安徽省合肥市六校联考2025-2026学年高二数学上学期期末考试 (一)【含答案】

安徽合肥市第五中学等六校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知空间向量，.若，则（

）A． B． C．2 D．102．已知等差数列的前项和为，且，，则数列的公差为（

）A． B．C． D．3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点，则的周长为（

）A． B． C． D．4．若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．或5．如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．6．设圆与圆的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（

）A． B．C． D．7．在平面内，，是两个定点，是动点，若（是常数且大于），则点的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆C．抛物线 D．直线8．双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，若双曲线的左、右焦点分别为，，如图所示，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列函数的导数运算正确的是（

）A． B．C． D．10．已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于，两点点在第一象限，为坐标原点，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过个步骤变成简称为步“雹程”．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：，下列说法正确的是（

）A．当时，使得需要步雹程B．当时，则C．若，则的所有可能取值之和为D．若，为的前项和，则三、填空题12．等轴双曲线的渐近线方程为．13．若曲线在处的切线与直线垂直，则的值为.14．已知点是棱长为的正方体表面上一个动点，若三棱锥的体积为，则点的轨迹的长度为．四、解答题15．已知的三个顶点分别为，，．(1)求的面积；(2)求的外接圆的标准方程．16．设为数列的前项和，已知，．(1)证明：数列为等比数列；(2)判断，，是否成等差数列并说明理由．17．如图，在四棱锥中，底面，，，且，．

(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值．18．已知椭圆的离心率为，过点．(1)求椭圆的方程；(2)已知点，直线与椭圆相交于，两点，且线段被直线平分．①求直线的斜率；②若，求直线的方程．19．若各项均为正数的数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若正项等比数列，满足，求；(3)对于中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

参考答案题号12345678910答案CBBDCAADACABD题号11答案ACD1．C【详解】由题意得：，解得.故选：C2．B【详解】设等差数列的首项和公差分别为和,则由题意可得,联立解得.故选:B.3．B【详解】因为椭圆，所以，，，因为左、右焦点分别为，，所以利用椭圆的定义可知，，，的周长为，故选：B．4．D【详解】当直线经过原点时，在两个轴上的截距都为，设直线方程为，代入点，，此时直线的斜率为；当直线不经过原点时，设直线的截距式方程为，代入点解得，此时直线的斜率为.故选：D.5．C【详解】设正方体棱长为，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.，，，.由题意可得，．，，所以，即异面直线和所成角的余弦值为.故选：C．6．A【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，所以直线方程为，即，故选：A.7．A【详解】以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，设，，，则，，由题意，得，即，又是常数且大于，所以，因此动点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆.故选：A．8．D【详解】连接，，由双曲线的光学性质，得，，三点共线，，，三点共线，则，，于是，，不妨设，，，由双曲线的定义得，，则，，而，解得，，，在中，由勾股定理得，，即，解得，所以双曲线的离心率故选：D9．AC【详解】，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误．故选：AC．10．ABD【详解】因为抛物线：，所以，即，准线方程为，焦点为，设，，直线：，，可得，所以，，，，，所以A正确；，，可得，所以B正确；，所以C不正确；的面积，所以D正确.故选：ABD．

11．ACD【详解】对于A，当时，即，根据上述运算法则得出：，故当时，使需要步雹程，故A正确；对于B，是偶数，每次操作均除以，经过次操作后，，故B错误；对于C，若，根据上述运算法则进行逆推，，，或，若，则，或5，当时，，当时，若，则，，或故的所有可能取值集合，所以的所有可能取值之和为，故C正确；对于D，，故D正确.故选：ACD．12．【详解】等轴双曲线得出，所以渐近线方程为.故答案为：.13．【详解】函数，.求导得,，故曲线在处的切线斜率为.由，得，所以其斜率为.所以，解得.故答案为：.14．【详解】设为点到平面的距离，则，解得建立空间直角坐标系，则，，，有，即，而与为平面内的两条相交直线，得平面，且而，得点到平面的距离为，如图所示：取棱上的中点，得等边三角形和正六边形，易知平面平面，平面平面，因为点到平面的距离为，可知点到平面的距离也为，由中点的性质可知：到平面的距离为，则点的轨迹为一个边长为的等边三角形和一个边长为的正六边形，此时点到平面的距离一直都为，故三棱锥的体积一直为，故点的轨迹的长度为：．故答案为：.

15．(1)(2)【详解】（1）方法一：根据已知条件，所在直线的方程为，即，则点到直线的距离，又，故的面积.方法二：根据已知条件，，，则有，所以，所以为直角三角形，为其直角边，而，，故的面积.（2）方法一：设的外接圆方程为.将，，代入，得，解得，所以的外接圆方程为，其标准方程为.方法二：由（1）可知为直角三角形，为其斜边，则的外接圆直径即为，由已知可得，的中点为，即圆心为，又半径，故的外接圆的标准方程为.16．(1)证明见解析(2)，，成等差数列，理由见解析【详解】（1）证明：由可得：，又则为首项为，公比为的等比数列；（2）由可得，即有，，假设，，成等差数列，，可得，，成等差数列．17．(1)证明见解析(2)【详解】（1）以点为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为平面，且平面，所以，又因为，且，平面，所以平面，平面的一个法向量，

且，，设平面的一个法向量为，则，令，可得，所以，又因为，所以，所以平面平面（2）由(1)知：平面的一个法向量，，，设平面的一个法向量为，则，令，可得，所以，因为，所以平面与平面所成角的余弦值为．18．(1)(2)①；②【详解】（1）可得.故椭圆方程为：．（2）①由条件知，设，，则满足，，两式作差得：，化简得，当时，直线l过原点，其斜率不唯一，不合题意；当时，因为被平分，故，所以，即直线的斜率．设直线为，代入椭圆方程可得，所以，，

，，故，由得：即，解得又因为方程①中，所以.

故所求直线方程为，即19．(1)；(2)；(3)【详解】（1）由，可得，且，又，所以，即，因为，所以，所以，

所以是