x＋y)7的展开式中x5y3的系数为140．

解析：由题意可知，x5y3只能为1项x2、3项x和3项y相乘而得，所以x5y3的系数为

133

C7·C6·C3＝140.

4．(1－3x)7的展开式中所有项的系数之和为－128．

解析：令x＝1，可得所有项的系数之和为(1－3)7＝(－2)7＝－128.

考点1通项公式的应用

命题角度1形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式

【例1】(1)（2024·北京卷）在（x－x）4的展开式中，x3的系数为(A)

A．6B．－6

C．12D．－12

4r4-rr

【解析】（x－x）的展开式的通项为Tr＋1＝C4x（－x）＝(r

r322

＝0，1，2，3，4)，令4－＝3，解得r＝2，故x的系数为C4(－1)＝6.故选A.

2

3

3＋x6

(2)（2024·天津卷）在x33的展开式中，常数项为20．

33

3＋x636－rxr

3r36-2rr6(r-3)

【解析】因为x3的展开式的通项为Tr＋1＝C6x3＝3C6x，r＝0，

03

1，…，6，令6(r－3)＝0，解得r＝3，所以常数项为3C6＝20.

求二项展开式中的问题，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指

数为零；求有理项时，指数为整数等），解出项数k＋1，代回通项即可．

命题角度2形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式

82

【例2】（2024·山东潍坊三模）已知(x＋3)·(x＋2)＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)＋…＋a8(x

89

＋1)＋a9(x＋1)，则a8＝(B)

A．8B．10

C．28D．29

【解析】(x＋3)(x＋2)8＝[(x＋1)＋2][(x＋1)＋1]8，其中[(x＋1)＋1]8的展开式的通项为

r8-rrr8-r088

Tr＋1＝C8(x＋1)·1＝C8(x＋1)，r∈N且r≤8，当r＝0时，T1＝C8(x＋1)＝(x＋1)，此时只

8177

需乘第一个因式[(x＋1)＋2]中的2，可得2(x＋1)；当r＝1时，T2＝C8(x＋1)＝8(x＋1)，此

8

时只需乘第一个因式[(x＋1)＋2]中的(x＋1)，可得8(x＋1).所以a8＝2＋8＝10.故选B.

对于几个多项式积的展开式的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，

但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．

命题角度3形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式

【例3】（2024·山东济宁一模）(a2－a＋b)5的展开式中a5b2的系数为(B)

A．－60B．－30

C．30D．60

【解析】(a2－a＋b)5＝(a2－a＋b)(a2－a＋b)(a2－a＋b)(a2－a＋b)(a2－a＋b)，则展开式

52222122522552

中含ab的项为C5(a)·C3(－a)·C2b＝－30ab，故(a－a＋b)的展开式中ab的系数为－30.

故选B.

求三项展开式中某些指定的项，常常利用这几种方法：

(1)两项看成一项，利用二项式定理展开．

(2)因式分解，转化为两个二项式再求解．

(3)看作多个因式的乘积，用组合的知识解答．

a

2－n

x3

【对点训练1】(1)已知x（其中a>0）的展开式中的第7项为7，则展开式中

的有理项共有(D)

A．6项B．5项

C．4项D．3项

a

－6

62n-63662n-14

解析：展开式的第7项为T7＝Cn(x)·x＝(－a)Cnx，由题意，得2n－14＝0，

1

k

66kk14-2k3

(－a)Cn＝7(a>0)，所以n＝7，a＝1，则展开式的通项为Tk＋1＝(－1)C7x·x＝(－

42－7k

kk42－7k

1)C7x3，k＝0，1，2，…，7，令∈Z，则k＝0，3，6，所以展开式中的有理项

3

共有3项．故选D.

(2)（2024·河北张家口三模）(1－x2)(1＋x)5的展开式中x4的系数为(A)

A．－5B．5

C．－10D．10

5rr25444

解析：(1＋x)的展开式的通项为Tr＋1＝C5x，则(1－x)(1＋x)的展开式中含x的项为C5x

2224244254

－x·C5x＝（C5－C5）x＝－5x，所以(1－x)(1＋x)的展开式中x的系数为－5.故选A.

