2026版高三数学讲义第七章　7.2　空间点、直线、平面之间的位置关系

7．2空间点、直线、平面之间的位置关系

1．理解空间点、直线、平面的位置关系的定义．

2．了解四个基本事实、三个推论和等角定理，并能应用它们解决问题．

1．“四个”基本事实

基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公

共直线．

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行Ｗ．

2．“三个”推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

3．空间中直线与直线的位置关系

相交直线：在同一平面内，有且

共面直线只有一个公共点

平行直线：在同一平面内，没有

公共点

异面直线：不同在任何一个平面内，没有

公共点

4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

项目图形语言符号语言公共点

直相交a∩α＝A1个

线

与

平行a∥α0个

平

面在平

aα无数个

面内

平面⊂

平行α∥β0个

与平

面

相交α∩β＝l无数个

5.等角定理

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补Ｗ．

6．异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把

直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.

π

0，

(2)范围：2.

教材拓展

关于唯一性的常用结论

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）

(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过点A的任意一条直线．(×)

(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．(×)

(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)

(4)两两相交的三条直线共面．(×)

2．（人教A版必修第二册P147例1改编）如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F

分别为棱A1B1，C1D1的中点，则直线AF与BE所成角的余弦值为(B)

55

A．B．

105

3525

C．D．

105

解析：连接CA，CF，如图所示．易得BE∥CF，所以直线AF与BE所成的角为∠CFA

（或其补角）.不妨设AB＝2.在CFA中，易得AF＝3，AC＝22，CF＝5，由余弦定理得

AF2＋CF2－AC255

cos∠CFA＝＝△，即直线AF与BE所成角的余弦值为.故选B.

2AF·CF55

3．（人教A版必修第二册P128T1改编）下列说法正确的是(B)

A．四边形一定是平面图形

B．不在同一条直线上的三点确定一个平面

C．梯形不一定是平面图形

D．平面α和平面β一定有交线

解析：四边形不一定是平面图形，也可能是空间四边形，故A错误；不共线的三点确定

一个平面，故B正确；梯形中，有一组对边平行，可以确定一个平面，故梯形一定是平面图

形，故C错误；若平面α和平面β平行，则其没有交线，故D错误．故选B.

4．（人教A版必修第二册P132T9改编）在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，D，E

分别是AB，AC的中点，则(D)

A．B1D与A1E相交，且B1D＝A1E

B．B1D与A1E相交，且B1D≠A1E

C．B1D与A1E是异面直线，且B1D＝A1E

D．B1D与A1E是异面直线，且B1D≠A1E

解析：如图所示，因为A1E∩平面AA1B1B＝A1，B1D平面AA1B1B，A1B1D，所以B1D

212212

与A1E是异面直线，B1D＝BB1＋AB，A1E＝AA1＋⊂AC.因为AA1＝B∉B1，AB≠AC，所

44

以B1D≠A1E.故选D.

考点1基本事实的应用

【例1】已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD

＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：

(1)D，B，F，E四点共面；

(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；

(3)DE，BF，CC1三线交于一点．

【证明】(1)如图所示，连接B1D1.

因为EF是C1D1B1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD­

中，∥，所以∥，

A1B1C1D1△B1D1BDEFBD

所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．

(2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，连接A1C，如图所示，设A1，C，C1确定的平面为α，

又设平面BDEF为β.

因为Q∈A1C1，所以Q∈α.

又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，

同理，P是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ.

又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.

则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．

(3)因为EF∥BD且EF<BD，所以DE与BF相交，设交点为M，

则由M∈DE，DE平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，

同理，∈平面

MB1⊂BCC1.

又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.

所以DE，BF，CC1三线交于一点．

共面、共线、共点问题的证明

(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内．

(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．

(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

【对点训练1】如图，四边形ABCD和四边形ABEF都是梯形，BC∥AD，BE∥AF，

11

且BC＝AD，BE＝FA，G，H分别为FA，FD的中点．求证：

22

(1)四边形BCHG是平行四边形；

(2)C，D，F，E四点共面．

1

证明：(1)因为G，H分别为FA，FD的中点，则GH∥AD，GH＝AD，又因为BC∥AD，

2

1

BC＝AD，则GH∥BC，GH＝BC，

2

所以四边形BCHG是平行四边形．

1

(2)因为BE∥FA，BE＝FA，G为FA中点，则BE∥FG，BE＝FG，

2

可知四边形BEFG为平行四边形，则EF∥BG，EF＝BG，

由(1)知CH∥BG，CH＝BG，可得CH∥EF，CH＝EF，

所以四边形CEFH为平行四边形，则CE∥FH，即CE∥FD，

所以C，D，F，E四点共面．

考点2空间位置关系的判断

【例2】（多选）如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，

则以下四个结论中，正确的有(BD)

