2026版高三数学讲义第八章　8.1　直线的方程

第八章平面解析几何

8．1直线的方程

1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线(不与y轴平行)斜率的计算公式．

2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式．

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间

所成的角α叫做直线l的倾斜角．

(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.

(3)范围：直线倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°．

2．直线的斜率

(1)定义：当直线的倾斜角不等于90°时，我们把这条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直

线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α．倾斜角等于90°的直线没有斜率．

(2)过两点的直线的斜率公式：过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式为k

－

＝y2y1．

x2－x1

→

(3)直线的方向向量坐标：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量P1P2的坐标

y

为(x2－x1，y2－y1).若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝，特别地，

x

(1，k)是l的一个方向向量．

3．直线方程的五种形式

名称方程的形式常数的几何意义适用范围

点

y－y0＝(x0，y0)是直线上一点，k

斜不垂直于x轴的直线(k存在)

k(x－x0)为斜率

式

斜

k为斜率，b是直线的纵

截y＝kx＋b不垂直于x轴的直线(k存在)

截距，是点斜式的特例

式

－

两yy1＝

y2－y1(x1，y1)，(x2，y2)是直线不垂直于x轴和y轴的直线

点

x－x1上两个点(x1≠x2，y1≠y2)

式

x2－x1

截

xya为横截距，b为纵截距，不垂直于x轴和y轴，且不过

距＋＝1

ab是两点式的特例原点的直线(ab≠0)

式

一Ax＋By＋

般C＝0(A2＋A，B，C为系数任何位置的直线

式B2≠0)

特殊地，横截式x＝my＋n表示横截距为n，斜率不为零或斜率不存在的直线．

教材拓展

1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇

到斜率要谨记，存在与否要讨论”．

2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个

非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．

1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角．(√)

(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大．(×)

(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tanα.(×)

(4)经过点P0(x0，y0)的任意直线的方程可表示为y－y0＝k(x－x0).(×)

2．(人教A版选择性必修第一册P55T4改编)经过P(0，－3)，Q(－3，0)两点的直线的

倾斜角为(C)

A．30°B．60°

C．120°D．150°

－3－0

解析：由题意知，经过P，Q两点的直线的斜率为k＝＝－3，设该直线的倾

0－(－3)

斜角为θ(0°≤θ<180°)，则k＝tanθ＝－3，所以θ＝120°，即直线的倾斜角为120°.故选C.

3．(人教A版选择性必修第一册P67T7改编)经过点(1，3)且在两坐标轴上的截距互为相

反数的直线的方程是(D)

A.x＋y＝4

B．y＝x＋2

C．y＝3x或x＋y＝4

D．y＝3x或y＝x＋2

x

解析：当直线过原点时，方程为y＝3x，符合题意；当直线不过原点时，设直线方程为

a

y13

＋＝1，将(1，3)代入得，＋＝1，解得a＝－2，所以直线方程为y＝x＋2.综上，所求

－aa－a

直线的方程为y＝3x或y＝x＋2.故选D.

4．(人教A版选择性必修第一册P80T16改编)直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所过的定点

坐标为(1，－1)．

解析：直线方程x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)可以化为m(y＋1)＋y＋x＝0，

y＋1＝0，x＝1，

令解得

y＋x＝0，y＝－1，

故直线所过的定点坐标为(1，－1).

考点1直线的倾斜角和斜率

【例1】(1)设直线l的方程为xcosθ＋y－1＝0，则直线l的倾斜角α的范围是(D)

π

0，

A．[0，π]B．4

π3ππ3π

，0，，π

C．44D．4∪4

【解析】因为直线xcosθ＋y－1＝0的斜率k＝－cosθ∈[－1，1]，所以tanα∈[－1，

π3π

0，，π

1]，又α∈[0，π)，所以α∈4∪4.故选D.

(2)已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l：ax＋y－1－a＝0与线段MN相交，则a

的取值范围是(B)

3

，＋∞

A．(－∞，－4]∪4

3

－∞，－

B．4∪[4，＋∞)

3

－，4

C．4

3

－4，

D．4

【解析】将ax＋y－1－a＝0变形得y－1＝－a(x－1)，于是得l过定点P(1，1)，斜率

－3－1－2－13

k＝－a，直线PM斜率为kPM＝＝－4，直线PN斜率为kPN＝＝，直线l过点

2－1－3－14

3

P(1，1)且与线段MN相交，则斜率k满足k≤kPM或k≥kPN，如图，即k≤－4或k≥，于是有－

4

3

33－∞，－

a≤－4或－a≥，解得a≥4或a≤－，所以a的取值范围是4∪[4，＋∞).故选B.

