2.5.2 圆与圆的位置关系

.5.2圆与圆的位置关系基础过关练题组一圆与圆的位置关系1.(2022天津外国语大学附属中学期中)圆C1:x2+y2+2x-6y-26=0与圆C2:x2+y2-4x+2y+4=0的位置关系是()A.内切B.外切C.相交D.外离2.(2021江西南昌二中月考)若圆C:x2+y2=5-m(m<5)与圆E:(x-3)2+(y-4)2=16有三条公切线,则m的值为()A.2B.3C.4D.63.(2022四川南充阆中中学期中)已知点M在圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,点N在圆C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,则|MN|的最大值是()A.5B.7C.9D.114.已知圆C1:x2+y2-m=0(m>0),圆C2:x2+y2+6x-8y-11=0,若圆C1与圆C2有公共点,则实数m的取值范围是()A.m<1B.m>121C.1≤m≤121D.1<m<1215.集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2,r>0},且M∩N=N,则r的取值范围是()A.(0,2-1)B.(0,1]C.(0,2-2]D.(0,2]6.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心的距离|C1C2|等于()A.4B.427.(2022江苏淮安期中)两圆相交于A(1,3),B(m,-1)两点,若两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+c的值为.

题组二两圆的公共弦问题8.(2022云南红河一中期中)已知圆C1:x2+y2+8x-20=0和圆C2:x2+y2-6y=0,则两圆公共弦所在直线方程为()A.8x+3y-20=0B.4x+3y-10=0C.4x-3y+10=0D.2x+3y+5=09.(2022甘肃永昌一中期中)圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线的方程是()A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=010.(2022湖南长沙一中期中)圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦的长为.

11.(2022江西大同天镇实验中学期中)已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0.(1)求证:两圆相交;(2)求公共弦所在直线的方程;(3)求公共弦长.能力提升练题组一圆与圆的位置关系1.(2021浙江丽水五校共同体段考)已知圆C1:x2+(y-a2)2=a4的圆心到直线x-y-2=0的距离为22,则圆C1与圆C2:x2+y2-2x-4y+4=0的位置关系是()A.相交B.内切C.外切D.外离2.(2021吉林长春外国语学校月考)已知圆C1:(x-a)2+y2=1和C2:x2+y2-2by+b2-4=0恰好有3条公切线,则(aA.2B.1+23.若圆(x-a)2+(y-a)2=4上总存在两点到原点的距离为1,则实数a的取值范围是()A.-B.(-22,-C.-D.-∞,-34.(2021重庆八中月考)已知圆C1与y轴相切于点(0,3),圆心在经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l上.(1)求圆C1的方程;(2)若圆C1与圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0相交于M,N两点,求两圆的公共弦长.题组二圆与圆的位置关系的综合运用5.(多选)(2022广东广州期中)点P在圆C1:x2+y2=1上,点Q在圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0上,则()A.|PQ|的最小值为0B.|PQ|的最大值为7C.两个圆心所在的直线斜率为-4D.两个圆的相交弦所在直线的方程为6x-8y-25=06.(2022山西太原高考模拟)已知圆M:(x-a)2+(y-b)2=3(a,b∈R)与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且|AB|=3,则下列结论错误的是()A.MA·MB是定值B.四边形OAMB的面积是定值C.a+b的最小值为-2D.ab的最大值为27.(2021江苏泰州姜堰中学期末)已知M,N分别是圆C1:x2+y2-4x-4y+7=0,C2:x2+y2-2x=0上的两个动点,P为直线x+y+1=0上的一个动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.2C.2D.38.(多选)已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),下列说法正确的是()A.若圆C1与圆C2无公共点,则0<r<4B.当r=5时,两圆公共弦长所在直线的方程为6x-8y-1=0C.当r=2时,P,Q分别是圆C1与圆C2上的点,则|PQ|的取值范围为[2,8]D.当0<r<4时,过直线6x-8y+r2-26=0上任意一点分别作圆C1、圆C2的切线,则切线长相等9.如图,已知圆C1:x2+(y-s)2=s2(s>0)内切于圆C2:x2+(y-t)2=t2(t>0),直线l:y=kx(k>0)分别交圆C1,C2于A,B两点(A,B在第一象限内),过点A作x轴的平行线交圆C2于M,N两点,若点A既是线段OB的中点,又是线段MN的三等分点,求k的值.10.(2021湖南长沙长郡中学开学考试)已知两个定点A(0,4),B(0,1),动点P满足|PA|=2|PB|,设动点P的轨迹为曲线E,直线l:y=kx-4.(1)求曲线E的方程;(2)若l与曲线E交于不同的C,D两点,且∠COD=120°(O为坐标原点),求k的值;(3)若k=1,Q是直线l上的动点,过Q作曲线E的两条切线QM,QN,切点分别为M,N,探究:直线MN是否过定点?若过定点,写出定点坐标;若不过定点,请说明理由.