A．直线AM与CC1是相交直线

B．直线BN与MB1是异面直线

C．AM与BN平行

D．直线A1M与BN共面

【解析】M，C，C1三点在平面CDD1C1内，点M不在直线CC1上，点A不在平面CDD1C1

内，A，M，C，C1四点不共面，根据异面直线的定义可得直线AM与CC1是异面直线，故A

错误；B，N，B1三点在平面BCC1B1内，B1不在直线BN上，点M不在平面BCC1B1内，B，

N，M，B1四点不共面，根据异面直线的定义可得直线BN与MB1是异面直线，故B正确；

如图，取DD1的中点E，连接AE，EN，又N为C1C的中点，则有AB∥EN，AB＝EN，

所以四边形ABNE是平行四边形，所以AE∥BN，AM∩AE＝A，则AM与BN不平行，故C

错误；连接MN，BA1，CD1，因为M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，所以MN∥D1C，由

正方体的性质可知，A1B∥D1C，所以MN∥A1B，则有A1，B，M，N四点共面，所以直线A1M

与BN共面，故D正确．故选BD.

判断空间直线的位置关系一般有两种方法

一是构造几何体（如长方体、空间四边形等）模型来判断．

二是排除法．特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“经过平面外一点A和平面内

一点B的直线与平面内不经过点B的直线是异面直线．”

【对点训练2】（多选）如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么下列结论正确的

是(BD)

A．MA∥BDB．MA与BD异面

C．MA与BD相交D．MA⊥BD

解析：因为BD平面ABCD，MA∩平面ABCD＝A，ABD，所以可知MA与BD异面，

即错误，正确，错误；

AB⊂C∉

如图，连接AC，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又因为MC⊥平面ABCD，

BD平面ABCD，所以BD⊥MC，又因为MC∩AC＝C，MC平面AMC，AC平面AMC，所

以⊥平面又因为平面，所以⊥，即正确．故选

B⊂DAMC.MAAMCMABD⊂D⊂BD.

考点异面直线所成的角

3⊂

【例3】(1（)2024·陕西咸阳三模）如图，已知各棱长都为1的平行六面体ABCD­A1B1C1D1

π

中，棱AA1，AB，AD两两的夹角均为，则异面直线BA1与CB1所成的角为(C)

3

ππ

A．B．

46

ππ

C．D．

312

【解析】如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，连接A1D，BD，因为A1B1∥AB∥

CD，A1B1＝AB＝CD，则四边形A1B1CD是平行四边形，所以B1C∥A1D，所以∠BA1D是异

面直线BA1与CB1所成的角或其补角，由AA1＝AB＝AD＝1，棱AA1，AB，AD两两的夹角均

ππ

为，得ABD，ABA1，ADA1都是正三角形，即A1B＝BD＝A1D＝1，则∠BA1D＝，所

33

△△△

π

以异面直线BA1与CB1所成的角为.故选C.

3

(2)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝6，若A1C⊥BC1，则BC1＝(C)

A．26B．23

C．32D．36

【解析】如图，分别取A1C1，CC1，BC的中点E，F，G，连接EF，FG，EG，则EF

∥A1C，FG∥BC1，因为A1C⊥BC1，所以EF⊥FG，则∠EFG＝90°.由题意可知，EF＝3，

x2＋630x2＋630

设BC＝x，则FG＝，EG＝，由勾股定理可知，EF2＋FG2＝EG2，即3＋＝，

2244

解得x＝23，所以BC1＝32.故选C.

异面直线所成角的求法

方法解读

将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有

平移法

的平行线或者作平行线，形成三角形求解

在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线

补形法

相应的位置，形成三角形求解

【对点训练3】(1)（2024·河北保定二模）如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1

＝4AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(C)

714

A．B．

1717

168

C．D．

1717

解析：连接BC1，A1C1，如图所示，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，有AB∥C1D1且AB＝

C1D1，则四边形ABC1D1为平行四边形，则BC1∥AD1，则∠A1BC1就是异面直线A1B与AD1

所成的角或其补角．设AB＝1，则BC1＝A1B＝17，A1C1＝2，在A1BC1中，由余弦定理

222

BC1＋A1B－A1C117＋17－216

得cos∠A1BC1＝＝＝.故选C.△

2BC1·A1B2×1717

(2)如图，已知圆柱O1O2的底面半径和母线长均为1，B，A分别为上、下底面圆周上的

π

点，若异面直线O1B，O2A所成的角为，则AB＝(D)

3

A．1B．2

C．1或2D．2或2

解析：如图，过点A作AD⊥上底面于点D，则AD是母线，连接DB，O1D，∵O1O2⊥

上底面，∴AD∥O1O2，AD＝O1O2，则四边形ADO1O2是平行四边形，O1D∥O2A，∴O2A与

π

O1B所成的角就是∠DO1B或其补角．当∠DO1B＝时，DO1B是等边三角形，BD＝1，在

3

△

222π3

RtABD中，AB＝BD＋AD＝2；当∠DO1B＝时，在DO1B中，BD＝2×＝3，在

32

Rt△ABD中，AB＝BD2＋AD2＝2.综上，AB＝2或AB＝2.△故选D.