1

x－－25

(3)（2024·陕西西安一模）x的展开式中x2的系数为(B)

A．－80B．－40

C．40D．80

151111

x－－2x－－2x－－2x－－2x－－21

解析：因为x＝x·xxxx－－2，故x2可以由5

x

个因式中的2个因式提供x，余下3个因式提供－2，或者5个因式中的3个因式提供x，余

1223311

下1个因式提供－，1个因式提供－2，故x的系数为C5(－2)＋C5C2(－2)(－1)＝－80＋40

x

＝－40.故选B.

考点2二项式系数与项的系数的问题

命题角度1二项式系数和与系数和

72

【例4】（多选）（2024·河南驻马店二模）已知(4－3x)＝a0＋a1(1－3x)＋a2(1－3x)＋…

7

＋a7(1－3x)，则(AC)

A．a4＝945

7

B．错误!i＝4－1

136

C．a0＋a2＋a4＋a6＝2＋2

613

D．a1＋a3＋a5＋a7＝2－2

7743

【解析】依题意得(4－3x)＝[3＋(1－3x)]，所以a4＝C7×3＝35×27＝945，故A正

177772

确；令x＝，得a0＝3，令x＝0，得错误!i＝4，所以错误!i＝4－3，故B错误；令x＝，

33

77

得2＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7①，又4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7②，由①＋

77

4＋213613

②可得a0＋a2＋a4＋a6＝＝2＋2，故C正确；同理，由②－①得a1＋a3＋a5＋a7＝2

2

－26，故D错误．故选AC.

命题角度2系数与二项式系数的最值

1

＋x10

【例5】（2024·全国甲卷理）3的展开式中，各项系数中的最大值为5Ｗ．

110－r

rr

【解析】由题意，得展开式的通项为Tr＋1＝C103x，r≤10且r∈N，设展开式

中第r＋1项的系数最大，则

110－r19－r≥29，

rr+1r

C103≥C103，4

110－r111－r≤33，

rr-1r

C103≥C103

⇒4

2933

即≤r≤，又r∈N，故r＝8，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为

44

12

8

C103＝5.

1．赋值法的应用

n2nnn

一般地，对于多项式(a＋bx)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋anx，令g(x)＝(a＋bx)，则(a＋bx)

1

的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a

2

1

＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)].

2

2．二项展开式中系数最大项的求法

如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各

Ak≥Ak－1，

项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解得k.

Ak≥Ak＋1，

1

x－4

【对点训练2】(1)（多选）（2025·广西来宾一模）在x的展开式中，下列结论正

确的是(BD)

A．二项式系数最大的项为第5项

B．各项系数和为0

C．x4的系数为4

D．所有项的二项式系数和为16

1

x－4

解析：对于A，因为x的展开式一共5项，所以二项式系数最大的项为第3项，故

11

x－4x－4

A错误；对于B，令x＝1，则x＝0，所以各项系数和为0，故B正确；对于C，因为x

－1r

r4-rrr4-2r

的展开式的通项为Tr＋1＝C4xx＝C4(－1)x(r＝0，1，2，3，4)，令4－2r＝4，得r＝

4004

0，故x的系数为C4·(－1)＝1，故C错误；对于D，所有项的二项式系数和为2＝16，故D

正确．故选BD.

2

x＋n

(2)已知x2的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该展开式中系数最大的

－25

项为15360x2．

n

解析：由题意可知＋1＝6，解得n＝10，故展开式的通项为Tr＋1＝，r≤10

2

且r∈N.设第r＋1项的系数最大，

2≥1，

rrr-1r-1r11－r

C10·2≥C10·2，

则rrr+1r+1即12

C10·2≥C10·2，≥，

10－rr＋1

1922

解得≤r≤，

33

25

－

∵r∈N，∴r＝7，∴展开式中系数最大的项为T8＝＝15360x2.

考点3二项式定理的综合应用

202422024

【例6】(1)（2024·湖北荆州三模）已知(3x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a2024x，则

a1＋a2＋…＋a2024被3除的余数为(D)

A．3B．2

C．1D．0

2024

【解析】令x＝0，得a0＝1，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2024＝2，两式相减，

20241012101210120101211011

得a1＋a2＋…＋a2024＝2－1＝4－1，因为4＝(3＋1)＝C10123＋C10123＋…

10111012010121101110111012

＋C10123＋C1012，其中C10123＋C10123＋…＋C10123被3整除，所以4被3除的余数

为1，综上，a1＋a2＋…＋a2024能被3整除．故选D.

