2026版高三数学讲义第六章　6.4　由递推公式求通项

6．4由递推公式求通项

会根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的数列（等差、等比数列或可利用累加、

累乘求解的数列）求数列通项公式．

考点1an＋1＝pan＋f(n)型

命题角度1an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)

n-1

【例1】数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则数列{an}的通项公式是an＝4

－1．

【解析】设an＋λ＝4(an－1＋λ)，则an＝4an－1＋3λ，又因为an＝4an－1＋3(n≥2)，所以

an＋1

3λ＝3，则λ＝1，所以an＋1＝4(an－1＋1)，因为a1＋1＝1≠0，所以an＋1≠0，所以＝

an－1＋1

n-1n-1

4为常数，所以数列{an＋1}是首项为1，公比为4的等比数列，所以an＋1＝1×4＝4，

n-1

所以an＝4－1.

命题角度2an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)

*

【例2】在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N)，则数列{an}的通项公式

n

为an＝3－2(n－1)．

*

【解析】因为an＋1＝3an＋4n－6(n∈N)，设an＋1＋x(n＋1)＋y＝3(an＋xn＋y)，其中x，

2x＝4，x＝2，

y∈R，整理可得an＋1＝3an＋2xn＋2y－x，所以，解得所以，an

2y－x＝－6，y＝－2，

＋1＋2(n＋1)－2＝3(an＋2n－2)，且a1＋2×1－2＝a1＝3，所以数列{an＋2n－2}是首项为3，

n-1nn

公比为3的等比数列，所以，an＋2n－2＝3×3＝3，解得an＝3－2(n－1).

n

命题角度3an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0，1)

n+1nn

【例3】数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为an＝2(3－2)．

an

＋2

n+1an＋13anan＋13n

【解析】数列{an}中，由an＋1＝3an＋2，得＝·＋1，即＋2＝2，因

2n+122n2n+12

an

＋2

a1n3

为a1＝2，＋2＝3，所以数列2是首项为3，公比为的等比数列，

22

3n－1

annnnn

因此＋2＝3×2，即an＝2(3－2)，所以数列{an}的通项公式为an＝2(3－2).

2n

形式构造方法

an＋1＝pan＋q

引入参数c，构造新的等比数列{an－c}

(p≠0，1，q≠0)

an＋1＝pan＋qn＋c

引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}

(p≠0，1，q≠0)

n

an＋1＝pan＋qan

(p≠0，1，q≠0，1)两边同除以qn+1，构造新的数列qn

【对点训练1】(1)若数列{an}满足an＋1＝3an－8，且a1＝6，则数列{an}的通项公式为

n-1

an＝2×3＋4．

解析：由an＋1＝3an－8，则an＋1－4＝3(an－4)，a1－4＝2，所以数列{an－4}是以2为首

n-1n-1

项，3为公比的等比数列，所以an－4＝2×3，所以an＝2×3＋4.

n+1n

(2)各项均为正数的数列{an}满足a1＝4，an＋1＝2an＋2，则an＝(n＋1)·2．

an

n+1n+1an＋1ana1n

解析：将an＋1＝2an＋2两边同除以2，得＝＋1，因为a1＝4，所以＝2，则2

2n+12n2

ann

是首项为2，公差为1的等差数列，所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，则an＝(n＋1)·2.

2n

考点2相邻两项的差为特殊数列（an＋1＝pan＋qan－1型，其中a1＝a，a2＝b）

*

【例4】已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N)，则数列

3n－(－1)n

{an}的通项公式为an＝．

4

*bn

【解析】方法一因为an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N)，设bn＝an＋1＋an，所以＝

bn－1

an＋1＋an3(an＋an－1)

＝＝3，又因为b1＝a2＋a1＝3，所以{bn}是首项为3，公比为3的等比数列．所

an＋an－1an＋an－1

n-1nan＋11an1an11

以bn＝an＋1＋an＝3×3＝3，从而＋·＝，不妨令cn＝，即cn＋1＋cn＝，故cn＋1

3n+133n33n33

－1

－1cn＋1－1

11cn411a111cn1

－＝－4，即＝－，又因为c1－＝－＝，所以数列4是首项为，

43134341212

cn－

4

1n－1nn

111－an13－(－1)

公比为－的等比数列，故cn－＝×3＝－，从而an＝.

34123n44

2n-1n-1

方法二因为方程x＝2x＋3的两根为－1，3，可设an＝c1·(－1)＋c2·3，由a1＝1，

133n－(－1)n

a2＝2，解得c1＝，c2＝，所以an＝.

