2026版高三数学讲义第七章　7.4　空间直线、平面的垂直

7．4空间直线、平面的垂直

1．理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．

2．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用．

1．直线与平面垂直

(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面

α互相垂直，记作l⊥α.

(2)判定定理与性质定理

项目文字语言图形语言符号语言

如果一条直线与一个

判定平面内的两条相交直

定理线垂直，那么该直线

与此平面垂直

性质垂直于同一个平面的

定理两条直线平行

a∥b

(3)直线和平面所成的角

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成

的角．一条直线垂直于平面，它们所成的角是π；一条直线和平面平行，或在平面内，它们

2

所成的角是0．

π

0，

②范围：2.

2．平面与平面垂直

(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．在二面角的棱上任

取一点O，以点O为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA

和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，二面角的平面角的取值范围是[0，π]Ｗ．

(2)判定定理与性质定理

项目文字语言图形语言符号语言

如果一个平面过另一

判定

个平面的垂线，那么

定理

这两个平面垂直

两个平面垂直，如果

一个平面内有一直线

性质

垂直于这两个平面的

定理

交线，那么这条直线

与另一个平面垂直

3.空间距离

(1)点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这

个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离Ｗ．

(2)直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的

距离，叫做这条直线到这个平面的距离．

(3)两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一

个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．

4．垂直、平行关系的相互转化

教材拓展

1．三垂线定理

若平面内的一条直线和平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂

直．

2．三垂线定理的逆定理

若平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．

1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）

(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.(×)

(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(×)

(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)

2．（人教A版必修第二册P151例3改编）已知直线a，b和平面α，若a∥α，则“b⊥a”

是“b⊥α”的(B)

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：必要性：若a∥α，则存在直线mα，a∥m，由于b⊥α，mα，得b⊥m，因为b

⊥，∥，所以⊥，必要性成立；充分性：如图，若平面为平面，直线为

mamba⊂ABCD⊂αA1B1

直线a，直线B1C1为直线b，满足a∥α，b⊥a，但B1C1∥平面ABCD，即b∥α，充分性不成

立．所以“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分条件．故选B.

3．（人教A版必修第二册P158例7改编）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则

图中与平面PCD垂直的平面是(C)

A．平面ABCDB．平面PBC

C．平面PADD．平面PAB

解析：因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形

得⊥，因为＝，所以⊥平面又平面，所以平面⊥平

CDADPA∩ADAC⊂DPAD.CDPCDPCD

面故选

PAD.C.⊂

4．（人教A版必修第二册P162练习T1改编）已知直线a，b，l和平面α，则下列命题

正确的是(B)

A．若a∥b，a∥α，则b∥α

B．若a∥b，aα，bα，a∥α，则b∥α

．若⊥，⊥，，，则⊥

Clal⊄ba⊄αbαlα

．若⊥，⊥，则∥

Dabaα⊂b⊂α

解析：若a∥b，a∥α，则可能bα，所以A错误；若a∥b，aα，bα，a∥α，则b∥

，所以正确；若⊥，⊥，，，当∥时，与不一定垂直，所以错误；

αBlalbaα⊂bαablα⊄⊄C

若⊥，⊥，则可能，所以错误．故选

abaαbα⊂D⊂B.

⊂

考点1直线与平面垂直的判定与性质

【例1】如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点B1在底面ABC内的射影恰好是点C.

(1)若D是AC的中点，且DA＝DB，求证：AB⊥CC1；

(2)已知B1C1＝2，B1C＝23，求BCC1的周长．

△

【解】(1)证明：∵点B1在底面ABC内的射影是点C，∴B1C⊥平面ABC，

∵AB平面ABC，∴B1C⊥AB.

在中，＝＝，∴⊥，

A⊂BCDADBDCBCAB

∵＝，，平面，

△BC∩B1CCBCB1CBCC1B1

∴⊥平面，

ABBCC1B1⊂

∵CC1平面BCC1B1，∴AB⊥CC1.

如图，延长至点，使＝，

(2)⊂BCEBCCE

连接C1E，则B1C1綉CE，四边形B1CEC1为平行四边形，则C1E綉B1C.