答案全解全析基础过关练1.A化圆C1:x2+y2+2x-6y-26=0为(x+1)2+(y-3)2=36,得圆心为C1(-1,3),半径r1=6;化圆C2:x2+y2-4x+2y+4=0为(x-2)2+(y+1)2=1,得圆心为C2(2,-1),半径r2=1.∵|C1C2|=(-1-2)2∴圆C1与圆C2的位置关系是内切.故选A.2.C圆C的圆心为(0,0),半径为5-m(m<5),圆E的圆心为(3,4),半径为4,由题意可知两圆外切,则323.C由题意知圆C1的圆心为(-3,1),半径r1=2;圆C2的圆心为(1,-2),半径r2=2,所以两圆的圆心距d=[1-(-3)]4.C圆C1的方程可化为x2+y2=m(m>0),则圆心为C1(0,0),半径r1=m(m>0);圆C2的方程可化为(x+3)2+(y-4)2=36,则圆心为C2(-3,4),半径r2=6.∵圆C1与圆C2有公共点,∴|r1-r2|≤|C1C2|≤r1+r2,即|m-6|≤(-3-0∴|m5.C由M∩N=N知N⊆M,所以圆x2+y2=4与圆(x-1)2+(y-1)2=r2(r>0)内切或内含,且4>r2,所以2-r≥2,又r>0,所以0<r≤2-2.6.C∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,∴a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2,即x2-10x+17=0的两个实数根,∴a+b=10,ab=17.∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,∴|C1C2|=(a-b7.答案3解析由题意可知直线x-y+c=0是线段AB的垂直平分线,因为直线x-y+c=0的斜率为1,所以kAB=3-(-由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为(3,1),将其代入直线方程,得3-1+c=0,解得c=-2.故m+c=5-2=3.8.B∵圆C1:x2+y2+8x-20=0和圆C2:x2+y2-6y=0,∴两圆方程作差,得两圆的公共弦所在直线方程为8x+6y-20=0,即4x+3y-10=0.故选B.9.C易得线段AB的垂直平分线过两圆的圆心,把圆心(2,-3)代入各选项,可得C正确.10.答案22解析圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的方程相减得4x-4y+8=0,即x-y+2=0.由圆x2+y2-4=0的圆心为(0,0),半径r=2,且圆心(0,0)到直线x-y+2=0的距离d=|0-0+2得公共弦的长为2r2-d2=211.解析(1)证明:将两圆方程配方化为标准方程,C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,则圆C1的圆心为(1,-5),半径r1=52;圆C2的圆心为(-1,-1),半径r2=10.又|C1C2|=25,r1+r2=52+10,r1-r2=52-10,∴r1-r2<|C1C2|<r1+r2,∴两圆相交.(2)两方程联立,得方程组x两式相减得-4x+8y-16=0,即x-2y+4=0.所以公共弦所在直线的方程为x-2y+4=0.(3)解法一:把x-2y+4=0代入②得y2-2y=0,所以y1=0,y2=2.所以x1所以两圆的公共弦长为(-4-0解法二:圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d=|1-2×所以两圆的公共弦长为2r12-d2能力提升练1.B由题意得|0-a2-2|12+(-1)2=2将圆C2:x2+y2-2x-4y+4=0化为标准形式为(x-1)2+(y-2)2=1,其圆心C2的坐标为(1,2),半径r2=1,∵圆心距|C1C2|=(0-1)2∴两圆内切,故选B.2.A圆C1的圆心为C1(a,0),半径r1=1.圆C2的圆心为C2(0,b),半径r2=2.