(2)（2024·安徽合肥三模）某银行大额存款的年利率为3%，小张于2024年初存入大额

存款10万元，按照复利计算，8年后他能得到的本利和约为(B)

A．12.6万元B．12.7万元

C．12.8万元D．12.9万元

【解析】2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算，每年末本利和（单位：万

9-10

元）是以10为首项，1＋3%为公比的等比数列，所以8年后本利和S＝10(1＋3%)＝10（C8

11227788

＋C8×0.03＋C8×0.03＋…＋C8×0.03＋C8×0.03）≈12.7（万元）.故选B.

二项式定理应用的题型及解法

(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式（数）展开后的每一项

都含有除式（数）的因式．

(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n的近

似值可由其展开式的前几项的和来确定．

【对点训练3】(1)下列各数与1.0120最接近的是(C)

A.1.20B．1.21

C．1.22D．1.23

2020201

解析：由题意得1.01＝(1＋0.01)，由二项式定理得(1＋0.01)＝1＋C20×0.01＋

2220

C20×0.01＋…，而从第3项以后，后面的项非常小，可忽略不计，所以(1＋0.01)≈1＋

122

C20×0.01＋C20×0.01＝1.219，则其与1.22更接近．故选C.

(2)已知x∈Z，且842025＋x能被17整除，则x的值可以是1（答案不唯一）．（写出一个

满足题意的值即可）

2025202520251202420242025

解析：84＋x＝(85－1)＋x＝85－C202585＋…＋C202585－1＋x，要使84

＋x能被17整除，则－1＋x能被17整除即可，则x＝17k＋1，k∈Z，故可取x＝1.

课时作业70

1．（5分）化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为(A)

A．x4B．(x－1)4

C．(x＋1)4D．x4－1

4324132

解析：(x＋1)－4(x＋1)＋6(x＋1)－4(x＋1)＋1＝(x＋1)＋C4(x＋1)×(－1)＋C4(x＋

2233444

1)×(－1)＋C4(x＋1)×(－1)＋(－1)＝[(x＋1)－1]＝x.故选A.

525

2．（5分）（2024·广东东莞三模）若(1－2x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a5x，则a2＋a3＝(C)

A．10B．0

C．－40D．130

2233

解析：a2＝C5(－2)＝40，a3＝C5(－2)＝－80，所以a2＋a3＝－40.故选C.

55432

3．（5分）（2025·山东日照二模）已知(x＋a)＝p5x＋p4x＋p3x＋p2x＋p1x＋p0，若p4＝

15，则a＝(C)

A．1B．2

C．3D．4

554321

解析：由(x＋a)＝p5x＋p4x＋p3x＋p2x＋p1x＋p0，且p4＝15，可得C5·a＝15，解得a

＝3.故选C.

4．（5分）（8－7x）9的展开式中系数为有理数的项共有(D)

A．2项B．3项

C．4项D．5项

9r9-rrr9-rrr

解析：（8－7x）展开式的通项为Tr＋1＝C98（－7x）＝（－7）8C9x(r≤9，r∈N)，

所以展开式中的第1项、第3项、第5项、第7项、第9项的系数均为有理数，共5项．故

选D.

2

x2－6

5．（5分）（2024·山东济宁三模）x的展开式中x3的系数为(A)

A．－160B．－120

C．120D．160

2－26－2r

xr26-rrr12-3r

解析：x展开式的通项为Tr＋1＝C6(x)x＝(－2)C6x，r∈N，r≤6，由12

2－26

x333

－3r＝3，得r＝3，所以x的展开式中x的系数为(－2)C6＝－160.故选A.

52345

6．（5分）（2024·湖北黄石三模）已知(x－1)(x＋1)＝a0＋2a1x＋3a2x＋4a3x＋5a4x＋6a5x

6

＋7a6x，则a4＝(A)

A．1B．0

C．－5D．5

解析：要想得到x4，可以有两种情况：(x－1)取x，(x＋1)5取x3；(x－1)取－1，(x＋1)5

4421

取x.所以x的系数为1×C5＋(－1)×C5＝10－5＝5，即5a4＝5a4＝1.故选A.

．（分）（河北沧州二模）在－＋6的展开式中，23的系数为

752024·(x2y3z)⇒xyz(A)

A．6480B．2160

C．60D．－2160

61

解析：(x－2y＋3z)相当于6个因式(x－2y＋3z)相乘，其中一个因式取x，有C6种取法，

23

余下5个因式中有2个取－2y，有C5种取法，最后3个因式中全部取3z，有C3种取法，故

62312233

(x－2y＋3z)的展开式中xyz的系数为C6×1×C5×(－2)×C3×3＝6480.故选A.