由(1)知B1C⊥平面ABC，

∴C1E⊥平面ABC，∵CE，BE平面ABC，

∴⊥，⊥，

C1ECEC1EBE⊂

22

∵C1E＝B1C＝23，CE＝BC＝B1C1＝2，BE＝4，∴CC1＝CE＋C1E＝4，

22

BC1＝BE＋C1E＝27，

∴△BCC1的周长为2＋4＋27＝6＋27.

证明线面垂直的常用方法及关键

(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥αb⊥α；

⊥，∥⊥；③面面垂直的性质．

aααβaβ)⇒

证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．

(2)⇒

【对点训练1】如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任

意一点（不与点A，B重合），AN⊥PM，N为垂足．

(1)若PA＝AM＝BM＝2，Q为PB的中点，求三棱锥Q­ABM的体积；

(2)求证：AN⊥平面PBM；

(3)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.

解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM，

又AM＝BM＝2，

1

∴SABM＝AM·BM＝2，

2

△

又PA垂直于⊙O所在的平面，PA＝2，

114

∴VP­ABM＝SABM·PA＝×2×2＝，

333

△

∵Q为PB的中点，

1142

∴VQ­ABM＝VP­ABM＝×＝.

2233

(2)证明：由(1)知AM⊥BM.

又PA⊥平面ABM，BM平面ABM，

∴⊥

PABM.⊂

又PA∩AM＝A，PA，AM平面PAM，

∴⊥平面

BMPAM.⊂

又AN平面PAM，∴BM⊥AN.

又⊥，且＝，，平面，∴⊥平面

AN⊂PMBM∩PMMBMPMPBMANPBM.

证明：由知⊥平面，

(3)(2)ANPBM⊂

∵PB平面PBM，∴AN⊥PB.

又⊥，＝，，平面，∴⊥平面

AQ⊂PBAN∩AQAANAQANQPBANQ.

又平面，∴⊥

NQANQNQPB.⊂

考点平面与平面垂直的判定与性质

2⊂

【例2】如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，

∠CBB1＝60°，AB＝BC＝2，AC＝AB1＝2.求证：平面ACB1⊥平面BB1C1C.

【证明】如图，连接BC1，交B1C于点D，则D为BC1，B1C的中点，连接AD.

因为AC＝AB1，所以AD⊥B1C.

因为侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60°，AB＝BC＝2，AC＝AB1＝2，

所以BD＝3，AD＝1，所以AB2＝BD2＋AD2，即AD⊥BD.

因为B1C∩BD＝D，B1C，BD平面BB1C1C，所以AD⊥平面BB1C1C.

因为平面，所以平面⊥平面

ADACB1⊂ACB1BB1C1C.

⊂

1．判定面面垂直的方法

(1)面面垂直的定义．

(2)面面垂直的判定定理．

2．面面垂直性质的应用

(1)面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的

直线”．

(2)若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．

【对点训练2】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，

PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点．求证：

(1)PE⊥BC；

(2)平面PAB⊥平面PCD.

证明：(1)因为PA＝PD，E为AD中点，所以PE⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE平面PAD，所以PE

⊥平面

ABCD.⊂

又BC平面ABCD，所以PE⊥BC.

由知，⊥平面，因为平面，所以⊥

(2)(1⊂)PEABCDCDABCDPECD.

在矩形中，⊥

ABCDADCD.⊂

又因为AD∩PE＝E，AD，PE平面PAD，所以CD⊥平面PAD.

又平面，所以⊥

APPADCD⊂AP.

因为⊥，＝，，平面，所以⊥平面

P⊂APDCD∩PDDCDPDPCDPAPCD.

因为平面，所以平面⊥平面

PAPABPAB⊂PCD.

考点垂直关系的综合应用

3⊂

【例3】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，

侧面PAD为正三角形，且其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)求证：AD⊥PB.

(2)若E为棱BC的中点，则棱PC上是否存在一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？若存

在，证明你的结论；若不存在，请说明理由．

【解】(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．

∵△PAD为正三角形，

∴PG⊥AD.

