【课件】三元一次方程组的解法第1课时 2025-2026学年人教版七年级数学下册

第十章二元一次方程组10.4三元一次方程组的解法（第1课时）素养目标1．了解三元一次方程组的概念．2．会用代入法或加减法解简单的三元一次方程组，进一步体会“消元”思想，提升运算能力．新知探究，分析问题问题1在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2．按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场？追问1：哪些是已知量？总场数：22场胜的场数=4×负的场数+2胜一场积分：3分平一场积分：1分负一场积分：0分总积分：47分追问2：问题最终求什么，怎么设未知数？胜多少场？平多少场？负多少场？xyz新知探究，列方程组问题1在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2．按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场？追问3：等量关系是什么？怎么列方程？设这个球队胜、平、负的场数分别为x，y，z.①胜的场数＋平的场数＋负的场数＝22②胜场积分＋平场积分＋负场积分＝47③胜场数＝4×负场数＋2x+y+z=223x+y=47x=4z+2新知探究，学习定义x+y+z=223x+y=47x=4z+2

这个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．追问3：类比二元一次方程组的定义，你能给这个方程组起个名字吗？三元一次方程组新知探究，分析方法追问4：如何解这个三元一次方程组呢？x+y+z=223x+y=47x=4z+2思路1：发现③是未知数x关于未知数z的表达式，可以把③分别代入①②并化简，消去未知数x，得到两个只含未知数y，z的方程.三元一次方程组二元一次方程组

代入法方法一：①②③新知探究，解方程组x+y+z=223x+y=47x=4z+2①②③解：把③分别代入①②，得解这个方程组，得y=5z=3把y=5,z=3代入①，得x+5+3=22因此，这个三元一次方程组的解为

x=14

x=14y=5z=3方法一：y+5z=20y+12z=41新知探究，分析方法追问4：如何解这个三元一次方程组呢？x+y+z=223x+y=47x=4z+2①②③思路2：发现③中只含有未知数x

和未知数

z，故也可以选择消去未知数y

.三元一次方程组二元一次方程组加减法方法二：新知探究，解方程组x+y+z=223x+y=47x=4z+2④①②③解：②－①，得2x－z＝25③与④组成方程组x=14z=3把x=14,z=3代入①，得14+y

+3=22因此，这个三元一次方程组的解为

y=5

x=14y=5z=3方法二：2x－z＝25x=4z+2解这个方程组，得新知探究，归纳思想追问5：通过上面的例子，你能总结解三元一次方程组的基本思路？解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组的思路是一样的．三元一次方程组二元一次方程组消元消元一元一次方程组新知探究，归纳步骤③将求出的两个未知数的值代入原方程组中一个系数较简单的方程，得到一个一元一次方程；追问6：通过上面的例子，你能总结解三元一次方程组的一般步骤吗？①通过观察方程组的特征和未知数系数的特点，利用代入法或加减法，消去一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；④解一元一次方程，求出最后一个未知数的值；⑤将三个未知数的值用“｛”合写在一起．典例分析，巩固新知例1

解三元一次方程组3x+4z=72x+3y+z=475x－9y+7z=8④①②③解：②×3+③，得11x+10z＝35①与④组成方程组x=5z=﹣2把x=5,z=﹣2代入②，得因此，这个三元一次方程组的解为

x=5z=﹣23x+4z=711x+10z＝35解这个组成方程组，得2×5+3y－2=9经典练习，巩固新知（1）x－

2y=﹣9y－z=32z+x=47④①②③解：②×2+①，得x－2z＝﹣3③与④组成方程组x=22z=12.5把z=12.5代入②，得因此，这个三元一次方程组的解为

x=22z=12.5解这个组成方程组，得y－12.5=3练习解三元一次方程组x－2z＝﹣32z+x=47y=15.5y=15.5经典练习，巩固新知（2）4x－

9z=173x+y+15z=18x+2y+3z=2④①②③解：②×2－③，得5x+27z＝34①与④组成方程组x=5把x=5,代入③，得因此，这个三元一次方程组的解为解这个组成方程组，得练习解三元一次方程组y=﹣24x－

9z=175x+27z＝34

x=5y=﹣2经典练习，巩固新知（3）x+y=3y+z=4④①②③解：①－②，得③与④组成方程组x=2z=3把x=2代入①，得因此，这个三元一次方程组的解为z+x=5x－z＝﹣1解这个组成方程组，得2+y=3练习解三元一次方程组y=1

x=2z=3y=1z+x=5x－z＝﹣1经典练习，巩固新知（4）3x－y+z=42x+3y－z=12x+y+z=6④①②③解：①+②，得④与⑤组成方程组x=2y=3把x=2,y=3,

代入③，得因此，这个三元一次方程组的解为解这个组成方程组，得2+3+z=6练习解三元一次方程组z=1

x=2z=1y=3②+③，得3x+4y＝18⑤5x+2y＝165x+2y＝163x+4y＝18拓展提升2x－y+2z=27①②③解：方程组整理的①与④组成方程组x=6y=9把x=6代入②，得因此，这个三元一次方程组的解为解这个组成方程组，得24=2zz=12

x=6z=12y=9②+③，得6x－y＝27④4x=2z2x－y+2z=273x=2y3x=2y6x－y＝27解三元一次方程组方法一：拓展提升2x－y+2z=27解：由①，得把③代入②中，得把k=3代入③，得因此，这个三元一次方程组的解为解得

x=6z=12y=9则k＝3解三元一次方程组①②x=2×3=6y=3k,z=4k③2×2k－3k+2×4k＝27x=2k,y=3×3=9z=4×3=12方法二：

课堂小结回顾本节课所学的主要内容，请回答以下问题：

方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．（1）什么是三元一次方程组？（2）我们是如何研究三元一次方程组的解法的？

类比探究二元一次方程组的解法，应用转化思想，将“三元”化为“二元”再化为“一元”，充分体现了