44

直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾

ππ

0，，π

斜角的范围时，要分2与2两种情况讨论．

π

【对点训练1】(1)已知两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α，β.若0<α<<β，

2

则下列关系正确的是(D)

A．0<k1<k2B．k1<k2<0

C．k1<0<k2D．k2<0<k1

πππ

0，，π0，

解析：依题意，得k1＝tanα，k2＝tanβ，α∈2，β∈2，在2上，y＝tanx>0，

π

，π

在2上，y＝tanx<0，所以tanβ<0<tanα，即k2<0<k1.故选D.

(2)已知点A(1，2)，B(0，－3)，若经过点M(－1，0)的直线l与线段AB有公共点，则

直线l的倾斜角的取值范围为(C)

π2ππ5π

，0，，π

A．43B．4∪6

π2ππππ2π

0，，π，，

C．4∪3D．42∪23

2－0－3－0

解析：依题意，直线MA的斜率kMA＝＝1，直线MB的斜率kMB＝＝－3，

1－(－1)0－(－1)

如图，若直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k满足－3≤k≤1，当－3≤k<0时，直

2πππ

，π0，0，

线l的倾斜角α∈3，当0≤k≤1时，α∈4，所以直线l的倾斜角的取值范围为4

2π

，π

∪3.故选C.

考点2直线的方程

【例2】求符合下列条件的直线方程：

1

(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－；

4

3

(2)斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6；

4

(3)直线过点(2，1)，且横截距为纵截距的2倍．

11

【解】(1)∵所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－，∴y＋3＝－(x＋1)，即x＋4y

44

＋13＝0.

34

(2)设直线方程为y＝x＋b，令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝－b，

43

4

1－b3

∴|b|·|3|＝6，解得b＝±3，∴直线方程为y＝x±3，即3x－4y±12＝0.

24

(3)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，又直线过点(2，1)，∴1＝2k，

11

解得k＝，∴直线方程为y＝x，即x－2y＝0；

22

xy

当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为＋＝1，

ab

21

＋＝1，a＝4，

由题意可得ab解得

a＝2b，b＝2，

xy

∴直线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.

42

综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.

求直线方程的两种方法

(1)直接法：由题意确定出直线方程的形式，并直接写出直线方程．

(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，再由题设条件求出待定系数，进而

得出直线方程．

【对点训练2】(1)已知直线l的一个方向向量为(2，－3)，且经过点(3，1)，则l的方

程为(B)

A．3x＋2y－3＝0B．3x＋2y－11＝0

C．2x－3y－1＝0D．3x＋2y＋3＝0

3

解析：因为直线l的一个方向向量为(2，－3)，所以其斜率为k＝－，又直线经过点(3，

2

3

1)，所以直线l的方程为y－1＝－(x－3)，即3x＋2y－11＝0.故选B.

2

(2)已知直线l过点(－3，3)，且在x轴上的截距为在y轴上截距的3倍，则直线l的方程

为(C)

A．x＋3y－6＝0

B．x－3y＋12＝0

C．x＋y＝0或x＋3y－6＝0

D．x＋y＝0或x＋3y＋12＝0

解析：分两种情况：①当直线l过原点时，由直线经过点(－3，3)，可得直线方程为y＝

xy

－x，即x＋y＝0；②当l不过原点时，设l的方程为＋＝1(a≠0)，将点(－3，3)的坐标代

3aa

－33xy

入得＋＝1，解得a＝2，此时l的方程为＋＝1，即x＋3y－6＝0.

3aa62

综上，直线l的方程为x＋y＝0或x＋3y－6＝0.故选C.

考点3直线方程的综合应用

【例3】已知直线l：(a－1)y＝(2a－3)x＋1.

(1)求证：直线l过定点；

(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；

(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．

【解】(1)证明：由l：(a－1)y＝(2a－3)x＋1，得a(2x－y)－3x＋y＋1＝0，

2x－y＝0，x＝1，

令解得

－3x＋y＋1＝0，y＝2，

所以直线l过定点(1，2).