在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，

∴△ABD为正三角形，又G为AD的中点，

∴BG⊥AD.

又BG∩PG＝G，BG，PG平面PGB，

∴⊥平面

ADPGB.⊂

∵PB平面PGB，∴AD⊥PB.

存在，当为的中点时，满足平面⊥平面

(2)⊂FPCDEFABCD.

证明如下：在PBC中，EF∥PB.

又平面，平面，

EFD△EFPBDEF

∴∥平面

PB⊂DEF.⊄

在菱形ABCD中，GB∥DE，

又DE平面DEF，GB平面DEF，

∴∥平面，

GB⊂DEF⊄

又PB平面PGB，GB平面PGB，PB∩GB＝B，∴平面DEF∥平面PGB.

由得⊥，又平面⊥平面，且平面平面＝，平面

(1)⊂PGAD⊂PADABCDPAD∩ABCDADPG

，

PAD⊂

∴PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，

∴平面⊥平面，

PGBABCD⊂

∴平面DEF⊥平面ABCD.

1．三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．

2．对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系

的相关定理、性质进行推理论证．

【对点训练3】如图，在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，PA＝AB

＝BC＝1，PC＝3，M为AC的中点．

(1)求证：平面PBC⊥平面PAB.

PN

(2)线段PC上是否存在点N，使得PC⊥平面BMN？若存在，求的值；若不存在，请

PC

说明理由．

解：(1)证明：因为平面PAC⊥平面ABC，PA平面PAC，PA⊥AC，平面PAC∩平面ABC

＝，所以⊥平面，又平面，所以⊥，又＝，＝，⊥，

ACPAABCBCABC⊂PABCPA1PC3PAAC

2－2

所以AC＝PCPA＝2，⊂

又AB＝BC＝1，所以AC2＝AB2＋BC2，所以AB⊥BC，又PA⊥BC，PA，AB是平面PAB

内的两条相交直线，所以BC⊥平面PAB，又BC平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB.

存在．过点作⊥，垂足为，如图，连接，

(2)MMNPCN⊂NB

由(1)知PA⊥平面ABC，因为MB平面ABC，所以PA⊥MB，

又为的中点，＝＝，

MACABBC1⊂

所以MB⊥AC，又PA⊥MB，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，

所以MB⊥平面PAC，又PC平面PAC，所

以⊥，又⊥，，是平面内的两条相交直线，所以⊥平面

MBPCMNPCM⊂BMNBMNPC

BMN，

PA13MN

由已知得sin∠PCA＝＝＝＝，

PC33MC

123MN6

又MC＝AC＝，即＝MN＝，

22326

2⇒

26

3

所以CN＝22－62＝，

3

323PN2

所以PN＝PC－CN＝3－＝，所以＝，

33PC3

PN2

即线段PC上存在点N使得PC⊥平面BMN，且＝.

PC3

课时作业48

1．（5分）（2024·山东泰安模拟）已知两条不同的直线m，n和平面α，β，α⊥β，α∩β＝

m，则n⊥β的必要不充分条件是(C)

A．m∥nB．n∥α

C．m⊥nD．n⊥α

解析：因为α∩β＝m，所以mβ，当n⊥β时，由线面垂直的定义可知n⊥m；只有当m

⊂

⊥n且nα或n∥α时才能得到n⊥β.所以n⊥β的必要不充分条件是m⊥n.故选C.

．（分）设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列说法正确的是

2⊂5l1l2α1α2

(D)

A．若l1∥α1，l2∥α2，l1⊥l2，则α1⊥α2

B．若l1，l2与α1所成的角相等，则l1∥l2

C．若α1⊥α2，l1∥α1，l2∥α2，则l1⊥l2

D．若α1⊥α2，l1⊥α1，l2⊥α2，则l1⊥l2

解析：若l1∥α1，l2∥α2，l1⊥l2，则α1，α2可能相交，也可能平行，故A错误；l1，l2与

α1所成的角相等，则l1，l2可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误；若α1⊥α2，l1∥α1，

l2∥α2，则l1，l2可能平行、相交或异面，故C错误；若α1⊥α2，l1⊥α1，l2⊥α2，则l1⊥l2，故

D正确．故选D.