△

课时作业46

1．（5分）下列说法正确的是(B)

A．若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面

B．与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线

C．空间三点确定一个平面

D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直

解析：若空间两直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故A错误；与两条异面直

线都相交的两直线若交于不同的四个点，则两直线为异面直线，若交于三个点，则两直线为

相交直线，故B正确；由平面的基本性质可知，空间不共线的三点可以确定一个平面，故C

错误；在空间中，过直线外一点，有无数条直线与已知直线垂直，故D错误．故选B.

2．（5分）在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若

EF与HG相交于一点M，则M(A)

A.一定在直线AC上

B．一定在直线BD上

C．可能在直线AC上，也可能在直线BD上

D．不在直线AC上，也不在直线BD上

解析：由于ABCD是空间四边形，故AB，BC确定平面ABC，CD，DA确定平面ACD.

∵E∈AB，F∈BC，G∈CD，H∈DA，∴EF平面ABC，GH平面ACD，∵EF∩GH＝M，

∴∈平面，∈平面，∵平面平面＝，∴∈故选

MABCMACDAB⊂C∩ACDA⊂CMAC.A.

3．（5分）若直线l不平行于平面β，且直线lβ，则下列说法正确的是(C)

．内存在与平行的直线

Aβl⊄

B．β内所有直线都与l异面

C．l与β有交点

D．β内所有直线都与l相交

解析：由直线l不平行于平面β，且直线lβ，得直线l与平面β相交，则l与β有交点，C

正确；平面内不存在直线与平行，否则∥，与已知矛盾，因此内所有直线都与异面

βll⊄ββl

或相交，A，B，D错误．故选C.

4．（5分）（2024·山东日照一模）已知l，m是两条不同的直线，α为平面，mα，下列

说法中正确的是

(B)⊂

A．若l与α不平行，则l与m一定是异面直线

B．若l∥α，则l与m可能垂直

C．若l∩α＝A，且Am，则l与m可能平行

∉

D．若l∩α＝A，且l与α不垂直，则l与m一定不垂直

解析：若l与α不平行，则l与α的位置关系为相交或直线在平面内，又mα，则l与m

的位置关系为平行、相交或异面，故错误；若∥，则与可能垂直，

Alαlm⊂

如图所示，l∥l′，l′α，l′⊥m，可知l⊥m，故B正确；

若＝，且，，则与异面，故错误；若＝，且与不垂直，则

l∩αAAm⊂mαlmCl∩αAlα

与可能垂直，如图，取为平面，＝，＝，符合题意，但⊥，故错误．故

lm∉α⊂ABCDlAD1mABlmD

选B.

5．（5分）（2024·陕西西安模拟）如图，在正四棱锥P­ABCD中，E为PC的中点，且

BE⊥PC，则异面直线BE与AC所成角的余弦值为(D)

22

A．B．

64

66

C．D．

36

解析：如图，连接BD交AC于O，取PA的中点F，连接EF，BF，PO，则EF∥AC，

所以∠BEF为所求角或其补角，在PBC中，E为PC的中点，且BE⊥PC，所以PB＝BC，

所以正四棱锥的所有棱长都相等．设四棱锥的棱长均为，在中，

P­ABCD△P­ABCD2BEF

BE2＋EF2－BF22＋3－36

EF＝2，BE＝BF＝3，所以cos∠BEF＝＝＝.故选D△.

2BE·EF23×26

6．（5分）如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，则与直

线A1D1，EF，DC都相交的直线(D)

A．有且仅有一条

B．有且仅有两条

C．有且仅有三条

D．有无数条

解析：如图，在EF上任意取一点M，直线A1D1与点M确定一个平面，这个平面与DC

有且仅有1个交点E，当点M取不同的位置就确定不同的平面，从而与DC有不同的交点E，

而直线ME与这3条异面直线都有交点，故在空间中与三条直线A1D1，EF，DC都相交的直

线有无数条．故选D.