8．（5分）22024被9除的余数为(B)

A．1B．4

C．5D．8

202420226746740674016731

解析：2＝4×2＝4×8＝4×(9－1)＝4（C674×9×1－C674×9×1＋…－

6731673674067406740167316731673

C674×9×1＋C674×9×1），其中4（C674×9×1－C674×9×1＋…－C674×9×1）

是9的整数倍，故22024被9除的余数为4.故选B.

9．（6分）（多选）（2024·山西临汾三模）在的展开式中(AB)

A.所有奇数项的二项式系数和为128

B．二项式系数最大的项为第5项

C．有理项共有两项

D．所有项的系数和为38

28

解析：对于A，所有项的二项式系数和为28，则所有奇数项的二项式系数和为＝128，

2

4

故A正确；对于B，二项式系数最大为C8，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确；

2－

8k34

kkk8-kkk-8

对于C，Tk＋1＝C8x（－x）＝(－1)·2C8x3(k≤8，k∈N)，Tk＋1为有理项，k可取的

23

－18

值为0，3，6，所以有理项共有三项，故C错误；对于D，令x＝1，则所有项的系数和为1

＝1，故D错误．故选AB.

929

10．（6分）（多选）已知(1－2x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a9x，则(AD)

A．a0＝1

B．a1＝18

C．a1＋a2＋…＋a9＝－1

1＋39

D．a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝－

2

9

解析：对于A，令x＝0，即可得(1－2×0)＝a0＝1，故A正确；对于B，因为展开式中

9181

a1代表一次项系数，(1－2x)的展开式中含有一次项C9·1(－2x)＝－18x，可得a1＝－18，故

9

B错误；对于C，令x＝1，可得(1－2)＝a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1①，可得a1＋a2＋…＋a9

99

＝－1－a0＝－2，故C错误；对于D，令x＝－1，可得(1＋2)＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝3②，

9

91＋3

①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝－(1＋3)，得a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝－，故D正确．故

2

选AD.

1

11．（6分）（多选）（2024·江西九江三模）在x－10的展开式中(AD)

y

A．x8y-2的系数为45

B．二项式系数最大的项是第5项

C．各项系数之和为1

D．系数最大的项是第5项或第7项

kk10-k－k28-2

解析：Tk＋1＝C10(－1)xy，当k＝2时，T3＝C10xy，系数为45，故A正确；由组合

5

数性质可知，中间项的二项式系数C10最大，∴展开式中二项式系数最大的项是第6项，故

B错误；令x＝1，y＝1，得展开式中各项系数之和为(1－1)10＝0，故C错误；当k为奇数时，

系数为负数，当k为偶数时，系数为正数，∴当k＝4或k＝6时，系数最大，故D正确．故

选AD.

n2n*

12．（6分）（2024·江苏宿迁三模）设(1＋x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋anx(n∈N)，若a5>a4，

且a5>a6，则错误!i＝1024．

10

解析：根据题意，可知二项式系数中最大的是a5，则n＝10，令x＝1，得2＝a0＋a1＋…

＋a10，∴错误!i＝1024.

13．（6分）（2024·广东汕头三模）已知(n∈N*)的展开式中第2项的二

项式系数为6，则展开式中常数项为60．

1*

解析：由题意得Cn＝6，所以n＝6，(n∈N)的展开式的通项为Tr＋1＝

1

r3

r6-r6-rr6-r6-r342

C62xx＝C62x2，令6－r＝0，得r＝4，所以T5＝C6×2＝60.

2

2310210

14．（6分）若(1＋x)＋(1＋x)＋…＋(1＋x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a10x，则a2＝165．

nrr23

解析：因为(1＋x)展开式的通项为Tr＋1＝Cnx（r≤n且r∈N），(1＋x)＋(1＋x)＋…＋(1

102102222222223

＋x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a10x，所以a2＝C2＋C3＋C4＋C5＋C6＋C7＋C8＋C9＋C10＝C3＋

22222222322222223

C3＋C4＋C5＋C6＋C7＋C8＋C9＋C10＝C4＋C4＋C5＋C6＋C7＋C8＋C9＋C10＝…＝C11＝165.

1

ax－6