444

2

可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x－px－q＝0的两个根，若1是

方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元

的方法求数列{an}．

43*

【对点训练2】若x＝1是函数f(x)＝an＋1x－anx－an＋2x＋1(n∈N)的极值点，数列{an}

n-1

满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式为an＝3．

32

解析：f′(x)＝4an＋1x－3anx－an＋2，

∴f′(1)＝4an＋1－3an－an＋2＝0，即an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，∵a1＝1，a2＝3，∴a2－a1＝2，

n-1

∴数列{an＋1－an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1－an＝2×3，则an＝an－an－1＋

n-20n-2n-310

an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2×3＋…＋2×3＋1＝2×(3＋3＋…＋3＋3)＋1＝

1－3n-1

2×＋1＝3n-1－1＋1＝3n-1.

1－3

pan

考点3倒数为特殊数列an＋1＝ran＋s型)

an*

【例5】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N)，则数列{an}的通项公式为an

n

2an＋1

＝1．

2n－1

n

an12an＋11n11n

【解析】对an＋1＝两边取倒数得＝＝＋2，即－＝2，当n≥2

n

2an＋1an＋1ananan＋1an

1111111111

时，－＝2n-1，－＝2n-2，…，－＝22，－＝2，将以上各式累加得－＝

anan－1an－1an－2a3a2a2a1ana1

－n-1

n-1n-222(12)n1n1

2＋2＋…＋2＋2＝＝2－2，又a1＝1，所以＝2－1，所以an＝，当n

n

1－2an2－1

11

＝1时，a1＝1也满足an＝，所以an＝.

2n－12n－1

1s1r1

两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝Abn＋B型，求出的表达式，

an＋1panpan

再求an.

an*1

【对点训练3】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N)，则an＝．

4an＋14n－3

an14an＋11

解析：数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，显然an≠0，取倒数得＝＝4＋，

4an＋1an＋1anan

1

111

即－＝4，则数列an是首项为1，公差为4的等差数列，因此＝1＋4(n－1)＝4n－3，

an＋1anan

1

所以an＝.

4n－3

课时作业41

2an

1．（5分）若数列{an}满足递推关系式an＋1＝，且a1＝2，则a2026＝(A)

an＋2

12

A．B．

10132023

12

C．D．

10112021

2an1an＋2111111

解析：因为an＋1＝，所以＝＝＋，所以－＝，又a1＝2，所以＝

an＋2an＋12an2anan＋1an2a1

1

11111112

，故数列an是以为首项，为公差的等差数列，则＝＋(n－1)＝n，得an＝，所以a2

222an222n

21

026＝＝.故选A.

20261013

2．（5分）已知数列{an}满足an＋1＝2an＋1，a1＝1，则{an}的通项公式为(D)

n-1n-1

A．an＝2B．an＝2－1

nn

C．an＝2D．an＝2－1

解析：由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，而a1＋1＝2，故{an＋1}是首项为2，公比

nn

为2的等比数列，所以an＋1＝2，即an＝2－1.故选D.

an＋1an

3．（5分）在数列{an}中，a1＝14，＝－3，则(B)

2n+12n-1

an

＋3

A．2n是等比数列

an

－3

B．2n是等比数列

an＋3

C．2n2是等比数列

an－3

D．2n2是等比数列

an

an＋1anan＋1ana1－3

解析：因为＝－3，所以－3＝2－3，又因为－3＝4≠0，所以2n是等

2n+12n-12n+12n2

比数列，且首项为4，公比为2.故选B.

4．（5分）已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝4an－6，则an＝(C)

A．22n+1＋2B．22n+1－2

C．22n-1＋2D．22n-1－2

解析：∵an＋1＝4an－6，∴an＋1－2＝4(an－2)，

an＋1－2

∴＝4，∵a1＝4，a1－2＝2，∴数列{an－2}是一个以2为首项，4为公比的等比

an－2

n-12n-1

数列，∴an－2＝2×4，∴an＝2＋2.故选C.

5．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋n＝2an－1，则a5＝(C)

A．16B．31

C．47D．63

解析：因为数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋n＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＋(n－1)

＝2an－1－1，两式相减得an＋1＝2an－2an－1，即an＝2an－1＋1，可得an＋1＝2(an－1＋1)，当n

＝1时，可得S1＋1＝2a1－1，即a1＋1＝2a1－1，解得a1＝2，所以a1＋1＝3，所以数列{an

n-1n-14

＋1}是首项为3，公比为2的等比数列，所以an＋1＝3·2，即an＝3·2－1，所以a5＝3×2

－1＝47.故选C.