由圆C1与圆C2有3条公切线知,两圆外切,∴|C1C2|=a2+b2=r1+r2=3.因此a设P(a,b)在圆O:x2+y2=9上,A(3,4),则|PA|=(a∵|OA|=32∴|PA|min=|OA|-3=2.故选A.3.C根据题意知,圆(x-a)2+(y-a)2=4与圆x2+y2=1相交,两圆圆心的距离d=a2+a2=2|a|,所以2-1<2|a|<2+1,即22<|a|<322,所以-34.解析(1)经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l的方程为y-1-因为圆C1与y轴相切于点(0,3),所以圆心在直线y=3上.由y=3,y=x故圆C1的半径为4,所以圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16.(2)由(1)知圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16,即x2+y2-8x-6y+9=0,圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0,两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为2x+3y-4=0.圆C1的圆心到直线2x+3y-4=0的距离d=|8+9-4所以两圆的公共弦长为216-13=25.BC圆C1:x2+y2=1,其圆心为C1(0,0),半径R=1,圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0,即(x-3)2+(y+4)2=1,其圆心为C2(3,-4),半径r=1,圆心距|C1C2|=16+9=5,则|PQ|的最小值为|C1C2|-R-r=3,最大值为|C1C2|+R+r=7,故A错误,B正确.对于C,两个圆心所在的直线斜率k=-4-0对于D,两圆圆心距|C1C2|=5>R+r=2,∴两圆外离,不存在公共弦,D错误.故选BC.6.C圆M的圆心为M(a,b),半径r=3,则△MAB是边长为3的等边三角形.MA·MB=|MA|·|MB|·cos60°=3×3×12=3∵|OA|=|OB|=1,|AB|=3,△OAB的AB边上的高h=12∴S△ABO=12×12×3=∵S△MAB=34×(3)2=3∴S四边形OAMB=34+334∵S四边形OAMB=12×|OM|×|AB|=3,|AB|=3∴|OM|=2,即a2+b2=2,∴a2+b2=4,∵2(a2+b2)≥(a+b)∴-22≤a+b≤22,当且仅当a=b时取等号,∴a+b的最小值为-22,C中结论错误;∵a2+b2=4≥2ab,∴ab≤2,当且仅当a=b时取等号,∴ab的最大值为2,D中结论正确.故选C.7.D圆C1的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1,圆C2的方程可化为(x-1)2+y2=1.设圆C2关于直线x+y+1=0对称的圆为C'2,其圆心为C'2(a,b).依题意得a+12因此,圆C'2:(x+1)2+(y+2)2=1.如图所示.∵|C1C'2|=(-1∴(|PM|+|PN|)min=|C1C'2|-2=3,故选D.8.BCD圆C1:x2+y2=1,其圆心为C1(0,0),半径为1;圆C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),其圆心为C2(3,-4),半径为r.对于A,两圆的圆心距|C1C2|=9+16=5,若圆C1与圆C2无公共点,则两圆内含或外离,必有r+1<5或|r-1|>5,又r>0,所以0<r<4或r>6,故A错误;对于B,当r=5时,圆C2:(x-3)2+(y+4)2=25,圆C1和圆C2的方程相减可得6x-8y-1=0,即两圆公共弦长所在直线的方程为6x-8y-1=0,故B正确;对于C,当r=2时,圆C2:(x-3)2+(y+4)2=4,因为P,Q分别是圆C1与圆C2上的点,所以|PQ|的最小值为|C1C2|-2-1=2,最大值为|C1C