7．（6分）（多选）如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交

平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(BCD)

A．B，B1，O，M四点共面

B．A，M，O，A1四点共面

C．A，O，C，M四点共面

D．A，M，O三点共线

解析：如图，连接AO，A1C1，AC，在矩形A1B1C1D1中，由O为对角线B1D1的中点，

知A1C1∩B1D1＝O，则平面ACC1A1∩平面AB1D1＝AO，由M∈平面AB1D1，M∈A1C，A1C

平面，则∈在长方体中，平面，由平面

ACC1A1MAO.ABCD­A1B1C1D1BB1ABB1A1AO∩ABB1A⊂1

＝，所以与异面，故错误；由可知∈，故，，，四点共面，，

ABB1MOAAMAO⊂AMOA1A

O，C，M四点共面，A，M，O三点共线，故B，C，D正确．故选BCD.

8．（6分）（多选）在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表

示直线GH，MN是异面直线的图形有(BD)

解析：对于A，如图，连接GM，

∵G，M为所在棱的中点，∴GM∥AB，又AB∥HN，∴GM∥HN，故直线GH，MN共

面，故A错误；对于B，G，H，N三点共面，但M平面GHN，故直线GH，MN是异面直

线，故正确；

B∉

对于C，如图，连接GM，∵G，M为所在棱的中点，∴GM∥AB，又AB∥HN，∴GM

∥HN，故直线GH，MN共面，故C错误；对于D，G，M，N三点共面，但H平面GMN，

故直线，是异面直线，故正确．故选

GHMNDBD.∉

9．（5分）已知异面直线l1，l2所成角的大小为45°，直线OA∥l1且OB∥l2，则∠AOB

＝45°或135°．

解析：由题意知OA∥l1，OB∥l2，且异面直线l1，l2所成角为45°，则∠AOB为异面直

线l1，l2所成的角或其补角，所以∠AOB＝45°或135°.

10．（5分）在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两互相垂直，且AB＝BC＝2，E是AC

108

的中点，异面直线AD与BE所成的角的余弦值为，则四面体的体积为．

103

解析：取CD的中点F，连接BF，EF，如图，因为E是AC的中点，则EF∥AD，于是

∠BEF是异面直线AD与BE所成的角或其补角，令BD＝a，而AB，BC，BD两两互相垂直，

11111

则BF＝CD＝a2＋4，EF＝AD＝a2＋4，在等腰BEF中，BE＝AC＝2，cos∠BEF

22222

1△

BE2101118

＝2＝＝，解得a＝4，所以四面体的体积为V＝××BC×BD×BA＝×2×4×2＝.

2

EFa＋4103263

11．（16分）如图，在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别

CFAE1

是边AB，BC上的点，且＝＝.求证：

FBEB3

(1)四边形EFGH为梯形；

(2)直线EH，BD，FG相交于一点．

证明：(1)如图，连接EF，HG，因为空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中

点，

1

所以HG∥AC，且HG＝AC，

2

CFAE13

又因为＝＝，所以EF∥AC，且EF＝AC，所以HG∥EF，且HG≠EF，故四边形

FBEB34

EFGH为梯形．

(2)由(1)知四边形EFGH为梯形，且EH，FG是梯形的两腰，

所以EH，FG相交于一点．

设交点为P，如图，因为EH平面ABD，所以P∈平面ABD，

⊂

同理P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，

故点P是直线EH，BD，FG的公共点，即直线EH，BD，FG相交于一点．

12．（17分）如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，AB的中点．

(1)求证：E，F，C，D1四点共面；

(2)求异面直线D1E与BC所成角的余弦值．

解：(1)证明：如图，连接EF，CD1，A1B.

在A1AB中，E，F分别为棱AA1，AB的中点，则EF∥A1B，

在正方体中，

△ABCD­A1B1C1D1

A1D1∥AD，AD∥BC，

∴A1D1∥BC，且A1D1＝AD＝BC，

∴四边形A1BCD1是平行四边形，

∴A1B∥D1C，则EF∥D1C，故E，F，C，D1四点共面．

(2)由(1)知，A1D1∥BC，则∠ED1A1即为异面直线D1E与BC所成的角或其补角，

设正方体的棱长为2，

122A1D1

在RtA1ED1中，A1E＝A1A＝1，A1D1＝2，则D1E＝2＋1＝5，∴cos∠ED1A1＝

2D1E

22△5

＝＝.

55

25

故异面直线D1E与BC所成角的余弦值为.

5

13．（5分）在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线AB1

2

与A1C1所成的角的余弦值为，则该三棱柱的高为(C)

4

A．1B．2

C．2D．4

解析：在直三棱柱ABC­A1B1C1中，连接B1C，如图，ABC是等边三角形，且边长为2，

＋2

设三棱柱的高为h，在RtABB1与RtCBB1中，AB1＝4△h＝CB1，即B1AC是等腰三角

△△△

形，底边AC＝2，因为A1C1∥AC，所以∠B1AC是异面直线AB1与A1C1所成的角，cos∠B1AC

1

2AC112

＝，而cos∠B1AC＝2＝