3．（5分）（2024·天津卷）若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是(C)

A．若m∥α，n∥α，则m⊥n

B．若m∥α，n∥α，则m∥n

C.若m∥α，n⊥α，则m⊥n

D．若m∥α，n⊥α，则m与n相交

解析：若m∥α，n∥α，则m与n可能异面、平行或相交，故A，B错误；若m∥α，n

⊥α，则m与n垂直，且m与n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误．故选C.

4．（5分）（2024·山东济南二模）已知正方体ABCD­A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B

的中点，则(C)

A．A1D∥D1B，MN∥平面ABCD

B．A1D∥D1B，MN⊥平面BB1D1D

C．A1D⊥D1B，MN∥平面ABCD

D．A1D⊥D1B，MN⊥平面BB1D1D

解析：如图，连接AD1，由已知AB⊥平面ADD1A1，A1D平面ADD1A1，则AB⊥A1D，

又⊥，＝，，平面，所以⊥平面，又平面，

AD1A1DAB∩AD1AABAD1ABD1A1D⊂ABD1D1BABD1

所以⊥，排除，；因为，分别为，的中点，所以∥，又

A1DD1BABM⊂NAD1BD1MN⊂ABMN

平面，平面，所以∥平面，正确；若⊥平面，则

ABCDABABCDMNABCDCMNBB1D1D⊄

⊥，又∥，所以⊥，显然不成立，错误．故选

MNBDMN⊂ABABBDDC.

5．（5分）（2024·四川广安二模）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，EF是B

的中位线，与交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形﹐且平面

CDACEFGPEFCEFEFP△

给出下列结论：

ABCD.△△∉

①BD∥平面PEF；

②平面PAC⊥平面ABCD；

③“直线PF⊥直线AC”始终不成立．

其中所有正确结论的序号为(B)

A．①②③B．①②

C．①③D．②③

解析：由EF是BCD的中位线，得EF∥BD，而EF平面PEF，BD平面PEF，因此

∥平面，①正确；

BDPEF△⊂⊄

如图，连接PG，由菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，得BD⊥AC，则EF⊥AG，

EF⊥PG，而AG∩PG＝G，AG，PG平面PAC，则EF⊥平面PAC，又EF平面ABCD，所

以平面⊥平面，②正确；显然∠是二面角的平面角，由

PACABCD⊂PGAP­EF­A⊂PEFCEF

绕旋转过程中，∠从逐渐减小到（不包含和），当∠＝时，

EFPGA180°0°180°0°PG△A90°△AG

⊥PG，PG∩EF＝G，PG，EF平面PEF，则AG⊥平面PEF，而PF平面PEF，因此PF⊥

，③错误．故选

AGB.⊂⊂

6．（5分）（2024·四川眉山三模）如图，该组合体由一个正四棱柱ABCD­A1B1C1D1和一

个正四棱锥P­A1B1C1D1组合而成，已知AB＝2，AA1＝2，PA1＝2，则(C)

A．PA1∥平面ABC1D1

B．PB1∥平面ABC1D1

C．PC1⊥平面BDC1

D．PD1⊥平面BDC1

解析：如图，因为PA1＝PC1＝2，A1C1＝22，OC＝CC1＝2，在平面ACC1PA1中有∠

π

PA1C1＝∠A1C1O＝∠C1OC＝，所以PA1∥OC1，又OC1平面BDC1，PA平面BDC1，所以

4

PA1∥平面BDC1，则PA1与平面ABC1D1不平行，故A错误⊂；同理PB1∥OD1，⊄PB1与平面ABC1D1

2222

不平行，故B错误；PO＝2＋×2＝22，PC1＝C1O＝2，有PC1＋C1O＝PO，所以PC1

2

⊥C1O，又BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，AC，CC1平面PC1O，所以BD⊥平面PC1O，

⊂

又因为PC1平面PC1O，所以PC1⊥BD，又BD∩C1O＝O，BD，C1O平面BDC1，所以PC1

⊥平面，故正确；又因为＝，且过一点有且仅有一条直线与已知平面垂

BDC⊂1CPC1∩PD1P⊂

直，所以PD1不垂直于平面BDC1，故D错误．故选C.