6．（5分）在数列{an}中，a1＝2，(an＋1)(an－1＋2)＝an－1＋1(n≥2)，则an＝(A)

3n－5

A．－B．3n2－n

3n－2

2n

C．2n-1＋1D．

n

解析：由(an＋1)(an－1＋2)＝an－1＋1(n≥2)，得anan－1＋2an＋1＝0，an(an－1＋2)＝－1，所

an－1＋1111

以an－1＋2≠0，an≠0，所以an＋1＝(n≥2)，两边取倒数得＝＋1，又

an－1＋2an＋1an－1＋1a1＋1

1

11123n－2

＝，所以数列an＋1是首项为，公差为1的等差数列，所以＝n－＝，an＋1

33an＋133

333－(3n－2)5－3n3n－5

＝，an＝－1＝＝＝－.故选A.

3n－23n－23n－23n－23n－2

n

7．（6分）（多选）已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且an＋1＝4an＋3，则(ABD)

A．a2＝7

B．{Sn}是递增数列

n

C．{an＋3}是等差数列

2010

D．a10＝2－3

nn+1nn

解析：因为an＋1＝4an＋3，则an＋1＋3＝4(an＋3)，且a1＋3＝4≠0，可知数列{an＋3}

nn-1nnn22

是首项为4，公比为4的等比数列，则an＋3＝4×4＝4，即an＝4－3，a2＝4－3＝7，

nn101020

故A正确，C错误；因为an＝4－3>0，所以{Sn}是递增数列，故B正确；a10＝4－3＝2

－310，故D正确．故选ABD.

8．（6分）（多选）已知数列{an}满足a1＝3，2an＋1＝3an－2，则(BC)

A．{an－2}是等差数列

9n

6

B．{a2n}的前n项和为4－1＋2n

5

C．{an}是递增数列

2n

D．数列an＋1＋3的最小项为4

an＋1－23

解析：由2an＋1＝3an－2，得2(an＋1－2)＝3(an－2)，因为a1－2＝1≠0，所以＝，

an－22

3n－13n－1

3

所以{an－2}是首项为1，公比为的等比数列，所以an－2＝1×2，即an＝2＋2，

2

9n

3

32n－11－49n

26

所以a2n＝2＋2，所以a2＋a4＋…＋a2n＝＋2n＝4－1＋2n，所以A错

95

1－

4

3n－12n

误，B正确；由an＝2＋2，易知{an}是递增数列，所以C正确；当n≥2时，an＋1＋3>a3

32

23225

＝2＋2>4，当n＝1时，a2＋＝＋＋2＝>4，所以D错误．故选BC.

3236

9．（5分）在数列{an}中，a1＝1，a2＝9，an＋2＝3an＋1－2an－10，则{an}的前n项和Sn

的最大值为53．

解析：由an＋2＝3an＋1－2an－10，可得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)－10，令an＋1－an＝bn，所

以bn＋1＝2bn－10，则bn＋1－10＝2(bn－10)，又a1＝1，a2＝9，所以b1－10＝a2－a1－10＝－2，

n-1n

所以数列{bn－10}是以－2为首项，2为公比的等比数列，所以bn－10＝－2×2＝－2，即

nn123

bn＝－2＋10，即an＋1－an＝10－2，又由a2－a1＝10－2，a3－a2＝10－2，a4－a3＝10－2，…，

n-1

an－an－1＝10－2(n≥2)，将以上(n－1)个等式左、右两边分别相加得an－a1＝10(n－1)－

－n-1

2(12)nn

＝10n－2－8，所以an＝10n－2－7(n≥2)，经检验a1＝1满足上式，故an＝10n－

1－2

nn

2－7，当n≤3时，an＋1－an＝10－2>0，即an随着n的增大而增大；当n≥4时，an＋1－an

n34

＝10－2<0，即an随着n的增大而减小．因为a3＝10×3－2－7＝15>0，a4＝10×4－2－7

56

＝17>0，a5＝10×5－2－7＝11>0，a6＝10×6－2－7＝－11<0，所以{an}的前n项和Sn的最

大值为S5＝1＋9＋15＋17＋11＝53.

10．（5分）已知数列{an}满足an＋2＝3an＋1－2an，a1＝λ，a2＝2，{an}是递增数列，则λ的

取值范围为(－∞，2)．

解析：因为an＋2＝3an＋1－2an，所以an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，又因为{an}是递增数列，所

以an＋1－an>0，因为a1＝λ，a2＝2，所以a2－a1＝2－λ，所以数列{an＋1－an}是以2－λ为首项，

n-1n-1

2为公比的等比数列，即an＋1－an＝(2－λ)·2，所以(2－λ)·2>0，即2－λ>0λ<2，则λ的

取值范围为－∞，

(2).⇒

*

11．（12分）(1)已知数列{an}满足(n＋2)an＋1＝nan(n∈N)，且a1＝1，求数列{an}的通项

公式.