(2)如图所示，结合图象可知，

当a＝1时，直线斜率不存在，方程为x＝1，不经过第二象限，成立；

2a－31

当a≠1时，直线斜率存在，方程为y＝x＋，

a－1a－1

2a－3

>0，

a－1

又直线不经过第二象限，则1解得a<1.

≤0，

a－1

综上所述，a≤1.

(3)已知直线l：(a－1)y＝(2a－3)x＋1，且由题意知a≠1，

1

令x＝0，得y＝>0，得a>1，

a－1

1

令y＝0，得x＝>0，

3－2a

33

得a<，所以1<a<，

22

1

1111

则围成的三角形的面积S＝××＝＝52，

2a－13－2a－4a2＋10a－6a－1

－44＋

4

5

所以当a＝时，S取最小值，

4

55

－12×－3

此时直线l的方程为4y＝4x＋1，即2x＋y－4＝0.

直线方程综合问题的两大类型及解法

(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)

的函数，借助函数的性质解决．

(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．

【对点训练3】已知直线y－3＝k(x－4)分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B，O为坐

标原点．

(1)若|AB|＝10，求实数k的值；

(2)求|OA|＋|OB|的最小值．

解：(1)由题意易得直线AB过定点M(4，3)，又|OM|＝42＋32＝5，且|AB|＝10，

13－0

则|OM|＝|AB|＝5，而OAB是直角三角形，故M为AB的中点，故A(8，0)，故k＝

24－8

3△

＝－.

4

xy

(2)设A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0，则直线AB的方程可以写成＋＝1，

ab

43

将M(4，3)代入，得＋＝1，

ab

43

＋4b3a

故|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·ab＝7＋＋≥7＋43，

ab

4b3ab3

当且仅当＝，即2b＝3a，亦即k＝－＝－时取等号，

aba2

故|OA|＋|OB|的最小值为7＋43.

课时作业53(总分：100分)

1．(5分)已知直线方程为x＋y－3＝0，则该直线的倾斜角为(A)

3π2π

A．B．

43

ππ

C．D．

34

3π

解析：依题意，直线y＝－x＋3的斜率为－1，所以该直线的倾斜角为.故选A.

4

2．(5分)如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(A)

A．k1<k3<k2

B．k3<k1<k2

C．k1<k2<k3

D．k3<k2<k1

解析：倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为

钝角时，斜率为负，所以k1<k3<k2.故选A.

3．(5分)已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为－4，则直线l的一般式方程

是(D)

A．x－3y－4＝0B．x－3y＋4＝0

C．3x－y＋4＝0D．3x－y－4＝0

解析：由直线的倾斜角可得直线的斜率k＝tan60°＝3，所以直线l的方程为y＝3x－4，

则直线l的一般式方程为3x－y－4＝0.故选D.

4．(5分)若直线l过点A(2，3)，则直线l与x轴、y轴的正半轴围成的三角形面积的最

小值为(B)

A．9B．12

C．18D．24

xy23

解析：设直线l：＋＝1(a，b>0)，因为直线l过点A(2，3)，所以＋＝1，即2b＋3a

abab

＝ab，所以2b＋3a＝ab≥22b·3a，解得ab≥24，当且仅当2b＝3a，即a＝4，b＝6时等号成

1

立，则直线l与x轴、y轴的正半轴围成的三角形面积S＝ab≥12.故选B.

2

5．(5分)直线(4a2－2)x＋2y＋3＝0(a为常数)的倾斜角的取值范围是(C)

πππ

0，，

A．4B．42

πππ3π

0，，π0，，π

C．4∪2D．2∪4

π2－4a2

解析：直线(4a2－2)x＋2y＋3＝0的斜率一定存在，故倾斜角不为，直线的斜率≤1，

22

πππ

0，，π0，

如图所示，结合正切函数在2∪2上的图象，可得倾斜角的取值范围是4∪

π

，π

2.故选C.

6．(5分)直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值

范围是(C)

A．[－2，2]

B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

C．[－2，0)∪(0，2]

D．(－∞，＋∞)

b

b1×(－b)

解析：令x＝0，可得y＝；令y＝0，可得x＝－b，则|2|≤1，b≠0，解得－2≤b≤2，

22

且b≠0.故选C.