7．（6分）（多选）（2024·河北保定三模）已知四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，l

为空间内的一条直线，且l平面ABCD，则下列说法正确的是(AC)

．若∥，则∥平面

AlABl⊄ABCD

B．若l∥AD，则l∥BC

C．若l⊥AD，l⊥BC，则l⊥平面ABCD

D．若l⊥AB，l⊥CD，则l⊥平面ABCD

解析：因为l∥AB，且AB平面ABCD，l平面ABCD，所以l∥平面ABCD，故A正确；

因为与是等腰梯形的腰，二者不平行，故若∥，则与不平行，故错误；

ADBC⊂⊄lADlBCB

因为直线AD与BC能相交，所以若l⊥AD，l⊥BC，AD平面ABCD，BC平面ABCD，则

⊥平面，故正确；因为∥，两者不相交，所以若⊥，⊥，推不出⊥

lABCDCABCD⊂lABl⊂CDl

平面ABCD，故D错误．故选AC.

8．（6分）（多选）（2024·安徽马鞍山三模）已知四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，

则(AC)

A．若PC⊥BD，则AC⊥BD

B．若AC⊥BD，则PB＝PD

C．若PB＝PD，则AB＝AD

D．若AB＝AD，则PC⊥BD

解析：如图，因为PA⊥平面ABCD，AB，AD，BD平面ABCD，则PA⊥AB，PA⊥AD，

⊥，若⊥，且＝，，平面，可得⊥平面，且平

PABDPCBDPA∩PCPPAPCPA⊂CBDPACAC

面，所以⊥，同理，若⊥，则可得⊥，由＝不能推出⊥，

PACACBDACBD⊂PCBDABADACB⊂D

即AB＝AD不能推出PC⊥BD，故A正确，D错误；若PB＝PD，可知RtPAB≌RtPAD，

所以＝，反之，若＝，可知≌，所以＝，即＝等

ABADABADRtPABRtPADPBP△DPB△PD

价于＝，由⊥不能推出＝，即⊥不能推出＝，故错误，

ABADACBDABAD△AC△BDPBPDBC

正确．故选AC.

9.（5分）（2024·陕西咸阳三模）如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上

异于A，B的一点，则下面结论中正确的序号是①②④．

①AE⊥CE；②BE⊥DE；③DE⊥平面BCE；④平面ADE⊥平面BCE.

解析：因为四边形ABCD是圆柱的轴截面，则线段AB是底面圆的直径，BC，AD都是

母线．又E是底面圆周上异于A，B的一点，于是得AE⊥BE，而BC⊥平面ABE，AE平面

，则⊥因为＝，，平面，则⊥平面，因为平面

ABEBCAE.BC∩BEBBCBEBCEAEBCECE⊂

，所以⊥，①正确；同理可证⊥，②正确；点不在底面内，而直线

BCEAECEBE⊂DEDABE⊂

AE在底面ABE内，即AE，DE是两条不同直线，若DE⊥平面BCE，又AE⊥平面BCE，则

与过一点有且只有一条直线垂直于已知平面矛盾，③不正确；因为AE⊥平面BCE，而AE

平面，所以平面⊥平面，④正确．

ADEADEBCE⊂

10．（5分）如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面

A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1（答案不唯一）时，有AB1⊥BC1.（填上一个你认为正确的条件

即可）

解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，AA1⊥平面ABC，可得BC1⊥B1C，因此，要

证AB1⊥BC1，则只要证BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要

证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．（或者能推出A1C1

⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等）

11．（15分）如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AD，BC1的中点，棱长

为1.

(1)求证：EF∥平面

C1CDD1.