(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，且3anan＋1＝an－2an＋1，求数列{an}的通项公

式．

an＋1nann－1

解：(1)因为(n＋2)an＋1＝nan，且a1＝1，所以an≠0，所以＝，所以＝(n≥2)，

ann＋2an－1n＋1

n－1

即a2＝1，a3＝2，…，an＝，

a13a24an－1n＋1

an(n－1)×…×2×12

将(n－1)个式子相乘得＝＝(n≥2)，

a1(n＋1)×…×4×3n(n＋1)

2

因为a1＝1，所以an＝(n≥2)，

n(n＋1)

22*

又当n＝1时，＝1＝a1，所以an＝(n∈N).

1×(1＋1)n(n＋1)

12

(2)由3anan＋1＝an－2an＋1两边同时除以anan＋1，可得3＝－，

an＋1an

1

1＋31

所以＋3＝2an，＋3＝2≠0，

an＋1a1

1

＋3

故数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，

1n1

所以＋3＝2，即an＝.

n

an2－3

311

12．（12分）已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，且a1＝，a2＝1.求数列{an}的通

222

项公式．

3111

解：因为an＋1＝an－an－1(n≥2)，所以an＋1－an＝(an－an－1)(n≥2)，又因为a2－a1＝，

2222

11

所以数列{an＋1－an}是以为首项，为公比的等比数列，

22

1n－11n

1

所以an＋1－an＝×2＝2①，

2

1

11an＋1－an11

又因为an＋1－an＝an－an－1，所以数列2为常数列，故an＋1－an＝a2－a1＝1

2222

－1＝3②，

44

1n

13

②－①可得an＝－2，

24

31

所以an＝－，

22n-1

*31

即对任意的n∈N，an＝－.

22n-1

13．（5分）若数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝0，2an＋1＝3an＋bn＋2，2bn＋1＝an＋3bn－2，

则a2026＋b2025＝(C)

A．2×32024＋1B．3×22024－1

C．3×22024＋1D．3×22025－1

解析：因为2an＋1＝3an＋bn＋2，2bn＋1＝an＋3bn－2，所以2an＋1＋2bn＋1＝3an＋bn＋2＋an

＋3bn－2＝4(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝2(an＋bn)，又a1＋b1＝2，所以{an＋bn}是以2为首项，

n31

2为公比的等比数列，所以an＋bn＝2，又2an＋1＝3an＋bn＋2，即an＋1＝an＋bn＋1，所以

22

3133n320252

an＋1＋bn＝an＋bn＋1＋bn＝(an＋bn)＋1＝×2＋1，所以a2026＋b2025＝×2＋1＝3×2

22222

024＋1.故选C.

nn+2nn+2*

14．（5分）在数列{an}中，a1＝a(a>0)，(2－1)an＋1＝(2－1)an＋2(2－1)(n∈N)，若

n+1

an≤4－1恒成立，则实数a的最大值为(A)

A．3B．6

C．12D．15

nn+2nn+2*nn+1

解析：由已知(2－1)an＋1＝(2－1)an＋2(2－1)(n∈N)，两边同时除以(2－1)(2－

n

an＋1an2

1)(2n+2－1)可得＝＋，

(2n+1－1)(2n+2－1)(2n－1)(2n+1－1)(2n－1)(2n+1－1)

an＋1

即＝an＋1－1，

(2n+1－1)(2n+2－1)(2n－1)(2n+1－1)2n－12n+1－1

an＋1

即＋1＝an＋1，

(2n+1－1)(2n+2－1)2n+1－1(2n－1)(2n+1－1)2n－1

an＋1

an1a1

则数列(2n－1)(2n+1－1)2n－1为常数列，所以＋＝

(2n－1)(2n+1－1)2n－1(2－1)(22－1)

1aa1nn+1n+1

＋＝＋1，所以an＝＋1－(2－1)(2－1)，又an≤4－1恒成立，即

2－1332n－1

a1

＋1－

n－a1

321(2n－1)(2n+1－1)≤4n+1－1恒成立，因为a>0，n≥1，n∈N*，所以＋1－>0，

32n－1

a4n+1－11(2n+1－1)(2n+1＋1)1

2n－1>0，2n+1－1>0，所以≤＋－1＝＋－1＝

3(2n－1)(2n+