7．(6分)(多选)已知直线l：3x＋y－2＝0，则下列选项中正确的有(AD)

A．直线l的斜率为－3

5π

B．直线l的倾斜角为

6

C．直线l不经过第四象限

D．直线l的一个方向向量为v＝(－3，3)

2π

解析：由直线l：3x＋y－2＝0，可得y＝－3x＋2，故其斜率为k＝－3，倾斜角为，

3

故A正确，B错误；由直线y＝－3x＋2知其斜率k<0，纵截距b>0，所以直线l不经过第

→

三象限，经过第四象限，故C错误；取直线上两点A(0，2)，B(3，－1)，可得BA＝(－3，

3)，即直线l的一个方向向量为v＝(－3，3)，故D正确．故选AD.

8．(6分)(多选)已知直线l：m2x－2m2y＋1＝0(m≠0)，当m变化时，以下结论正确的是

(BCD)

A．直线l必过定点

B．直线l的倾斜角大小不变

C．直线l一定不经过第四象限

D．直线l一定经过第一、二、三象限

x－2y＋1＝0，

解析：因为l：m2x－2m2y＋1＝0(m≠0)，分别取m＝1，m＝2得易知

4x－8y＋1＝0，

该方程组无实数解，故直线l：m2x－2m2y＋1＝0(m≠0)不过定点，故A错误；因为m≠0，所

111

以直线方程可转化为y＝x＋，故直线斜率为，倾斜角为定值，故B正确；直线l的方

22m22

111

程为y＝x＋，因为m≠0，则>0，故当x>0时，必有y>0恒成立，即直线l一定不经

22m22m2

11

过第四象限，故C正确；直线l的方程为y＝x＋，可得直线斜率为正，纵截距也为正，

22m2

故直线l一定经过第一、二、三象限，故D正确．故选BCD.

9．(5分)若点A(3，1)，B(－2，k)，C(8，11)在同一条直线上，则实数k的值为－9．

解析：因为A(3，1)，B(－2，k)，C(8，11)三点在同一条直线上，所以直线AB的斜率和

k－111－1

直线AC的斜率相等，即＝，解得k＝－9.

－2－38－3

π

10．(5分)若直线l的倾斜角为且在x轴上的截距为－1，则直线l的一般式方程是3x

3

－y＋3＝0．

ππ

解析：由直线l的倾斜角为，可得直线l的斜率为k＝tan＝3，又直线l在x轴上的

33

截距为－1，所以直线l的方程为y＝3(x＋1)，即3x－y＋3＝0.

11．(16分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；

(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

解：(1)直线l：(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)在y轴上的截距为a－2，

a－2a－2

由l在两坐标轴上的截距相等知，a＋1≠0，则直线l在x轴上的截距为，于是＝

a＋1a＋1

a－2，解得a＝2或a＝0，所以直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.

(2)直线l：(x－1)a＋x＋y＋2＝0，

x－1＝0，x＝1，

由得即直线l过定点P(1，－3)，

x＋y＋2＝0，y＝－3，

显然点P在第四象限，要使直线l不经过第二象限，而直线l的斜率存在，

因此直线l的斜率不小于0，即－(a＋1)≥0，解得a≤－1，

所以实数a的取值范围是(－∞，－1].

12．(17分)已知直线l1：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.

(1)求证：无论m为何实数，直线l1恒过一定点M；

(2)若直线l2过点M，且与x轴负半轴、y轴负半轴围成三角形面积最小，求直线l2的方

程．

解：(1)证明：将直线l1的方程化为m(x－2y－3)＋2x＋y＋4＝0，

x－2y－3＝0，x＝－1，

令解得

2x＋y＋4＝0，y＝－2，

故直线l1恒过定点M(－1，－2).

(2)由题意可知，直线l2的斜率存在且不为零，设直线l2的方程为y＋2＝k(x＋1)，令x＝

2

0，可得y＝k－2，令y＝0，可得x＝－1，由直线l2与x轴负半轴、y轴负半轴相交可得k<0，

k

244

11－14－k－1－

所以，三角形面积为S＝(2－k)k＝k≥4＋2(－k)·k＝4，当且仅当k

222

＝－2时，等号成立，此时直线l2的方程为2x＋y＋4＝0.

13．(5分)已知两点A(－1，5)，B(0，0)，若直线l：(k＋1)x－(2k－2)y＋2k－6＝0与线

段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围为(A)

11

－1，，1

A．2∪2

B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)