(2)在线段A1B上是否存在点G，使EG⊥平面A1BC1？若存在，求点G到平面ABCD的

距离；若不存在，请说明理由．

解：(1)证明：如图，取BC的中点M，连接EM，FM，∵E，F分别是AD，BC1的中点，

∴EM∥DC，FM∥C1C，

又EM平面EFM，FM平面EFM，EM∩FM＝M，DC平面C1CDD1，C1C平面C1CDD1，

＝，

DC∩C1C⊂C⊂⊂⊂

∴平面EFM∥平面C1CDD1，又EF平面EFM，∴EF∥平面C1CDD1.

存在．

(2)⊂

如图，取A1B的中点G，连接EG，AG，EA1，EB，易知EA1＝EB，而G为A1B的中点，

∴EG⊥A1B，连接FG，则FG∥A1C1，

∵正方体棱长为1，

12

在A1BC1中，FG＝A1C1＝，

22

△5

在RtFME中，EF＝，

2

△3

在RtEAG中，EG＝，

2

222

∴FG△＋EG＝FE，即EG⊥FG，故EG⊥A1C1，

又A1B，A1C1平面A1BC1，A1B∩A1C1＝A1，∴EG⊥平面A1BC1.

1

易得点G到平⊂面ABCD的距离为.

2

12．（15分）如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，M，O分别为AA1，BC1的中点．求证：

(1)MO∥平面ABC；

(2)MO⊥平面B1BCC1.

证明：(1)如图，取BC的中点D，连接OD，AD，

1

因为O为BC1的中点，所以OD∥CC1且OD＝CC1，

2

1

又因为AM∥CC1且AM＝CC1，所以OD∥AM且OD＝AM，所以四边形AMOD为平行

2

四边形，所以MO∥AD，

又因为MO平面ABC，AD平面ABC，所以MO∥平面ABC.

因为为正三棱柱，

(2)ABC⊄­A1B1C1⊂

所以BB1⊥平面ABC，因为AD平面ABC，所以BB1⊥AD，

因为为等边三角形，所以⊥，

ABC⊂ADBC

又＝，，平面，所以⊥平面，

BB△1∩BCBBB1BCB1BCC1ADB1BCC1

又∥，所以⊥平面

MOADMO⊂B1BCC1.

13．（6分）（多选）如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠A1AC＝

∠ACB，P为线段BB1的中点，N为线段A1B1上靠近B1的三等分点，则(ABD)

A．AC⊥BC

B．AC⊥CB1

C．AC⊥平面NPC

D．平面ACP⊥平面BCC1B1

解析：因为∠CAB＝∠CBA＝45°，故∠ACB＝90°，所以AC⊥CB，A正确；因为∠A1AC

＝∠ACB＝90°，所以侧面AA1C1C为矩形，故AC⊥CC1，又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，

CC1平面CC1B1B，所以AC⊥平面CC1B1B，而CB1平面CC1B1B，故AC⊥CB1，B正确；

平面与平面不平行，所以平面不垂直，错误；因为平面，

⊂NPCCC1B1BACNPC⊂CACACP

⊥平面，所以平面⊥平面，正确．故选

ACCC1B1BACPCC1B1BDABD.⊂

14．（6分）（多选）（2024·山东聊城二模）已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是正方形，

则下列关系能同时成立的是(BC)

A．“AB＝PB”与“PB＝BD”

B．“PA⊥PC”与“PB⊥PD”

C．“PB⊥CD”与“PC⊥AB”

D．“平面PAB⊥平面PBD”与“平面PCD⊥平面PBD”

解析：当AB＝PB时，底面ABCD是正方形，AB≠DB，所以PB＝BD不成立，故A错误；

如图，设底面正方形的中心为O，则P在以O为球心，以OA为半径的球面（不包括平面ABCD

内的点）上时可符合题意，故B正确；当平面PBC⊥底面ABCD时，由面面垂直的性质可知

AB⊥平面PBC，DC⊥平面PBC，显然符合题意，故C正确；先证两相交平面同时垂直于第

三平面，则交线垂直第三平面，

如图，有α∩β